ক) বহুবিকল্পভিত্তিক প্রশ্নাবলী (MCQ) – মান ১ (২০টি)
১. sin²θ + cos²θ -এর মান হল—
উত্তর দেখাও
সমাধান:
এটি একটি মৌলিক ত্রিকোণমিতিক অভেদ। যেকোনো কোণ θ-এর জন্য sin²θ + cos²θ = 1।সঠিক উত্তর: (খ) 1
২. tanθ × cotθ -এর মান কত (0° < θ < 90°)?
(ক) 0
(খ) 1
(গ) √3
(ঘ) 1/√3
উত্তর দেখাও
সমাধান:
আমরা জানি, cotθ = 1/tanθ।সঠিক উত্তর: (খ) 1
৩. যদি tanθ = 4/3 হয়, তবে sinθ-এর মান কত?
(ক) 3/5
(খ) 4/5
(গ) 5/4
(ঘ) 3/4
উত্তর দেখাও
সমাধান:
tanθ = লম্ব/ভূমি = 4/3।সঠিক উত্তর: (খ) 4/5
৪. sec²θ – tan²θ -এর মান কত?
উত্তর দেখাও
সমাধান:
এটি একটি মৌলিক ত্রিকোণমিতিক অভেদ। sec²θ – tan²θ = 1।সঠিক উত্তর: (খ) 1
৫. sin(90°-θ) -এর মান হল—
(ক) sinθ
(খ) cosθ
(গ) -sinθ
(ঘ) -cosθ
উত্তর দেখাও
সমাধান:
পূরক কোণের সূত্র অনুযায়ী, sin(90°-θ) = cosθ।সঠিক উত্তর: (খ) cosθ
৬. tan45° + cot45° -এর মান কত?
উত্তর দেখাও
সমাধান:
আমরা জানি, tan45° = 1 এবং cot45° = 1।সঠিক উত্তর: (খ) 2
৭. যদি sinθ = cosθ হয়, তবে θ-এর মান কত (0° < θ < 90°)?
(ক) 30°
(খ) 45°
(গ) 60°
(ঘ) 90°
উত্তর দেখাও
সমাধান:
sinθ = cosθ => sinθ/cosθ = 1 => tanθ = 1।সঠিক উত্তর: (খ) 45°
৮. tan1° tan2° tan3° … tan89° -এর মান হল—
(ক) 0
(খ) 1
(গ) √3
(ঘ) অসংজ্ঞাত
উত্তর দেখাও
সমাধান:
tan89° = tan(90°-1°) = cot1° = 1/tan1°।সঠিক উত্তর: (খ) 1
৯. 2cos3θ = 1 হলে, θ-এর মান কত?
(ক) 10°
(খ) 15°
(গ) 20°
(ঘ) 30°
উত্তর দেখাও
সমাধান:
2cos3θ = 1 => cos3θ = 1/2।সঠিক উত্তর: (গ) 20°
১০. sinθ-এর সর্বোচ্চ মান কত?
(ক) 0
(খ) 1/2
(গ) 1/√2
(ঘ) 1
উত্তর দেখাও
সমাধান:
যেকোনো কোণ θ-এর জন্য, sinθ-এর মান -1 থেকে 1-এর মধ্যে থাকে। অর্থাৎ -1 ≤ sinθ ≤ 1।সঠিক উত্তর: (ঘ) 1
১১. cosec²A – 1 -এর মান কত?
(ক) tan²A (খ) cot²A (গ) sin²A (ঘ) cos²A উত্তর দেখাও সমাধান: আমরা জানি, cosec²A – cot²A = 1।সঠিক উত্তর: (খ) cot²A
১২. যদি secθ + tanθ = 2 হয়, তবে secθ – tanθ -এর মান কত?
উত্তর দেখাও সমাধান: আমরা জানি, sec²θ – tan²θ = 1 => (secθ+tanθ)(secθ-tanθ) = 1।সঠিক উত্তর: (খ) 1/2
১৩. cos(α+β) = 0 হলে, sin(α+β-30°) -এর মান কত?
(ক) 1/2 (খ) √3/2 (গ) 1 (ঘ) 0 উত্তর দেখাও সমাধান: cos(α+β)=0 => cos(α+β)=cos90° => α+β=90°।সঠিক উত্তর: (খ) √3/2
১৪. (1+tan²A)(1-sin²A) -এর মান হল—
উত্তর দেখাও সমাধান: (1+tan²A) = sec²A এবং (1-sin²A) = cos²A।সঠিক উত্তর: (খ) 1
১৫. যদি 0° < α < 90° হয়, তবে sec²α + cos²α -এর সর্বনিম্ন মান কত?
উত্তর দেখাও সমাধান: sec²α+cos²α = (secα-cosα)² + 2secαcosα = (secα-cosα)² + 2।সঠিক উত্তর: (গ) 2
১৬. ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠B=90° এবং AB=BC হলে, ∠BAC -এর মান কত?
(ক) 30° (খ) 45° (গ) 60° (ঘ) 90° উত্তর দেখাও সমাধান: AB=BC হলে, এটি একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।সঠিক উত্তর: (খ) 45°
১৭. sin²1° + sin²2° + … + sin²89° -এর মান হল—
(ক) 1 (খ) 44 (গ) 44.5 (ঘ) 89 উত্তর দেখাও সমাধান: রাশিটি = (sin²1°+sin²89°)+(sin²2°+sin²88°)+…+sin²45°সঠিক উত্তর: (গ) 44.5
১৮. cos²20° + cos²70° -এর মান কত?
উত্তর দেখাও সমাধান: cos²70° = cos²(90°-20°) = sin²20°।সঠিক উত্তর: (খ) 1
১৯. একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ 10 সেমি এবং একটি বাহু 5 সেমি হলে, বাহুটির সংলগ্ন কোণটি কত?
(ক) 30° (খ) 45° (গ) 60° (ঘ) 90° উত্তর দেখাও সমাধান: ধরি কোণটি θ। সংলগ্ন বাহু (ভূমি) = 5 সেমি, অতিভুজ = 10 সেমি।সঠিক উত্তর: (গ) 60°
২০. x=2sinθ এবং y=3cosθ হলে, 9x²+4y² -এর মান কত?
উত্তর দেখাও সমাধান: 9x²+4y² = 9(2sinθ)² + 4(3cosθ)²সঠিক উত্তর: (খ) 36
খ) অতি-সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্নাবলী (VSA) – মান ১ (২০টি)
(i) শূন্যস্থান পূরণ করো (১০টি)
১. tan35°/cot55° -এর মান ________।
উত্তর দেখাও সমাধান: cot55°=cot(90°-35°)=tan35°। মান = tan35°/tan35°=1।উত্তর: 1
২. cosθ-এর মান সর্বদা ________ অথবা তার থেকে ছোট।
উত্তর দেখাও উত্তর: 1
৩. sec²48° – tan²48° = ________।
উত্তর দেখাও উত্তর: 1
৪. sin²θ + sin²(90°-θ) = ________।
উত্তর দেখাও সমাধান: sin²θ + cos²θ = 1।উত্তর: 1
৫. ABC ত্রিভুজে sin((A+B)/2) = cos(________)।
উত্তর দেখাও সমাধান: A+B=180°-C => (A+B)/2 = 90°-C/2। sin(90°-C/2)=cos(C/2)।উত্তর: C/2
৬. sin3α = cos(α-26°) হলে এবং 3α সূক্ষ্মকোণ হলে, α-এর মান ________।
উত্তর দেখাও সমাধান: sin3α=sin(90°-(α-26°)) => 3α=90-α+26 => 4α=116 => α=29°।উত্তর: 29°
৭. tanθ = 1/√3 হলে, sinθ-এর মান ________।
উত্তর দেখাও সমাধান: tanθ=1/√3 => θ=30°। sin30°=1/2।উত্তর: 1/2
৮. (1-cos²θ)cosec²θ = ________।
উত্তর দেখাও সমাধান: sin²θ × (1/sin²θ) = 1।উত্তর: 1
৯. 0° ≤ θ ≤ 90° হলে, cosθ-এর সর্বনিম্ন মান হল ________।
উত্তর দেখাও সমাধান: θ=90° হলে cosθ=0 হয়।উত্তর: 0
১০. √(sec²θ+cosec²θ) = tanθ + ________।
উত্তর দেখাও সমাধান: √(1/cos²θ+1/sin²θ) = √((sin²θ+cos²θ)/(sin²θcos²θ)) = 1/(sinθcosθ) = secθcosecθ।উত্তর: cotθ
(ii) সত্য অথবা মিথ্যা লেখো (১০টি)
১. sinθ-এর মান 1-এর বেশি হতে পারে।
উত্তর দেখাও যুক্তি: sinθ-এর সর্বোচ্চ মান 1।উত্তর: মিথ্যা
২. cos²θ – sin²θ = 1 একটি অভেদ।
উত্তর দেখাও যুক্তি: সঠিক অভেদটি হল cos²θ + sin²θ = 1।উত্তর: মিথ্যা
৩. θ-এর মান বৃদ্ধির সাথে সাথে sinθ-এর মান বৃদ্ধি পায় (0°≤θ≤90°)।
উত্তর দেখাও যুক্তি: sin0°=0, sin30°=1/2, sin90°=1। মান বৃদ্ধি পাচ্ছে।উত্তর: সত্য
৪. tanA ও cotA পরস্পর অন্যোন্যক।
উত্তর দেখাও যুক্তি: cotA = 1/tanA।উত্তর: সত্য
৫. যদি A+B=90° হয়, তবে secA = cosecB।
উত্তর দেখাও যুক্তি: A=90°-B। secA = sec(90°-B) = cosecB।উত্তর: সত্য
৬. sin(α+β) = sinα + sinβ।
উত্তর দেখাও যুক্তি: ধরি α=30°, β=60°। sin(90°)=1। sin30°+sin60°=1/2+√3/2≠1।উত্তর: মিথ্যা
৭. secθ-এর কোনো মান 1/2 হতে পারে।
উত্তর দেখাও যুক্তি: secθ = 1/cosθ। যেহেতু cosθ-এর মান -1 থেকে 1, তাই secθ-এর মান ≤ -1 অথবা ≥ 1। 1/2 এই পরিসরের মধ্যে নেই।উত্তর: মিথ্যা
৮. sinθ = cosβ হলে, θ+β = 90°।
উত্তর দেখাও যুক্তি: sinθ = sin(90°-β) => θ=90°-β => θ+β=90°।উত্তর: সত্য
৯. একটি রশ্মির প্রান্তবিন্দুকে কেন্দ্র করে রশ্মিটির একবার পূর্ণ আবর্তনের জন্য 360° কোণ উৎপন্ন হয়।
উত্তর দেখাও যুক্তি: এটি কোণের সংজ্ঞা।উত্তর: সত্য
১০. √(1-sin²A)/sinA = cotA (0°< A <90°)।
উত্তর দেখাও যুক্তি: √(cos²A)/sinA = cosA/sinA = cotA।উত্তর: সত্য
গ) সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্নাবলী – মান ২ (২০টি)
১. sinθ = 4/5 হলে, (cosecθ)/(1+cot²θ) -এর মান নির্ণয় করো।
উত্তর দেখাও সমাধান: 1+cot²θ = cosec²θ।উত্তর: 4/5।
২. secθ+tanθ = 2 হলে, secθ -এর মান নির্ণয় করো।
উত্তর দেখাও সমাধান: secθ+tanθ=2 …(i)।উত্তর: 5/4।
৩. মান নির্ণয় করো: 5cos²60° + 4sec²30° – tan²45° / sin²30°+cos²30°।
উত্তর দেখাও সমাধান: sin²30°+cos²30°=1।উত্তর: 67/12।
৪. দেখাও যে, (1+tan²A)/(1+cot²A) = tan²A।
উত্তর দেখাও সমাধান: বামপক্ষ = sec²A/cosec²A = (1/cos²A)/(1/sin²A) = sin²A/cos²A = tan²A = ডানপক্ষ।উত্তর: প্রমাণিত।
৫. যদি tan(A+B)=√3 এবং tan(A-B)=1/√3 হয়; 0° < A+B ≤ 90°, A>B হলে A ও B-এর মান নির্ণয় করো।
উত্তর দেখাও সমাধান: tan(A+B)=√3 => A+B=60°।উত্তর: A=45°, B=15°।
৬. মান নির্ণয় করো: sec70°sin20° + cos20°cosec70°।
উত্তর দেখাও সমাধান: sec(90-20)sin20 + cos20cosec(90-20)উত্তর: 2।
৭. প্রমাণ করো: (sinθ-2sin³θ)/(2cos³θ-cosθ) = tanθ।
উত্তর দেখাও সমাধান: বামপক্ষ = [sinθ(1-2sin²θ)]/[cosθ(2cos²θ-1)]উত্তর: প্রমাণিত।
৮. sin17° = x/y হলে দেখাও যে, sec17° – sin73° = x²/(y√(y²-x²))।
উত্তর দেখাও সমাধান: cos17°=√(1-sin²17°)=√(1-x²/y²)=√(y²-x²)/y।উত্তর: প্রমাণিত।
৯. tanθ = 8/15 হলে, (1-sinθ)/(1+sinθ) এর মান কত?
উত্তর দেখাও সমাধান: tanθ=8/15 (লম্ব/ভূমি)। অতিভুজ=√(8²+15²)=√289=17।উত্তর: 9/25।
১০. θ-এর কোন্ মানের জন্য (0°≤θ≤90°), 2sin²θ-3sinθ+1=0 হবে?
উত্তর দেখাও সমাধান: 2sin²θ-2sinθ-sinθ+1=0 => 2sinθ(sinθ-1)-1(sinθ-1)=0উত্তর: θ=30°, 90°।
১১. θ ধনাত্মক সূক্ষ্মকোণ এবং cotθ=4/3 হলে, cosθ-sinθ এর মান নির্ণয় করো।
উত্তর দেখাও সমাধান: cotθ=4/3 (ভূমি/লম্ব)। অতিভুজ=5।উত্তর: 1/5।
১২. 12secA=13 হলে, sinA+cosA এর মান কত?
উত্তর দেখাও সমাধান: secA=13/12 (অতিভুজ/ভূমি)। লম্ব=√(13²-12²)=√25=5।উত্তর: 17/13।
১৩. যদি α+β=90° এবং tanα=3/4 হয়, তবে cotβ এর মান কত?
উত্তর দেখাও সমাধান: α=90°-β।উত্তর: 3/4।
১৪. cos43°=a/√(a²+b²) হলে, tan47° এর মান দেখাও।
উত্তর দেখাও সমাধান: cos43°=ভূমি/অতিভুজ=a/√(a²+b²)। লম্ব=b।উত্তর: a/b।
১৫. মান নির্ণয় করো: cot12° cot38° cot52° cot78° cot60°।
উত্তর দেখাও সমাধান: (cot12°cot78°)(cot38°cot52°)cot60°উত্তর: 1/√3।
১৬. দেখাও যে, sin²(π/8)+sin²(3π/8)+sin²(5π/8)+sin²(7π/8)=2।
উত্তর দেখাও সমাধান: 5π/8=π-3π/8, 7π/8=π-π/8।উত্তর: প্রমাণিত।
১৭. 2sinθcosθ=1 হলে, sin⁴θ+cos⁴θ এর মান নির্ণয় করো।
উত্তর দেখাও সমাধান: (sinθ+cosθ)²=sin²θ+cos²θ+2sinθcosθ=1+1=2।উত্তর: 1/2।
১৮. tanA=n.tanB এবং sinA=m.sinB হলে, দেখাও যে cos²A=(m²-1)/(n²-1)।
উত্তর দেখাও সমাধান: cotB=n.cotA, cosecB=m.cosecA।
১৯. secA+tanA=x হলে, sinA এর মান নির্ণয় করো।
উত্তর দেখাও সমাধান: secA-tanA=1/x। যোগ করে, 2secA=x+1/x=(x²+1)/x।উত্তর: (x²-1)/(x²+1)।
২০. 3sin²θ+7cos²θ=4 হলে, tanθ এর মান নির্ণয় করো।
উত্তর দেখাও সমাধান: 3sin²θ+7(1-sin²θ)=4 => 3sin²θ+7-7sin²θ=4 => 3=4sin²θউত্তর: √3।
ঘ) রচনাধর্মী প্রশ্নাবলী – মান ৩ (১০টি)
১. প্রমাণ করো: √(1+cosθ)/(1-cosθ) = cosecθ+cotθ।
উত্তর দেখাও সমাধান: বামপক্ষ = √[(1+cosθ)(1+cosθ)]/[(1-cosθ)(1+cosθ)] = √[(1+cosθ)²/(1-cos²θ)]
২. যদি sinθ+sin²θ=1 হয়, তবে প্রমাণ করো যে cos²θ+cos⁴θ=1।
উত্তর দেখাও সমাধান: sinθ+sin²θ=1 => sinθ = 1-sin²θ = cos²θ।
৩. যদি x=asecθ+btanθ এবং y=atanθ+bsecθ হয়, তবে প্রমাণ করো যে x²-y²=a²-b²।
উত্তর দেখাও সমাধান: x²=(asecθ+btanθ)²=a²sec²θ+b²tan²θ+2absecθtanθ।
৪. θ কোণের কোনো মানের জন্য 5cosθ+12sinθ=13 সম্পর্কটি সত্য হলে, tanθ এর মান নির্ণয় করো।
উত্তর দেখাও সমাধান: উভয়পক্ষকে 13 দিয়ে ভাগ করে পাই,উত্তর: 12/5।
৫. যদি tan²θ = 1-e² হয়, তবে প্রমাণ করো যে secθ+tan³θcosecθ = (2-e²)^(3/2)।
উত্তর দেখাও সমাধান: sec²θ=1+tan²θ=1+1-e²=2-e²। secθ=√(2-e²)।
৬. cosθ+secθ=2 হলে, cos¹⁰⁰θ+sec¹⁰⁰θ এর মান নির্ণয় করো।
উত্তর দেখাও সমাধান: cosθ+1/cosθ=2 => cos²θ+1=2cosθ => cos²θ-2cosθ+1=0 => (cosθ-1)²=0।উত্তর: 2।
৭. প্রমাণ করো: sin⁶α+cos⁶α = 1-3sin²αcos²α।
উত্তর দেখাও সমাধান: বামপক্ষ = (sin²α)³+(cos²α)³
৮. একটি ঘুড়ির উন্নতি কোণ 60° এবং সুতোর দৈর্ঘ্য 20√3 মিটার হলে, ঘুড়িটি মাটি থেকে কত উঁচুতে আছে?
উত্তর দেখাও সমাধান: ধরি উচ্চতা h মিটার। সুতোর দৈর্ঘ্য হল অতিভুজ।উত্তর: ঘুড়িটি 30 মিটার উঁচুতে আছে।
৯. দেখাও যে, (secA-tanA)/(secA+tanA) = 1 – 2secAtanA + 2tan²A।
উত্তর দেখাও সমাধান: বামপক্ষ = (secA-tanA)² / [(secA+tanA)(secA-tanA)]উত্তর: প্রদত্ত প্রশ্নে ত্রুটি আছে। সঠিক প্রমাণ হবে = 1 – 2secAtanA + 2tan²A।
