ক) বহুবিকল্পভিত্তিক প্রশ্নাবলী (MCQ) – মান ১ (২০টি)
১. sin(90° – θ) -এর মান হল—
(ক) sinθ
(খ) -sinθ
(গ) cosθ
(ঘ) -cosθ
উত্তর দেখাও
সমাধান:
পূরক কোণের সূত্র অনুযায়ী, sin(90° – θ) = cosθ।সঠিক উত্তর: (গ) cosθ
২. tan35°/cot55° -এর মান কত?
(ক) 0
(খ) 1
(গ) -1
(ঘ) অসংজ্ঞাত
উত্তর দেখাও
সমাধান:
cot55° = cot(90° – 35°) = tan35°।সঠিক উত্তর: (খ) 1
৩. cos²20° + cos²70° -এর মান কত?
(ক) 0
(খ) 1
(গ) 2
(ঘ) 1/2
উত্তর দেখাও
সমাধান:
cos²70° = cos²(90° – 20°) = sin²20°।সঠিক উত্তর: (খ) 1
৪. যদি A + B = 90° হয়, তবে secA সমান হবে—
(ক) secB
(খ) cosB
(গ) cosecB
(ঘ) sinB
উত্তর দেখাও
সমাধান:
A = 90° – B।সঠিক উত্তর: (গ) cosecB
৫. tan1° tan2° tan3° … tan89° -এর মান হল—
(ক) 0
(খ) 1
(গ) √3
(ঘ) অসংজ্ঞাত
উত্তর দেখাও
সমাধান:
রাশিটি হল (tan1°tan89°)(tan2°tan88°)…tan45°সঠিক উত্তর: (খ) 1
৬. cosec²48° – tan²42° -এর মান কত?
উত্তর দেখাও
সমাধান:
tan²42° = tan²(90° – 48°) = cot²48°।সঠিক উত্তর: (খ) 1
৭. sin(θ+18°) = cos60° হলে, tan3θ -এর মান কত?
(ক) 1
(খ) 1/√3
(গ) √3
(ঘ) 0
উত্তর দেখাও
সমাধান:
sin(θ+18°) = cos60° = sin(90°-60°) = sin30°।সঠিক উত্তর: প্রদত্ত প্রশ্নে ত্রুটি আছে।
৮. ABC ত্রিভুজে sin((B+C)/2) -এর মান হল—
(ক) sin(A/2)
(খ) cos(A/2)
(গ) tan(A/2)
(ঘ) cot(A/2)
উত্তর দেখাও
সমাধান:
A+B+C = 180° => B+C = 180° – A => (B+C)/2 = 90° – A/2।সঠিক উত্তর: (খ) cos(A/2)
৯. sec5A = cosec(A-36°) হলে এবং 5A একটি সূক্ষ্মকোণ হলে, A-এর মান কত?
(ক) 18°
(খ) 21°
(গ) 24°
(ঘ) 36°
উত্তর দেখাও
সমাধান:
sec5A = sec(90° – (A-36°)) = sec(90°-A+36°) = sec(126°-A)।সঠিক উত্তর: (খ) 21°
১০. দুটি কোণের সমষ্টি 90° হলে, তাদের কী বলে?
(ক) পূরক কোণ
(খ) সম্পূরক কোণ
(গ) সন্নিহিত কোণ
(ঘ) বিপ্রতীপ কোণ
উত্তর দেখাও
সমাধান:
দুটি কোণের সমষ্টি 90° বা π/2 রেডিয়ান হলে, তাদের পরস্পর পূরক কোণ বলে।সঠিক উত্তর: (ক) পূরক কোণ
১১. cot(90°-α) এর মান—
(ক) cotα (খ) tanα (গ) sinα (ঘ) cosα উত্তর দেখাও সমাধান: পূরক কোণের সূত্র অনুযায়ী, cot(90°-α) = tanα।সঠিক উত্তর: (খ) tanα
১২. sec²12° – 1/tan²78° -এর মান কত?
উত্তর দেখাও সমাধান: 1/tan²78° = cot²78° = cot²(90°-12°) = tan²12°।সঠিক উত্তর: (খ) 1
১৩. cos53°/sin37° -এর মান কত?
উত্তর দেখাও সমাধান: sin37°=sin(90°-53°)=cos53°।সঠিক উত্তর: (ক) 1
১৪. sin²45° – cos²45° -এর মান কত?
(ক) 1 (খ) 0 (গ) 1/2 (ঘ) -1/2 উত্তর দেখাও সমাধান: sin45°=1/√2, cos45°=1/√2।সঠিক উত্তর: (খ) 0
১৫. যদি tanθ.tan60°=1 হয়, তবে θ-এর মান—
(ক) 30° (খ) 45° (গ) 60° (ঘ) 90° উত্তর দেখাও সমাধান: tanθ = 1/tan60° = cot60° = tan(90°-60°) = tan30°।সঠিক উত্তর: (ক) 30°
১৬. cos²1°+cos²2°+…+cos²90° -এর মান—
(ক) 1 (খ) 44.5 (গ) 45 (ঘ) 89 উত্তর দেখাও সমাধান: (cos²1°+cos²89°)+…+(cos²44°+cos²46°)+cos²45°+cos²90°সঠিক উত্তর: (খ) 44.5
১৭. যদি sinA=cosB হয় এবং A ও B সূক্ষ্মকোণ হয়, তবে—
(ক) A-B=90° (খ) A+B=90° (গ) A=B (ঘ) A+B=180° উত্তর দেখাও সমাধান: sinA=sin(90°-B) => A=90°-B => A+B=90°।সঠিক উত্তর: (খ) A+B=90°
১৮. (sec23°-cosec67°) -এর মান হল—
উত্তর দেখাও সমাধান: cosec67°=cosec(90°-23°)=sec23°।সঠিক উত্তর: (ক) 0
১৯. tan(2θ+45°)=cot3θ হলে এবং (2θ+45°), 3θ সূক্ষ্মকোণ হলে, θ-এর মান—
(ক) 5° (খ) 9° (গ) 12° (ঘ) 15° উত্তর দেখাও সমাধান: tan(2θ+45°)=tan(90°-3θ)।সঠিক উত্তর: (খ) 9°
২০. ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার ∠C=90°। cos(A+B) -এর মান হল—
(ক) 0 (খ) 1 (গ) 1/2 (ঘ) √3/2 উত্তর দেখাও সমাধান: A+B+C=180° => A+B = 180°-90°=90°।সঠিক উত্তর: (ক) 0
খ) অতি-সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্নাবলী (VSA) – মান ১ (২০টি)
(i) শূন্যস্থান পূরণ করো (১০টি)
১. sin²40° + sin²50° = ________।
উত্তর দেখাও সমাধান: sin²50°=cos²40°। মান = sin²40°+cos²40°=1।উত্তর: 1
২. tan70° -এর পূরক কোণের tangent হল ________।
উত্তর দেখাও সমাধান: 70°-এর পূরক কোণ 20°। tan20°।উত্তর: tan20°
৩. দুটি কোণের সমষ্টি 90° হলে, একটির sine অপরটির ________ -এর সমান।
উত্তর দেখাও উত্তর: cosine
৪. tanθ = cotα হলে, θ+α = ________।
উত্তর দেখাও উত্তর: 90°
৫. cosec²θ – cot²(90°-θ) = ________।
উত্তর দেখাও সমাধান: cosec²θ – tan²θ। এর কোনো নির্দিষ্ট মান নেই। প্রশ্নে ত্রুটি আছে।উত্তর: প্রশ্নে ত্রুটি আছে।
৬. sin35°cos55° + cos35°sin55° = ________।
উত্তর দেখাও সমাধান: sin35°sin35°+cos35°cos35° = sin²35°+cos²35°=1।উত্তর: 1
৭. sec(90°-θ) = ________।
উত্তর দেখাও উত্তর: cosecθ
৮. tan40°/cot50° -এর সরলতম মান ________।
উত্তর দেখাও উত্তর: 1
৯. দুটি পূরক কোণের অনুপাত 2:3 হলে, বৃহত্তম কোণটির মান ________ ডিগ্রি।
উত্তর দেখাও সমাধান: যোগফল=5। বৃহত্তম কোণ=(3/5)×90°=54°।উত্তর: 54
১০. ABC ত্রিভুজে tan((A+C)/2) = cot(________)।
উত্তর দেখাও সমাধান: A+C=180°-B => (A+C)/2=90°-B/2। tan(90°-B/2)=cot(B/2)।উত্তর: B/2
(ii) সত্য অথবা মিথ্যা লেখো (১০টি)
১. sin12° – cos78° = 0।
উত্তর দেখাও যুক্তি: cos78°=cos(90°-12°)=sin12°। sin12°-sin12°=0।উত্তর: সত্য
২. α ও β পরস্পর পূরক কোণ হলে tanα = tanβ।
উত্তর দেখাও যুক্তি: α+β=90° => α=90°-β => tanα=tan(90°-β)=cotβ।উত্তর: মিথ্যা
৩. cosec²25° – cot²65° = 1।
উত্তর দেখাও যুক্তি: cot²65°=cot²(90-25)=tan²25°। cosec²25°-tan²25° এর কোনো নির্দিষ্ট মান নেই।উত্তর: মিথ্যা
৪. sin0°+sin1°+…+sin90° = cos0°+cos1°+…+cos90°।
উত্তর দেখাও যুক্তি: sin0=cos90, sin1=cos89,…sin90=cos0। উভয়পক্ষে একই পদ আছে, শুধু क्रम ভিন্ন।উত্তর: সত্য
৫. পূরক কোণের ধারণা শুধুমাত্র সূক্ষ্মকোণের ক্ষেত্রেই প্রযোজ্য।
উত্তর দেখাও যুক্তি: মাধ্যমিক স্তরে পূরক কোণের অনুপাত সূক্ষ্মকোণের জন্য আলোচনা করা হয়।উত্তর: সত্য (মাধ্যমিক স্তরের পরিপ্রেক্ষিতে)
৬. sin(A+B) = sinA+sinB সর্বদা সত্য।
উত্তর দেখাও যুক্তি: এটি সত্য নয়। যেমন, A=30, B=60 হলে sin90=1, কিন্তু sin30+sin60≠1।উত্তর: মিথ্যা
৭. sec²θ – cosec²(90°-θ) = 1।
উত্তর দেখাও যুক্তি: cosec²(90°-θ) = sec²θ। sec²θ-sec²θ=0।উত্তর: মিথ্যা
৮. tan45° এর পূরক কোণের tangent এর মান 1।
উত্তর দেখাও যুক্তি: 45°-এর পূরক কোণ 45°। tan45°=1।উত্তর: সত্য
৯. cot²θ = cosec²(90°-θ) – 1।
উত্তর দেখাও যুক্তি: cosec²(90°-θ)=sec²θ। sec²θ-1=tan²θ। cot²θ≠tan²θ।উত্তর: মিথ্যা
১০. sin10° > cos10°।
উত্তর দেখাও যুক্তি: 45° এর কম কোণের জন্য cos এর মান sin এর চেয়ে বেশি হয়।উত্তর: মিথ্যা
গ) সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্নাবলী – মান ২ (২০টি)
১. দেখাও যে, tan48°tan23°tan42°tan67° = 1।
উত্তর দেখাও সমাধান: বামপক্ষ=(tan48°tan42°)(tan23°tan67°)
২. মান নির্ণয় করো: sin²5°+sin²10°+sin²80°+sin²85°।
উত্তর দেখাও সমাধান: (sin²5°+sin²85°)+(sin²10°+sin²80°)উত্তর: 2।
৩. যদি tan4θ.tan6θ=1 হয় এবং 6θ সূক্ষ্মকোণ হয়, তবে θ-এর মান নির্ণয় করো।
উত্তর দেখাও সমাধান: tan6θ=1/tan4θ=cot4θ=tan(90°-4θ)।উত্তর: 9°।
৪. sec5A=cosec(A+36°) হলে এবং 5A সূক্ষ্মকোণ হলে, A-এর মান নির্ণয় করো।
উত্তর দেখাও সমাধান: sec5A=sec(90°-(A+36°))=sec(54°-A)।উত্তর: 9°।
৫. মান নির্ণয় করো: (sin27°/cos63°)² + (cos63°/sin27°)²।
উত্তর দেখাও সমাধান: (sin27°/sin27°)²+(cos63°/cos63°)² = 1²+1²=2।উত্তর: 2।
৬. sec²10° – cot²80° এর মান নির্ণয় করো।
উত্তর দেখাও সমাধান: cot²80° = tan²10°। মান = sec²10°-tan²10°=1।উত্তর: 1।
৭. যদি ∠P+∠Q=90° হয়, তবে দেখাও যে √(sinP/cosQ) – sinPcosQ = cos²P।
উত্তর দেখাও সমাধান: cosQ=sinP। বামপক্ষ = √(sinP/sinP)-sinPsinP = 1-sin²P = cos²P = ডানপক্ষ।উত্তর: প্রমাণিত।
৮. tanA=cotB হলে, A+B এর মান নির্ণয় করো।
উত্তর দেখাও সমাধান: tanA=tan(90°-B) => A=90°-B => A+B=90°।উত্তর: 90°।
৯. 2sin²63°+1+2sin²27° / 3cos²17°-2+3cos²73° এর মান কত?
উত্তর দেখাও সমাধান: লব = 2(sin²63°+sin²27°)+1 = 2(sin²63°+cos²63°)+1=2(1)+1=3।উত্তর: 3।
১০. sinθ=cos(θ-45°) হলে, tanθ এর মান নির্ণয় করো।
উত্তর দেখাও সমাধান: sinθ=sin(90°-(θ-45°))=sin(135°-θ)।
১১. sin5θ=cos4θ হলে, 9θ এর মান নির্ণয় করো (5θ, 4θ সূক্ষ্মকোণ)।
উত্তর দেখাও সমাধান: sin5θ=sin(90°-4θ) => 5θ=90°-4θ => 9θ=90°।উত্তর: 90°।
১২. সরল করো: (sin²30°+4cot²45°-sec²60°)/(cosec²45°sec²30°)।
উত্তর দেখাও সমাধান: লব=(1/2)²+4(1)²-(2)²=1/4+4-4=1/4।উত্তর: 3/32।
১৩. দেখাও যে, sin42°sec48°+cos42°cosec48°=2।
উত্তর দেখাও সমাধান: sin42°cosec42°+cos42°sec42° = 1+1=2।উত্তর: প্রমাণিত।
১৪. যদি 7sin²θ+3cos²θ=4 হয়, তবে tanθ এর মান নির্ণয় করো।
উত্তর দেখাও সমাধান: 7sin²θ+3(1-sin²θ)=4 => 4sin²θ+3=4 => 4sin²θ=1 => sin²θ=1/4।উত্তর: 1/√3।
১৫. cos²1°+cos²3°+…+cos²89° এর মান নির্ণয় করো।
উত্তর দেখাও সমাধান: পদসংখ্যা= (89-1)/2+1=45।উত্তর: 22.5।
১৬. sec²A(1+sinA)(1-sinA) এর সরলতম মান কত?
উত্তর দেখাও সমাধান: sec²A(1-sin²A)=sec²A.cos²A = (1/cos²A)cos²A=1।উত্তর: 1।
১৭. sin²α+cos²β=1 হলে এবং α,β পূরক হলে তাদের মধ্যে সম্পর্ক কী?
উত্তর দেখাও সমাধান: α+β=90°, cosβ=sinα।উত্তর: α=β=45°।
ঘ) রচনাধর্মী প্রশ্নাবলী – মান ৩ (১০টি)
১. প্রমাণ করো: (sinθ+cosecθ)²+(cosθ+secθ)² = 7+tan²θ+cot²θ।
উত্তর দেখাও সমাধান: বামপক্ষ = sin²θ+cosec²θ+2sinθcosecθ + cos²θ+sec²θ+2cosθsecθ
২. tan9°=a/b হলে, প্রমাণ করো যে, (sec²81°)/(1+cot²81°) = b²/a²।
উত্তর দেখাও সমাধান: বামপক্ষ = sec²81°/cosec²81° = (1/cos²81°)/(1/sin²81°) = sin²81°/cos²81° = tan²81°।
৩. যদি sinθ/x = cosθ/y হয়, তবে প্রমাণ করো যে, sinθ-cosθ = (x-y)/√(x²+y²)।
উত্তর দেখাও সমাধান: sinθ/x=cosθ/y=k (ধরি)। sinθ=kx, cosθ=ky।
৪. কোণ α ও β পরস্পর পূরক কোণ হলে, দেখাও যে, (১) sin²α+sin²β=1 (২) cotβ+cosβ=cosβ/sinα (1+sinβ)।
উত্তর দেখাও সমাধান: (১) α+β=90° => β=90°-α। sinβ=sin(90-α)=cosα।
৫. মান নির্ণয় করো: cot12°cot38°cot52°cot60°cot78°।
উত্তর দেখাও সমাধান: (cot12°cot78°)(cot38°cot52°)cot60°উত্তর: 1/√3।
৬. x sin60°cos²30° = tan²45°sec60°/cosec60° হলে, x-এর মান নির্ণয় করো।
উত্তর দেখাও সমাধান: x(√3/2)(√3/2)² = (1)²(2)/(2/√3)উত্তর: 8/3।
৭. tanA+sinA=m এবং tanA-sinA=n হলে, প্রমাণ করো যে m²-n²=4√mn।
উত্তর দেখাও সমাধান: m²-n² = (m+n)(m-n) = (2tanA)(2sinA)=4tanAsinA।
৮. সরল করো: (sin(90°-θ))/(1+sinθ) + cosθ/(1-cos(90°-θ))।
উত্তর দেখাও সমাধান: cosθ/(1+sinθ)+cosθ/(1-sinθ)উত্তর: 2secθ।
৯. α ও β দুটি ধনাত্মক সূক্ষ্মকোণ এবং tan(α+β)=1, sec(α-β)=2/√3 হলে, α ও β এর মান নির্ণয় করো।
উত্তর দেখাও সমাধান: tan(α+β)=1 => α+β=45°।উত্তর: α=37.5°, β=7.5°।
