ক) বহুবিকল্পভিত্তিক প্রশ্নাবলী (MCQ) – মান ১ (২০টি)
১. নীচের কোনটি শুদ্ধ দ্বিঘাত করণী?
(ক) √25
(খ) √7
(গ) 2 + √3
(ঘ) √4/9
উত্তর দেখাও
সমাধান:
শুদ্ধ দ্বিঘাত করণী হল a + √b আকারের করণী যেখানে a=0। অর্থাৎ শুধুমাত্র √b আকারের করণী যেখানে b মূলদ সংখ্যা কিন্তু পূর্ণবর্গ নয়। এখানে √7 হল শুদ্ধ দ্বিঘাত করণী। √25=5, √4/9=2/3 মূলদ সংখ্যা। 2+√3 মিশ্র দ্বিঘাত করণী।সঠিক উত্তর: (খ) √7
২. (√5 + √3)(√5 – √3) এর মান কত?
(ক) 2
(খ) 8
(গ) √15
(ঘ) 2√5
উত্তর দেখাও
সমাধান:
এটি (a+b)(a-b) = a² – b² সূত্রের আকারে আছে।সঠিক উত্তর: (ক) 2
৩. 7 – √3 এর অনুবন্ধী করণী কোনটি?
(ক) 7 + √3
(খ) -7 – √3
(গ) -7 + √3
(ঘ) √3 – 7
উত্তর দেখাও
সমাধান:
a + √b আকারের করণীর অনুবন্ধী করণী হল a – √b। এখানে 7 – √3 এর অনুবন্ধী করণী হবে 7 + √3।সঠিক উত্তর: (ক) 7 + √3
৪. x = 2 + √3 হলে, 1/x এর মান কত?
(ক) 2 – √3
(খ) √3 – 2
(গ) 1 / (√3 – 2)
(ঘ) -2 – √3
উত্তর দেখাও
সমাধান:
1/x = 1 / (2+√3) = (2-√3) / [(2+√3)(2-√3)] = (2-√3) / (4-3) = 2-√3।সঠিক উত্তর: (ক) 2 – √3
৫. √72 থেকে কত বিয়োগ করলে বিয়োগফল √32 হবে?
(ক) √40
(খ) 2√2
(গ) √2
(ঘ) 4√2
উত্তর দেখাও
সমাধান:
ধরি x বিয়োগ করতে হবে। √72 – x = √32।সঠিক উত্তর: (খ) 2√2
৬. 3√7 এবং 5√3 এর গুণফল হল—
(ক) 8√10
(খ) 15√21
(গ) 15√10
(ঘ) 8√21
উত্তর দেখাও
সমাধান:
(3√7) × (5√3) = (3×5) × (√7 × √3) = 15√21।সঠিক উত্তর: (খ) 15√21
৭. (3+√5) এর করণী নিরসক উৎপাদক হল—
(ক) √3 – 5
(খ) 3 – √5
(গ) √3 + √5
(ঘ) -3 – √5
উত্তর দেখাও
সমাধান:
করণী নিরসক উৎপাদক হল এমন একটি রাশি যা দিয়ে গুণ করলে করণীটি একটি মূলদ সংখ্যায় পরিণত হয়। (3+√5) কে (3-√5) দিয়ে গুণ করলে হয় 3²-(√5)² = 9-5=4, যা মূলদ।সঠিক উত্তর: (খ) 3 – √5
৮. x = √7 + √3 এবং y = √7 – √3 হলে, x² + y² এর মান কত?
(ক) 4
(খ) 20
(গ) 2√21
(ঘ) 10
উত্তর দেখাও
সমাধান:
x+y = (√7+√3) + (√7-√3) = 2√7।সঠিক উত্তর: (খ) 20
৯. a = 2+√3 হলে, a+1/a এর মান কত?
(ক) 2√3
(খ) 4
(গ) -2√3
(ঘ) -4
উত্তর দেখাও
সমাধান:
a = 2+√3। 1/a = 1/(2+√3) = 2-√3।সঠিক উত্তর: (খ) 4
১০. √(5+2√6) এর মান কত?
(ক) √3 + √2
(খ) √3 – √2
(গ) √5 + √6
(ঘ) 2+√3
উত্তর দেখাও
সমাধান:
√(5+2√6) = √(3+2+2√(3×2)) = √( (√3)² + (√2)² + 2√3√2 ) = √((√3+√2)²) = √3+√2।সঠিক উত্তর: (ক) √3 + √2
১১. √125 থেকে √5 বিয়োগ করলে বিয়োগফল হবে—
(ক) √80 (খ) √120 (গ) 5√4 (ঘ) 4√5 উত্তর দেখাও সমাধান: √125-√5 = √(25×5)-√5 = 5√5-√5 = 4√5। 4√5 = √(16×5) = √80।সঠিক উত্তর: (ক) √80 (এবং (ঘ) 4√5)
১২. 2√3 ও 3√2 এর মধ্যে কোনটি বৃহত্তর?
(ক) 2√3 (খ) 3√2 (গ) উভয়ই সমান (ঘ) বলা সম্ভব নয় উত্তর দেখাও সমাধান: 2√3 = √4×√3 = √12। 3√2 = √9×√2 = √18।সঠিক উত্তর: (খ) 3√2
১৩. x=√3+√2 হলে, x-1/x এর মান কত?
উত্তর দেখাও সমাধান: x = √3+√2। 1/x = 1/(√3+√2) = √3-√2।সঠিক উত্তর: (খ) 2√2
১৪. (√a + √b) ও (√a – √b) করণীদ্বয় পরস্পর—
(ক) সদৃশ করণী (খ) অসদৃশ করণী (গ) অনুবন্ধী করণী (ঘ) কোনোটিই নয় উত্তর দেখাও সমাধান: এরা পরস্পর অনুবন্ধী বা পূরক করণী।সঠিক উত্তর: (গ) অনুবন্ধী করণী
১৫. নীচের কোনটি মিশ্র দ্বিঘাত করণী?
(ক) √16 (খ) √11 (গ) 5 + √2 (ঘ) ∛7 উত্তর দেখাও সমাধান: a+√b আকারের করণী যেখানে a≠0 হল মিশ্র দ্বিঘাত করণী। 5+√2 এই আকারের।সঠিক উত্তর: (গ) 5 + √2
১৬. a = 3+√8 হলে, a³+1/a³ এর মান কত?
(ক) 216 (খ) 198 (গ) 189 (ঘ) 204 উত্তর দেখাও সমাধান: a=3+√8। 1/a=1/(3+√8)=3-√8।সঠিক উত্তর: (খ) 198
১৭. √12 কে কত দিয়ে গুণ করলে গুণফল একটি মূলদ সংখ্যা হবে?
উত্তর দেখাও সমাধান: √12 = √(4×3) = 2√3। একে √3 দিয়ে গুণ করলে হয় 2×3=6, যা মূলদ।সঠিক উত্তর: (খ) √3
১৮. x = 5-2√6 হলে, √x এর মান কত?
(ক) √3-√2 (খ) √3+√2 (গ) √5-√6 (ঘ) 2-√3 উত্তর দেখাও সমাধান: x = 5-2√6 = 3+2-2√(3×2) = (√3)²+(√2)²-2√3√2 = (√3-√2)²।সঠিক উত্তর: (ক) √3-√2
১৯. (2√2+5√3) এবং (√2-3√3) এর যোগফল কত?
(ক) 3√2+2√3 (খ) 3√2+8√3 (গ) √2+2√3 (ঘ) 3√2-2√3 উত্তর দেখাও সমাধান: (2√2+5√3) + (√2-3√3) = (2√2+√2) + (5√3-3√3) = 3√2 + 2√3।সঠিক উত্তর: (ক) 3√2+2√3
২০. x=√3 হলে x+1/x এর মান কত?
(ক) 4/√3 (খ) 2√3 (গ) 2/√3 (ঘ) 4 উত্তর দেখাও সমাধান: x+1/x = √3 + 1/√3 = (3+1)/√3 = 4/√3।সঠিক উত্তর: (ক) 4/√3
খ) অতি-সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্নাবলী (VSA) – মান ১ (২০টি)
(i) শূন্যস্থান পূরণ করো (১০টি)
১. (√a + √b) এর অনুবন্ধী করণী হল ________।
উত্তর দেখাও উত্তর: √a – √b অথবা -√a + √b
২. দুটি দ্বিঘাত করণীর যোগফল ও গুণফল উভয়ই মূলদ সংখ্যা হলে, করণীদ্বয় পরস্পর ________।
উত্তর দেখাও উত্তর: অনুবন্ধী করণী
৩. √72 এবং √28 হল ________ করণী।
উত্তর দেখাও উত্তর: অসদৃশ (কারণ √72=6√2, √28=2√7)
৪. x = √2+1 হলে, x-1/x = ________।
উত্তর দেখাও সমাধান: 1/x=√2-1। x-1/x = (√2+1)-(√2-1)=2।উত্তর: 2
৫. (√7 – 2) এর করণী নিরসক উৎপাদক হল ________।
উত্তর দেখাও উত্তর: √7 + 2
৬. a+√b = c+√d হলে এবং a,b,c,d মূলদ ও √b, √d অমূলদ হলে, a=c এবং ________ হবে।
উত্তর দেখাও উত্তর: b=d
৭. √24 এর করণী নিরসক উৎপাদক √k হলে, k-এর সর্বনিম্ন মান ________।
উত্তর দেখাও সমাধান: √24 = 2√6। একে √6 দিয়ে গুণ করলে মূলদ হয়। সুতরাং k=6।উত্তর: 6
৮. 5√3 করণীটি ________ দ্বিঘাত করণী।
উত্তর দেখাও উত্তর: শুদ্ধ
৯. (√3+1)/(√3-1) এর হরের করণী নিরসন করলে লব হবে ________।
উত্তর দেখাও সমাধান: [(√3+1)(√3+1)]/[(√3-1)(√3+1)] = (√3+1)²/(3-1) = (3+1+2√3)/2 = 4+2√3। এখানে লব (√3+1)²।উত্তর: (√3+1)² বা 4+2√3
১০. 3+√6 এবং 3-√6 এর গুণফল একটি ________ সংখ্যা।
উত্তর দেখাও সমাধান: (3+√6)(3-√6) = 9-6=3। 3 একটি মূলদ সংখ্যা।উত্তর: মূলদ
(ii) সত্য অথবা মিথ্যা লেখো (১০টি)
১. √π একটি দ্বিঘাত করণী।
উত্তর দেখাও যুক্তি: π একটি মূলদ সংখ্যা নয়, এটি একটি অমূলদ সংখ্যা। দ্বিঘাত করণী √a হতে গেলে a-কে মূলদ হতে হয়।উত্তর: মিথ্যা
২. √2 এবং √8 সদৃশ করণী।
উত্তর দেখাও যুক্তি: √8 = √(4×2) = 2√2। যেহেতু দুটি করণীর করণী অংশ (√2) একই, তাই তারা সদৃশ।উত্তর: সত্য
৩. দুটি দ্বিঘাত করণীর যোগফল সর্বদা একটি করণী হবে।
উত্তর দেখাও যুক্তি: (2+√3) + (2-√3) = 4, যা একটি মূলদ সংখ্যা, করণী নয়।উত্তর: মিথ্যা
৪. (a-b) হল (√a – √b) এর একটি করণী নিরসক উৎপাদক।
উত্তর দেখাও যুক্তি: (√a-√b) কে (√a+√b) দিয়ে গুণ করলে (a-b) হয়, যা মূলদ। তাই (√a+√b) হল করণী নিরসক উৎপাদক। (a-b) নয়।উত্তর: মিথ্যা
৫. সকল করণীই অমূলদ সংখ্যা।
উত্তর দেখাও যুক্তি: সংজ্ঞা অনুযায়ী, যে সব অমূলদ সংখ্যাকে √a আকারে প্রকাশ করা যায় যেখানে a মূলদ কিন্তু পূর্ণবর্গ নয়, তাদের করণী বলে। তাই সকল করণীই অমূলদ।উত্তর: সত্য
৬. x = √5+2 হলে, x – 1/x = 4।
উত্তর দেখাও যুক্তি: 1/x = 1/(√5+2) = √5-2। x-1/x = (√5+2)-(√5-2) = 4।উত্তর: সত্য
৭. √2 + √3 = √5।
উত্তর দেখাও যুক্তি: (√2+√3)² = 2+3+2√6 = 5+2√6। (√5)² = 5। দুটি সমান নয়।উত্তর: মিথ্যা
৮. 5-√3 এর অনুবন্ধী করণী হল -5+√3।
উত্তর দেখাও যুক্তি: অনুবন্ধী করণী হল 5+√3।উত্তর: মিথ্যা
৯. দুটি অমূলদ সংখ্যার গুণফল সর্বদা অমূলদ হয়।
উত্তর দেখাও যুক্তি: √2 × √2 = 2, যা মূলদ।উত্তর: মিথ্যা
১০. 10√3 এবং 8√3 সদৃশ করণী।
উত্তর দেখাও যুক্তি: দুটি করণীর করণী অংশ (√3) একই, তাই তারা সদৃশ।উত্তর: সত্য
গ) সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্নাবলী – মান ২ (২০টি)
১. সরল করো: √48 + √75 – √192।
উত্তর দেখাও সমাধান: √48+√75-√192 = √(16×3)+√(25×3)-√(64×3)উত্তর: √3।
২. x=√3+√2 হলে, x+1/x এর মান কত?
উত্তর দেখাও সমাধান: x = √3+√2।উত্তর: 2√3।
৩. (√7+1)/(√7-1) – (√7-1)/(√7+1) = a+b√7 হলে, a ও b-এর মান নির্ণয় করো।
উত্তর দেখাও সমাধান: বামপক্ষ = [(√7+1)²-(√7-1)²]/[(√7-1)(√7+1)] = [4×√7×1]/(7-1) = 4√7/6 = 2√7/3।উত্তর: a=0, b=2/3।
৪. 3/(√5+√2) এর হরের করণী নিরসন করো।
উত্তর দেখাও সমাধান: 3/(√5+√2) = [3(√5-√2)]/[(√5+√2)(√5-√2)]উত্তর: √5-√2।
৫. x=3+2√2 হলে, x²+1/x² এর মান নির্ণয় করো।
উত্তর দেখাও সমাধান: x=3+2√2। 1/x=1/(3+2√2)=3-2√2।উত্তর: 34।
৬. মান নির্ণয় করো: √5/(√3+√2) – 3√3/(√5+√2) + 2√2/(√5+√3)।
উত্তর দেখাও সমাধান: পদগুলিকে পৃথকভাবে করণী নিরসন করে পাই,উত্তর: 0।
৭. √2=1.414, √3=1.732 হলে, 1/(√3-√2) এর মান তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত নির্ণয় করো।
উত্তর দেখাও সমাধান: 1/(√3-√2) = √3+√2 = 1.732+1.414 = 3.146।উত্তর: 3.146।
৮. x=√3+1, y=√3-1 হলে x/y + y/x এর মান কত?
উত্তর দেখাও সমাধান: x/y + y/x = (x²+y²)/xy।উত্তর: 4।
৯. (√5+√3) এবং (√6+√2) -এর মধ্যে কোনটি বৃহত্তর?
উত্তর দেখাও সমাধান: (√5+√3)² = 5+3+2√15 = 8+2√15।উত্তর: (√5+√3) বৃহত্তর।
১০. a= (√5+1)/(√5-1), b= (√5-1)/(√5+1) হলে, a²+ab+b² এর মান কত?
উত্তর দেখাও সমাধান: a+b = [(√5+1)²+(√5-1)²]/[(√5-1)(√5+1)] = 2(5+1)/4=3।উত্তর: 8।
১১. √15 এর দুটি দ্বিঘাত করণী লেখ যাদের যোগফল মূলদ সংখ্যা।
উত্তর দেখাও সমাধান: (2+√15) এবং (2-√15)। যোগফল=4।উত্তর: (2+√15) এবং (2-√15) একটি উদাহরণ।
১২. x=2√6 এবং x+1/x=2√7 হলে, x-1/x এর মান নির্ণয় করো।
উত্তর দেখাও সমাধান: (x-1/x)² = (x+1/x)²-4 = (2√7)²-4 = 28-4=24।উত্তর: 2√6।
১৩. √7 এর করণী নিরসক উৎপাদক নির্ণয় করো।
উত্তর দেখাও সমাধান: √7 এর করণী নিরসক উৎপাদক হল √7, কারণ √7×√7=7 (মূলদ)।উত্তর: √7।
১৪. সরলতম মান নির্ণয় করো: 4√3/(2-√2) – 30/(4√3-3√2) – 3√2/(3+2√2)।
উত্তর দেখাও সমাধান: পদগুলিকে করণী নিরসন করলে,উত্তর: 2√6-12√2+12।
১৫. x= (4√15)/(√5+√3) হলে, (x+2√3)/(x-2√3) + (x+2√5)/(x-2√5) এর মান নির্ণয় করো।
উত্তর দেখাও সমাধান: x/(2√3) = (2√5)/(√5+√3)। যোগ-ভাগ করে, (x+2√3)/(x-2√3) = (2√5+√5+√3)/(2√5-√5-√3) = (3√5+√3)/(√5-√3)।উত্তর: 2।
১৬. √15+√10 এবং √18+√7 এর মধ্যে কোনটি বড়?
উত্তর দেখাও সমাধান: (√15+√10)² = 25+2√150। (√18+√7)² = 25+2√126।উত্তর: √15+√10।
১৭. (x+√x²-1) / (x-√x²-1) = 9 হলে, x-এর মান নির্ণয় করো।
উত্তর দেখাও সমাধান: যোগ-ভাগ করে, 2x / (2√x²-1) = (9+1)/(9-1) = 10/8=5/4।উত্তর: x = ±5/3।
১৮. 5/(√3+√2) ও 1/(2+√3) এর মধ্যে কোনটি বড়?
উত্তর দেখাও সমাধান: 5/(√3+√2) = 5(√3-√2) ≈ 5(1.732-1.414)=5(0.318)=1.59।উত্তর: 5/(√3+√2) বড়।
১৯. (3√7)/(√5+√2) – (5√5)/(√2+√7) + (2√2)/(√7+√5) এর সরলতম মান লেখো।
উত্তর দেখাও সমাধান: পদগুলিকে করণী নিরসন করে পাই,উত্তর: 0।
২০. x=5+2√6 হলে, √x+1/√x এর মান নির্ণয় করো।
উত্তর দেখাও সমাধান: x=(√3+√2)² => √x=√3+√2।উত্তর: 2√3।
ঘ) রচনাধর্মী প্রশ্নাবলী – মান ৩ (১০টি)
১. সরল করো: 1/(√2+√3) + 1/(√3+√4) + 1/(√4+√5) + 1/(√5+√6)।
উত্তর দেখাও সমাধান: প্রতিটি পদের করণী নিরসন করে পাই,উত্তর: √6-√2।
২. যদি x=√2+1 এবং y=√2-1 হয়, তবে (x²/y + y²/x) এর মান নির্ণয় করো।
উত্তর দেখাও সমাধান: (x³/xy + y³/xy) = (x³+y³)/xy।উত্তর: 10√2।
৩. x = (√a+√b)/(√a-√b) এবং y = (√a-√b)/(√a+√b) হলে, (x²+y²)/(x²-y²) এর মান নির্ণয় করো।
উত্তর দেখাও সমাধান: x+y = [2(a+b)]/(a-b), x-y = [4√ab]/(a-b), xy=1।
৪. a=√6+√5 এবং ab=1 হলে, a²-b² এর মান কত?
উত্তর দেখাও সমাধান: b=1/a = √6-√5।উত্তর: 4√30।
৫. যদি x=2, y=3 এবং z=6 হয়, তবে (3√x)/(√y+√z) – (4√y)/(√z+√x) + (√z)/(√x+√y) এর মান নির্ণয় করো।
উত্তর দেখাও সমাধান: x,y,z এর মান বসিয়ে এবং করণী নিরসন করে সরল করতে হবে।উত্তর: 0।
৬. x = (√3+√2)/(√3-√2) হলে, x²+1/x² এর মান নির্ণয় করো।
উত্তর দেখাও সমাধান: x = (√3+√2)² = 3+2+2√6 = 5+2√6।উত্তর: 98।
৭. a=1/(√2-1) এবং b=1/(√2+1) হলে, a²/b + b²/a এর মান নির্ণয় করো।
উত্তর দেখাও সমাধান: a=√2+1, b=√2-1।উত্তর: 10√2।
৮. সরল করো: (√2(2+√3))/(√3(√3+1)) – (√2(2-√3))/(√3(√3-1))।
উত্তর দেখাও সমাধান: লসাগু √3(√3+1)(√3-1) = 2√3।উত্তর: √3/3।
৯. x = (√p+q + √p-q) / (√p+q – √p-q) হলে, দেখাও যে qx² – 2px + q = 0।
উত্তর দেখাও সমাধান: যোগ-ভাগ প্রক্রিয়া দ্বারা,
