১০. r ব্যাসার্ধের বৃত্তে S বৃত্তচাপ দ্বারা ধৃত কেন্দ্রস্থ কোণটি হবে (S/r) ডিগ্রি।
যুক্তি:কোণটি হবে (S/r) রেডিয়ান, ডিগ্রি নয়। উত্তর: মিথ্যা
গ) সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্নাবলী – মান ২ (২০টি)
১. 63° 35′ 15″ কোণটিকে রেডিয়ানে প্রকাশ করো।
সমাধান:এটি মাধ্যমিক স্তরের বাইরে, কারণ এত জটিল হিসাব সাধারণত থাকে না। তবে পদ্ধতি হল: প্রথমে সবগুলিকে ডিগ্রিতে আনতে হবে, তারপর রেডিয়ানে। 63 + 35/60 + 15/3600 ডিগ্রি, তারপর π/180 দিয়ে গুণ।
২. একটি ত্রিভুজের দুটি কোণের মান যথাক্রমে 75° ও 45°। তৃতীয় কোণটির বৃত্তীয় মান কত?
৯. একটি ঘূর্ণায়মান রশ্মি -3π/4 কোণ উৎপন্ন করেছে। রশ্মিটি কোন দিকে কতবার পূর্ণ আবর্তন করার পর আরও কত ডিগ্রি কোণ ঘুরেছে?
সমাধান:ঋণাত্মক চিহ্ন মানে ঘড়ির কাঁটার দিকে ঘোরা। -3π/4 = -3/4 × 180° = -135°। উত্তর: রশ্মিটি ঘড়ির কাঁটার দিকে কোনো পূর্ণ আবর্তন না করে 135° কোণ ঘুরেছে।
১০. একটি কোণের ষষ্টিক ও বৃত্তীয় মান যথাক্রমে S ও C হলে, প্রমাণ করো S/180 = C/π।
১৮. একটি বৃত্তের অসমান দৈর্ঘ্যের দুটি চাপ কেন্দ্রে যে কোণ দুটি উৎপন্ন করে, তাদের অনুপাত 5:2 এবং দ্বিতীয় কোণটির ষষ্টিক মান 30°। প্রথম কোণটির ষষ্টিক ও বৃত্তীয় মান নির্ণয় করো।
সমাধান:θ₁:θ₂=5:2। θ₂=30°। θ₁/30°=5/2 => θ₁=75°। বৃত্তীয় মান = 75×(π/180)=5π/12। উত্তর: 75° এবং 5π/12।
১৯. একটি ত্রিভুজের একটি কোণের মান 60°, দ্বিতীয় কোণটির বৃত্তীয় মান 3π/8। তৃতীয় কোণটির বৃত্তীয় মান কত?
১. একটি ট্রেন 66 কিমি/ঘণ্টা বেগে চলতে চলতে একটি বৃত্তাকার পথে 10 সেকেন্ডে 110 মিটার দূরত্ব অতিক্রম করে। বৃত্তাকার পথটির ব্যাসার্ধ কত?
সমাধান:(এই প্রশ্নটি ভেদের অধ্যায়ের মতো, তবে কোণ পরিমাপের ধারণা ব্যবহার করে করা যায়)। ট্রেনের গতিবেগ = 66 km/h = 66 × (5/18) m/s = 55/3 m/s। 10 সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব (বৃত্তচাপ s) = (55/3) × 10 = 550/3 মিটার। এই দূরত্ব বৃত্তাকার পথে একটি কোণ (θ) উৎপন্ন করে। এখানে s = 110 মিটার দেওয়া আছে, যা সম্ভবত বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য। যদি বৃত্তাকার পথের দৈর্ঘ্য 110 মিটার হয় (s=110), তবে θ = s/r। θ নির্ণয় করতে হবে। গতিবেগ থেকে θ নির্ণয়: ω=v/r। এটি জটিল। সরাসরি s=110 মিটার এবং ব্যাসার্ধ r হলে, কোণ θ=110/r। কিন্তু কোণ দেওয়া নেই। প্রশ্নটি সম্ভবত হবে “একটি ট্রেন 66 কিমি/ঘণ্টা বেগে চলতে চলতে একটি বৃত্তাকার পথে 10 সেকেন্ডে যে কোণ উৎপন্ন করে, তার বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য 110 মিটার হলে…।” আমরা ধরছি, s=110 মি, v=66 কিমি/ঘণ্টা, t=10 সেকেন্ড। r=? ω = v/r। θ=ωt=(v/r)t। s=rθ=r(vt/r)=vt। s = (55/3)×10=550/3 মিটার। এখানে s=110 দেওয়া আছে। প্রশ্নে অসামঞ্জস্য আছে। যদি ধরা হয়, বৃত্তাকার পথের দৈর্ঘ্য 110 মিটার, এবং এটি অতিক্রম করতে 10 সেকেন্ড লাগে, তবে v = 110/10=11 m/s। এটি 66 কিমি/ঘণ্টা নয়। উত্তর: প্রশ্নে প্রদত্ত তথ্যে অসামঞ্জস্য রয়েছে।
২. একটি ত্রিভুজের কোণ তিনটি সমান্তর প্রগতিতে আছে এবং বৃহত্তম কোণটি ক্ষুদ্রতম কোণের দ্বিগুণ। কোণ তিনটির বৃত্তীয় মান নির্ণয় করো।
৩. ঘড়িতে যখন 4টে বাজে, তখন ঘণ্টা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যেকার কোণটির বৃত্তীয় মান কত?
সমাধান:4টে বাজে মানে ঘণ্টার কাঁটা 4-এর ঘরে এবং মিনিটের কাঁটা 12-এর ঘরে। দুটি ঘরের মধ্যে কোণ = 360°/12 = 30°। 4 এবং 12 এর মধ্যে 4টি ঘর আছে। সুতরাং কোণ = 4 × 30° = 120°। বৃত্তীয় মান = 120 × (π/180) = 2π/3 রেডিয়ান। উত্তর: 2π/3।
৪. একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 10 সেমি। ওই বৃত্তের একটি জ্যা কেন্দ্রে 60° কোণ উৎপন্ন করলে, জ্যা-টির দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
সমাধান:ধরি বৃত্তের কেন্দ্র O এবং জ্যা AB। OA=OB=10 সেমি (ব্যাসার্ধ)। কেন্দ্রস্থ কোণ ∠AOB = 60°। ΔAOB-তে, OA=OB, তাই ∠OAB = ∠OBA। ∠OAB = ∠OBA = (180°-60°)/2 = 120°/2 = 60°। যেহেতু ত্রিভুজের তিনটি কোণই 60°, তাই এটি একটি সমবাহু ত্রিভুজ। সুতরাং, জ্যা AB = OA = OB = 10 সেমি। উত্তর: জ্যা-টির দৈর্ঘ্য 10 সেমি।
৫. একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণ দুটির অন্তর 2π/5 রেডিয়ান। কোণ দুটির ষষ্টিক মান নির্ণয় করো।
সমাধান:ধরি সূক্ষ্মকোণ দুটি A ও B। A+B = 90°। A-B = 2π/5 = (2/5)×180°=72°। দুটি সমীকরণ যোগ করে পাই, 2A = 162° => A=81°। B = 90°-81°=9°। উত্তর: কোণ দুটি 81° এবং 9°।
৬. প্রমাণ করো যে, রেডিয়ান একটি ধ্রুবক কোণ।
সমাধান:ধরি, O কেন্দ্রীয় বৃত্তের r ব্যাসার্ধ। বৃত্তের উপর AB একটি বৃত্তচাপ যার দৈর্ঘ্য r। সংজ্ঞা অনুযায়ী, ∠AOB = 1 রেডিয়ান। A বিন্দু দিয়ে একটি ব্যাস AC অঙ্কন করা হল। আমরা জানি, কোনো বৃত্তের বিভিন্ন বৃত্তচাপের দ্বারা উৎপন্ন কেন্দ্রস্থ কোণগুলির মান ওই চাপগুলির দৈর্ঘ্যের সঙ্গে সমানুপাতী। ∠AOB / ∠AOC = (চাপ AB) / (চাপ ABC) ∠AOC হল সরল কোণ = 2 সমকোণ। চাপ ABC হল অর্ধ-পরিধি = πr। 1 রেডিয়ান / 2 সমকোণ = r / πr = 1/π। 1 রেডিয়ান = (2 সমকোণ) / π। যেহেতু 2 সমকোণ ও π উভয়ই ধ্রুবক, তাই 1 রেডিয়ান একটি ধ্রুবক কোণ। (প্রমাণিত)
৭. একটি গাড়ির চাকার ব্যাস 70 সেমি। চাকাটি মিনিটে 750 বার ঘুরলে, গাড়িটির গতিবেগ ঘণ্টায় কত কিলোমিটার?
৮. একটি চতুর্ভুজের তিনটি কোণের পরিমাপ যথাক্রমে π/3, 5π/6 এবং 90°। চতুর্থ কোণটির ষষ্টিক ও বৃত্তীয় মান নির্ণয় করো।
সমাধান:π/3 = 180°/3 = 60°। 5π/6 = 5/6 × 180° = 150°। তিনটি কোণের সমষ্টি = 60°+150°+90°=300°। চতুর্থ কোণ = 360° – 300° = 60°। ষষ্টিক মান = 60°। বৃত্তীয় মান = π/3 রেডিয়ান। উত্তর: চতুর্থ কোণটি 60° বা π/3 রেডিয়ান।
৯. একটি নদীর এক তীরে অবস্থিত একটি তালগাছের সোজাসুজি অপর তীরে একটি খুঁটি পোঁতা হল। এবার নদীর তীর বরাবর ওই খুঁটি থেকে 7√3 মিটার পিছিয়ে গেলে, নদীর তীরে গাছটির সঙ্গে 60° কোণ উৎপন্ন হয়। নদীটি কত মিটার চওড়া?
সমাধান:ধরি নদীর চওড়া w মিটার এবং খুঁটির প্রাথমিক অবস্থান A, গাছ B এবং পিছিয়ে যাওয়া বিন্দু C। ΔABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ, যেখানে ∠A=90°। AC=7√3 মিটার, ∠ACB=60°। tan(∠ACB) = লম্ব/ভূমি = AB/AC tan(60°) = w / (7√3) √3 = w / (7√3) w = √3 × 7√3 = 7 × 3 = 21 মিটার। উত্তর: নদীটি 21 মিটার চওড়া।
Class 10 Math কোণ পরিমাপের ধারণা Question Answer MCQ,অতি-সংক্ষিপ্ত, ও রচনাধর্মী প্রশ্ন উত্তর : class 10 কোণ পরিমাপের ধারণা প্রশ্ন উত্তর
