ক) বহুবিকল্পভিত্তিক প্রশ্নাবলী (MCQ) – মান ১ (১৫টি)
১. একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমির ব্যাসার্ধ r, উচ্চতা h এবং তির্যক উচ্চতা l হলে, কোনটি সঠিক?
(ক) l² = h² – r²
(খ) h² = l² + r²
(গ) r² = h² + l²
(ঘ) l² = h² + r²
সমাধান:
শঙ্কুর উচ্চতা, ভূমির ব্যাসার্ধ এবং তির্যক উচ্চতা একটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করে, যেখানে তির্যক উচ্চতা (l) হল অতিভুজ। পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী, l² = h² + r²। সঠিক উত্তর: (ঘ) l² = h² + r²
২. একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন V, ভূমির ক্ষেত্রফল A এবং উচ্চতা H হলে, V এর মান—
(ক) 3AH
(খ) AH
(গ) AH/3
(ঘ) AH/2
সমাধান:
শঙ্কুর আয়তন V = (1/3)πr²H।
ভূমির ক্ষেত্রফল A = πr²।
সুতরাং, V = (1/3)AH। সঠিক উত্তর: (গ) AH/3
৩. একটি শঙ্কুর ভূমির ব্যাসার্ধ 6 সেমি এবং তির্যক উচ্চতা 10 সেমি হলে, শঙ্কুটির উচ্চতা কত?
৫. একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমির ব্যাসার্ধ r এবং তির্যক উচ্চতা l হলে, পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল হল—
(ক) πr²l
(খ) 2πrl
(গ) πrl
(ঘ) πr(l+r)
সমাধান:
লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর পার্শ্বতলের বা বক্রতলের ক্ষেত্রফলের সূত্র হল πrl বর্গএকক। সঠিক উত্তর: (গ) πrl
৬. একটি শঙ্কুর ব্যাসার্ধ ও উচ্চতা প্রত্যেকটি দ্বিগুণ করা হলে, তার আয়তন পূর্বের আয়তনের—
(ক) 2 গুণ হবে
(খ) 4 গুণ হবে
(গ) 6 গুণ হবে
(ঘ) 8 গুণ হবে
সমাধান:
পূর্বের আয়তন V = (1/3)πr²h।
নতুন ব্যাসার্ধ r’=2r, নতুন উচ্চতা h’=2h।
নতুন আয়তন V’ = (1/3)π(2r)²(2h) = (1/3)π(4r²)(2h) = 8 × [(1/3)πr²h] = 8V। সঠিক উত্তর: (ঘ) 8 গুণ হবে
৭. একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু ও একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ভূমির ব্যাসার্ধ ও উচ্চতা সমান হলে, তাদের আয়তনের অনুপাত কত?
৮. একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ভূমির ব্যাসার্ধ 3 সেমি এবং উচ্চতা 4 সেমি হলে, তার সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল কত?
(ক) 15π বর্গসেমি
(খ) 24π বর্গসেমি
(গ) 36π বর্গসেমি
(ঘ) 20π বর্গসেমি
সমাধান:
তির্যক উচ্চতা l = √(h²+r²) = √(4²+3²) = √25 = 5 সেমি।
সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = πr(l+r) = π(3)(5+3) = π(3)(8) = 24π বর্গসেমি। সঠিক উত্তর: (খ) 24π বর্গসেমি
৯. একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর তির্যক উচ্চতা 5 সেমি এবং ভূমির ব্যাস 6 সেমি হলে, শঙ্কুটির আয়তন কত?
(ক) 12π ঘনসেমি
(খ) 15π ঘনসেমি
(গ) 30π ঘনসেমি
(ঘ) 36π ঘনসেমি
সমাধান:
ব্যাসার্ধ r = 6/2 = 3 সেমি। l=5 সেমি।
উচ্চতা h = √(l²-r²) = √(5²-3²) = √16 = 4 সেমি।
আয়তন V = (1/3)πr²h = (1/3)π(3)²(4) = (1/3)π(9)(4) = 12π ঘনসেমি। সঠিক উত্তর: (ক) 12π ঘনসেমি
১০. যে ঘনবস্তুটি একটি সমকোণী ত্রিভুজকে তার সমকোণ সংলগ্ন যেকোনো একটি বাহুকে অক্ষ করে ঘোরালে উৎপন্ন হয়, তা হল—
(ক) গোলক
(খ) লম্ব বৃত্তাকার চোঙ
(গ) লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু
(ঘ) অর্ধগোলক
সমাধান:
এটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর সংজ্ঞা। সঠিক উত্তর: (গ) লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু
১১. একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর উচ্চতা h এবং অর্ধশীর্ষকোণ α হলে, তির্যক উচ্চতা হবে—
(ক) h sinα
(খ) h cosα
(গ) h tanα
(ঘ) h cosecα
সমাধান:অর্ধশীর্ষকোণ α হলে, sinα = ব্যাসার্ধ/তির্যক উচ্চতা = r/l এবং cosα = উচ্চতা/তির্যক উচ্চতা = h/l। l = h/cosα = h secα। sinα=r/l => l=r/sinα = r cosecα। (অপশনে ভুল আছে)। যদি অপশন (ঘ) h secα হত, সেটি সঠিক হত। সঠিক উত্তর: প্রদত্ত অপশনে ত্রুটি আছে। সঠিক উত্তর h secα।
১২. একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর তল সংখ্যা হল—
(ক) 1টি
(খ) 2টি
(গ) 3টি
(ঘ) 4টি
সমাধান:শঙ্কুর একটি সমতল (ভূমি) এবং একটি বক্রতল থাকে। মোট 2টি। সঠিক উত্তর: (খ) 2টি
১৩. একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য একই রেখে উচ্চতা দ্বিগুণ করলে, শঙ্কুটির আয়তন বৃদ্ধি পাবে—
(ক) 100%
(খ) 200%
(গ) 300%
(ঘ) 400%
সমাধান:V’=(1/3)πr²(2h)=2V। আয়তন দ্বিগুণ হয়েছে। বৃদ্ধি = 2V-V=V। শতকরা বৃদ্ধি = (V/V)×100%=100%। সঠিক উত্তর: (ক) 100%
১৪. একটি শঙ্কুর ভূমির ক্ষেত্রফল 36π বর্গসেমি এবং উচ্চতা 7 সেমি হলে, পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল কত?
৫. একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর আয়তন এবং পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফলের সাংখ্যমান সমান। শঙ্কুটির উচ্চতা ও ব্যাসার্ধ যথাক্রমে h ও r হলে, দেখাও যে 1/h² + 1/r² = 1/9।
সমাধান:(1/3)πr²h=πrl => rh/3=l=√(r²+h²)। বর্গ করে, r²h²/9=r²+h²। উভয়পক্ষকে r²h² দিয়ে ভাগ করে, 1/9=1/h²+1/r²। (প্রমাণিত)
৬. একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় 15 সেমি ও 20 সেমি। 20 সেমি বাহুকে অক্ষ করে ত্রিভুজটিকে ঘোরালে যে শঙ্কু উৎপন্ন হয় তার আয়তন কত?
১. গমের একটি স্তূপ লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকারে আছে যার ভূমির ব্যাসের দৈর্ঘ্য 9 মিটার এবং উচ্চতা 3.5 মিটার। ওই গমের আয়তন নির্ণয় করো। ওই গম ঢাকতে কমপক্ষে কত বর্গমিটার প্লাস্টিকের চাদর প্রয়োজন হবে?
সমাধান:ব্যাসার্ধ r = 9/2 = 4.5 মিটার, উচ্চতা h = 3.5 মিটার। আয়তন: V = (1/3)πr²h = (1/3)×(22/7)×(4.5)²×(3.5) = (1/3)×(22/7)×20.25×3.5 = (1/3)×22×20.25×0.5 = 74.25 ঘনমিটার। চাদরের প্রয়োজন: চাদরটি পার্শ্বতল ঢাকবে। তির্যক উচ্চতা l = √(h²+r²) = √((3.5)²+(4.5)²) = √(12.25+20.25) = √32.5 ≈ 5.7 মিটার। পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল = πrl ≈ (22/7)×4.5×5.7 ≈ 80.61 বর্গমিটার। উত্তর: গমের আয়তন 74.25 ঘনমিটার এবং প্রায় 80.61 বর্গমিটার চাদর প্রয়োজন।
২. একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির একটি তাঁবুতে 11 জন লোক থাকতে পারে। প্রত্যেক লোকের জন্য ভূমিতে 4 বর্গমিটার জায়গা লাগে এবং 20 ঘনমিটার বাতাসের প্রয়োজন হয়। তাঁবুটির উচ্চতা নির্ণয় করো।
সমাধান:মোট 11 জন লোকের জন্য ভূমিতে জায়গা লাগে = 11 × 4 = 44 বর্গমিটার। এটি তাঁবুর ভূমির ক্ষেত্রফল, অর্থাৎ πr² = 44। মোট 11 জন লোকের জন্য বাতাসের প্রয়োজন = 11 × 20 = 220 ঘনমিটার। এটি তাঁবুর আয়তন, অর্থাৎ (1/3)πr²h = 220। এখন, (1/3) × (44) × h = 220 h = (220 × 3) / 44 = 5 × 3 = 15 মিটার। উত্তর: তাঁবুটির উচ্চতা 15 মিটার।
৩. একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কুর উচ্চতা 20 সেমি এবং তির্যক উচ্চতা 25 সেমি। শঙ্কুটির সমান আয়তনবিশিষ্ট একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের উচ্চতা 15 সেমি হলে, চোঙটির ভূমির ব্যাসের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
৪. 21 ডেসিমি দীর্ঘ এবং 11 ডেসিমি প্রশস্ত একটি আয়তাকার পাতকে বেঁকিয়ে 11 ডেসিমি লম্বা একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙ তৈরি করা হল। ওই চোঙের আয়তন ও শঙ্কুর আয়তনের অনুপাত 4:3 হলে এবং শঙ্কু ও চোঙের ব্যাসার্ধ সমান হলে, শঙ্কুটির উচ্চতা কত?
৫. কোনো শঙ্কুর উচ্চতা 30 সেমি। শঙ্কুটির শীর্ষদেশ থেকে কিছু অংশ কেটে নেওয়া হল। যদি কেটে নেওয়া অংশের আয়তন মূল শঙ্কুর আয়তনের 1/27 অংশ হয়, তবে ভূমি থেকে কত উচ্চতায় শঙ্কুটিকে কাটা হয়েছিল?
সমাধান:ধরি মূল শঙ্কুর ব্যাসার্ধ R ও উচ্চতা H=30। কেটে নেওয়া শঙ্কুর ব্যাসার্ধ r ও উচ্চতা h। সদৃশ ত্রিভুজের ধর্ম অনুযায়ী, r/R = h/H। আয়তনের অনুপাত: ( (1/3)πr²h ) / ( (1/3)πR²H ) = 1/27 => (r/R)²(h/H) = 1/27 => (h/H)²(h/H) = 1/27 => (h/H)³ = (1/3)³ => h/H = 1/3। h = H/3 = 30/3 = 10 সেমি। কেটে নেওয়া অংশের উচ্চতা 10 সেমি। ভূমি থেকে কাটার উচ্চতা = মোট উচ্চতা – উপরের অংশের উচ্চতা = 30-10=20 সেমি। উত্তর: ভূমি থেকে 20 সেমি উচ্চতায় কাটা হয়েছিল।
৬. একটি লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু আকৃতির পাত্রের ভূমির ব্যাস 24 সেমি এবং উচ্চতা 18 সেমি। পাত্রটি জলপূর্ণ আছে। প্রতি মিনিটে 1.5 সেমি ব্যাসার্ধের একটি পাইপ দিয়ে 10 সেমি বেগে জল বের করা হলে, কত সময়ে পাত্রটি খালি হবে?
সমাধান: শঙ্কুর r=12, h=18। আয়তন=(1/3)π(12)²(18)=864π। পাইপের r’=1.5, গতিবেগ v=10cm/s। প্রতি সেকেন্ডে নির্গত জলের আয়তন = π(r’)²v = π(1.5)²(10)=22.5π। সময় = মোট আয়তন/নির্গত হার = 864π/22.5π = 38.4 সেকেন্ড। মিনিটে = 38.4/60 = 0.64 মিনিট। উত্তর: 0.64 মিনিট বা 38.4 সেকেন্ডে।
৭. 20 সেমি দীর্ঘ এবং 14 সেমি প্রশস্ত একটি আয়তাকার কাগজকে তার দৈর্ঘ্যের দিকে মুড়ে একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙ তৈরি করা হল। আবার ওই কাগজটিকে তার প্রস্থের দিকে মুড়ে অপর একটি চোঙ তৈরি করা হল। দুটি চোঙের আয়তনের অনুপাত নির্ণয় করো।
Class 10 Math পরিমিতি – লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু Question Answer MCQ,অতি-সংক্ষিপ্ত, ও রচনাধর্মী প্রশ্ন উত্তর : class 10 পরিমিতি – লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু প্রশ্ন উত্তর
