সম্বন্ধ এবং অপেক্ষক Relations and Functions

সঠিক উত্তর: (a) x=2, y=3
ব্যাখ্যা: দুটি ক্রমিত জোড় সমান হলে তাদের অনুরূপ উপাদানগুলি সমান হয়। সুতরাং, x+1=3 এবং y-2=1। সমাধান করে পাই x=2 এবং y=3।

সঠিক উত্তর: (d) 6
ব্যাখ্যা: কার্তেসীয় গুণফলের উপাদান সংখ্যা n(A × B) = n(A) × n(B)। এখানে n(A)=2 এবং n(B)=3, সুতরাং n(A × B) = 2 × 3 = 6।

সঠিক উত্তর: (b) A-এর প্রতিটি উপাদানের একটি এবং কেবল একটি প্রতিবিম্ব থাকলে
ব্যাখ্যা: অপেক্ষকের সংজ্ঞা অনুযায়ী, ডোমেনের প্রতিটি উপাদানের একটি অনন্য প্রতিবিম্ব কো-ডোমেনে থাকতে হবে।

সঠিক উত্তর: (b) [0, ∞)
ব্যাখ্যা: মডিউলাস অপেক্ষকের মান সর্বদা অ-ঋণাত্মক (non-negative) হয়, অর্থাৎ শূন্য বা ধনাত্মক। তাই এর পাল্লা হল [0, ∞)।

সঠিক উত্তর: (b) R – {2}
ব্যাখ্যা: মূলদ অপেক্ষকের হর শূন্য হতে পারে না। এখানে, x-2 ≠ 0 হতে হবে, অর্থাৎ x ≠ 2। সুতরাং, ক্ষেত্র হল সকল বাস্তব সংখ্যা শুধুমাত্র 2 ছাড়া।

সঠিক উত্তর: (b) {-1, 0, 1}
ব্যাখ্যা: সিগনাম অপেক্ষকের সংজ্ঞা অনুযায়ী, x>0 হলে মান 1, x=0 হলে মান 0, এবং x<0 হলে মান -1। তাই পাল্লা হল {-1, 0, 1}।

সঠিক উত্তর: (a) 2
ব্যাখ্যা: [x] হল x-এর চেয়ে ছোট বা সমান বৃহত্তম পূর্ণসংখ্যা। 2.7-এর চেয়ে ছোট বা সমান বৃহত্তম পূর্ণসংখ্যা হল 2।

সঠিক উত্তর: (c) 8
ব্যাখ্যা: n(A × A × A) = n(A) × n(A) × n(A) = 2 × 2 × 2 = 8।

সঠিক উত্তর: (b) x-অক্ষের সমান্তরাল একটি সরলরেখা
ব্যাখ্যা: যেহেতু সকল x-এর জন্য y-এর মান ধ্রুবক (c), তাই লেখচিত্রটি হবে y=c সরলরেখা, যা x-অক্ষের সমান্তরাল।

সঠিক উত্তর: (c) (0, ∞)
ব্যাখ্যা: লগারিদমিক অপেক্ষক শুধুমাত্র ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যার জন্য সংজ্ঞায়িত। তাই এর ক্ষেত্র হল (0, ∞)।

সঠিক উত্তর: (b) {x, y}
ব্যাখ্যা: একটি সম্বন্ধের ক্ষেত্র হল ক্রমিত জোড়গুলির প্রথম উপাদানগুলির সেট। এখানে প্রথম উপাদানগুলি হল x এবং y।

সঠিক উত্তর: (c) 7
ব্যাখ্যা: (f+g)(x) = f(x) + g(x) = x² + x + 1। (f+g)(2) = 2² + 2 + 1 = 4 + 2 + 1 = 7।

সঠিক উত্তর: (a) [-2, 2]
ব্যাখ্যা: বর্গমূলের ভিতরের রাশিটি অ-ঋণাত্মক হতে হবে। অর্থাৎ, 4-x² ≥ 0 => x² ≤ 4 => -2 ≤ x ≤ 2।

সঠিক উত্তর: (c) 2^mn
ব্যাখ্যা: A × B-তে mn সংখ্যক উপাদান থাকে। সম্বন্ধ হল A × B-এর একটি উপসেট। সুতরাং, মোট সম্বন্ধের সংখ্যা হল A × B-এর মোট উপসেটের সংখ্যা, যা 2^mn।

সঠিক উত্তর: (a) R
ব্যাখ্যা: অভেদ অপেক্ষকের ক্ষেত্রে, প্রতিটি ইনপুটের জন্য আউটপুটও একই। যেহেতু ক্ষেত্র হল R, পাল্লাও হবে R।

সঠিক উত্তর: (a) 2x³
ব্যাখ্যা: (fg)(x) = f(x) × g(x) = x² × 2x = 2x³।

সঠিক উত্তর: (b) কো-ডোমেন
ব্যাখ্যা: পাল্লা হল সেইসব উপাদানের সেট যা ডোমেনের কোনো না কোনো উপাদানের প্রতিবিম্ব। এই সমস্ত উপাদান কো-ডোমেন থেকে নেওয়া হয়।

সঠিক উত্তর: (b) (0, ∞)
ব্যাখ্যা: এক্সপোনেনশিয়াল অপেক্ষকের মান সর্বদা ধনাত্মক হয় এবং কখনও শূন্য হয় না। তাই এর পাল্লা (0, ∞)।

সঠিক উত্তর: (b) {(3,1), (3,2)}
ব্যাখ্যা: B × A-তে ক্রমিত জোড়ের প্রথম উপাদান B থেকে এবং দ্বিতীয় উপাদান A থেকে আসবে।

সঠিক উত্তর: (b) -8
ব্যাখ্যা: f(-2) = (-2)³ = -8।

সঠিক উত্তর: (b) একঘাত বহুপদী (Linear polynomial)
ব্যাখ্যা: এটি ax+b আকারের, যেখানে a≠0। তাই এটি একটি একঘাত বহুপদী অপেক্ষক।

সঠিক উত্তর: (c) φ
ব্যাখ্যা: কার্তেসীয় গুণফলে যদি কোনো একটি সেট শূন্য সেট হয়, তবে তাদের গুণফলও শূন্য সেট হবে।

সঠিক উত্তর: (c) -1
ব্যাখ্যা: যদি x পূর্ণসংখ্যা না হয়, তবে [x] + [-x] = -1। উদাহরণস্বরূপ, x=2.5 হলে, [2.5]+[-2.5] = 2 + (-3) = -1।

সঠিক উত্তর: (a) 3/4
ব্যাখ্যা: (f/g)(x) = f(x)/g(x) = (2x-1)/x²। (f/g)(2) = (2×2-1)/2² = 3/4।

সঠিক উত্তর: (b) ত্রিমাত্রিক দেশে অবস্থিত সকল বিন্দুর সেট
ব্যাখ্যা: R × R দ্বিমাত্রিক তলে বিন্দুর স্থানাঙ্ক (x, y) নির্দেশ করে, তেমনই R × R × R ত্রিমাত্রিক দেশে বিন্দুর স্থানাঙ্ক (x, y, z) নির্দেশ করে।

সঠিক উত্তর: (b) না
ব্যাখ্যা: এটি একটি অপেক্ষক নয়, কারণ ডোমেনের উপাদান ‘1’-এর দুটি ভিন্ন প্রতিবিম্ব (a এবং c) আছে।

সঠিক উত্তর: (a) [5, 7]
ব্যাখ্যা: x-5 ≥ 0 এবং 7-x ≥ 0 হতে হবে। অর্থাৎ, x ≥ 5 এবং x ≤ 7। উভয় শর্ত পূরণকারী অঞ্চলটি হল [5, 7]।

সঠিক উত্তর: (b) R – {1}
ব্যাখ্যা: এটি একটি মূলদ অপেক্ষক, তাই এর হর শূন্য হতে পারে না। x-1 ≠ 0, অর্থাৎ x ≠ 1।

সঠিক উত্তর: (c) φ
ব্যাখ্যা: A এবং B বিচ্ছেদ হলে তাদের কোনো সাধারণ উপাদান নেই। (x,y) ∈ A×B হলে x∈A, y∈B। (x,y) ∈ B×A হলে x∈B, y∈A। এটি সম্ভব নয় যদি A∩B=φ হয় (যদি না A ও B উভয়ই φ হয়)।

সঠিক উত্তর: (b) (-∞, 1)
ব্যাখ্যা: লগারিদমের ভিতরের রাশিটি ধনাত্মক হতে হবে। 1-x > 0 => 1 > x => x < 1।

সঠিক উত্তর: (b) 4
ব্যাখ্যা: মোট অপেক্ষকের সংখ্যা = (কো-ডোমেনের উপাদান সংখ্যা)^{(ডোমেনের উপাদান সংখ্যা)} = n(B)^n(A) = 2² = 4।

সঠিক উত্তর: (c) 4
ব্যাখ্যা: f(-5) = sgn(-5) = -1। g(-5) = |-5| = 5। সুতরাং, -1 + 5 = 4।

সঠিক উত্তর: (c) [0, ∞)
ব্যাখ্যা: যেকোনো বাস্তব সংখ্যার বর্গ সর্বদা অ-ঋণাত্মক হয়।

সঠিক উত্তর: (c) 2¹⁶
ব্যাখ্যা: A × A-তে 4×4=16টি উপাদান থাকবে। মোট সম্বন্ধের সংখ্যা হবে P(A×A)-এর উপাদান সংখ্যা, যা 2¹⁶।

সঠিক উত্তর: (b) ধ্রুবক অপেক্ষক
ব্যাখ্যা: যেহেতু আউটপুট সর্বদা 3, তাই এটি একটি ধ্রুবক অপেক্ষক।

সঠিক উত্তর: (c) φ
ব্যাখ্যা: (B ∪ A)’ হল A এবং B উভয়ের বাইরের অংশ। A-এর সাথে সেই অংশের কোনো সাধারণ উপাদান নেই। সুতরাং, ছেদ হল φ।

সঠিক উত্তর: (d) R – {-1, 1}
ব্যাখ্যা: হর 1-x² ≠ 0 হতে হবে, অর্থাৎ x² ≠ 1। সুতরাং x ≠ 1 এবং x ≠ -1।

সঠিক উত্তর: (a) {-1, 1}
ব্যাখ্যা: x>0 হলে f(x)=x/x=1। x<0 হলে f(x)=-x/x=-1। x=0 অসংজ্ঞাত। সুতরাং পাল্লা হল {-1, 1}। এটি sgn(x) অপেক্ষকের মতো, কিন্তু x=0 তে অসংজ্ঞাত।

সঠিক উত্তর: (d) (a) এবং (c) উভয়ই
ব্যাখ্যা: অপেক্ষকের সংজ্ঞা অনুযায়ী, ডোমেনের প্রতিটি উপাদান থেকে একটি এবং কেবল একটি তীর বের হতে হবে।

সঠিক উত্তর: (b) 0 < a < 1
ব্যাখ্যা: লগারিদমের বেস (a) যদি 0 এবং 1-এর মধ্যে থাকে, তবে অপেক্ষকটি হ্রাসমান হয়।

সঠিক উত্তর: (a) {6, 7, 8}
ব্যাখ্যা: x-এর সম্ভাব্য মান হল 1, 2, 3। y-এর মানগুলি হবে 1+5=6, 2+5=7, 3+5=8।

সঠিক উত্তর: (c) R
ব্যাখ্যা: বহুপদী অপেক্ষক সকল বাস্তব সংখ্যার জন্য সংজ্ঞায়িত।

সঠিক উত্তর: (c) A = B
ব্যাখ্যা: এই শর্তটি শুধুমাত্র তখনই সম্ভব যখন A এবং B সমান সেট হয়।

সঠিক উত্তর: (b) সূচকীয় (Exponential)
ব্যাখ্যা: এটি একটি সূচকীয় অপেক্ষকের সাধারণ রূপ।

সঠিক উত্তর: (a) A ⊂ C (Transitive property)

সঠিক উত্তর: (c) [0, 1)
ব্যাখ্যা: এটি ভগ্নাংশ অংশ অপেক্ষক (fractional part function)। এর মান সর্বদা 0 এবং 1-এর মধ্যে থাকে, যেখানে 0 অন্তর্ভুক্ত কিন্তু 1 নয়।

সঠিক উত্তর: (c) A = B (যদি তারা অশূন্য হয়)

সঠিক উত্তর: (b) R – {0}
ব্যাখ্যা: f(x)-এর ক্ষেত্র R এবং g(x)-এর ক্ষেত্র R-{0}। তাদের অন্তরের ক্ষেত্র হবে ক্ষেত্রগুলির ছেদ, অর্থাৎ R ∩ (R-{0}) = R-{0}।

সঠিক উত্তর: (c) (-∞, 0]
ব্যাখ্যা: |x| সর্বদা অ-ঋণাত্মক, তাই -|x| সর্বদা অ-ধনাত্মক (non-positive) হবে।

সঠিক উত্তর: (a) {(2,1), (3,1), (3,2)}
ব্যাখ্যা: সেটের উপাদানগুলির মধ্যে যে জোড়গুলিতে প্রথমটি দ্বিতীয়টির চেয়ে বড়, সেগুলি হল (2,1), (3,1), এবং (3,2)।

সঠিক উত্তর: (b) {0, ±3, ±4, ±5}
ব্যাখ্যা: যে পূর্ণসংখ্যাগুলির জন্য x²+y²=25 সম্ভব, সেগুলি হল: (0,±5), (±5,0), (±3,±4), (±4,±3)। সুতরাং ক্ষেত্র হল {0, ±3, ±4, ±5}।

সঠিক উত্তর: (b) q^p
ব্যাখ্যা: ডোমেনের প্রতিটি p সংখ্যক উপাদানের জন্য কো-ডোমেনের q সংখ্যক উপাদানের যেকোনো একটি প্রতিবিম্ব হতে পারে। সুতরাং মোট অপেক্ষকের সংখ্যা হল q × q × … (p বার) = q^p।

সঠিক উত্তর: (b) দ্বিঘাত (Quadratic)
ব্যাখ্যা: এটি ax²+bx+c আকারের, যেখানে a=1, b=0, c=1।

সঠিক উত্তর: (c) 0.5
ব্যাখ্যা: f(-1.5) = [-1.5] = -2। g(-2.5) = |-2.5| = 2.5। যোগফল = -2 + 2.5 = 0.5।

সঠিক উত্তর: (b) {a}
ব্যাখ্যা: উপসেট নিজেও একটি সেট, তাই উপাদানটিকে দ্বিতীয় বন্ধনীর মধ্যে রাখতে হবে। a হল একটি উপাদান, উপসেট নয়।

সঠিক উত্তর: (c) অ-পূর্ণসংখ্যা বাস্তব সংখ্যা
ব্যাখ্যা: R (বাস্তব সংখ্যা) থেকে Z (পূর্ণসংখ্যা) বাদ দিলে যে সংখ্যাগুলি ভগ্নাংশ বা অমূলদ, সেগুলি থাকে।

সঠিক উত্তর: (c) সেটের উপাদান সংখ্যা

সঠিক উত্তর: (c) φ
ব্যাখ্যা: A-B হল সেইসব উপাদান যা A-তে আছে কিন্তু B-তে নেই। যেহেতু A-এর সকল উপাদান B-তে আছে, তাই এই সেটটি শূন্য হবে।

সঠিক উত্তর: (a) x+2
ব্যাখ্যা: f(f(x)) = f(x+1) = (x+1) + 1 = x+2।

সঠিক উত্তর: (b) 4
ব্যাখ্যা: n(A × B) = n(A) × n(B) => 12 = 3 × n(B) => n(B) = 4।

সঠিক উত্তর: (b) P-2, Q-4, R-1, S-3
ব্যাখ্যা: |x|-এর পাল্লা [0,∞)। [x]-এর পাল্লা Z। sgn(x)-এর পাল্লা {-1,0,1}। x³-এর পাল্লা R।

সঠিক উত্তর: (c) P-2, Q-4, R-1, S-3
ব্যাখ্যা: P: x≠3। Q: x≥3। R: x²≠4 => x≠±2। S: বহুপদী অপেক্ষক, ক্ষেত্র R।

সঠিক উত্তর: (a) P-4, Q-1, R-2, S-3
ব্যাখ্যা: প্রতিটি প্রতীক তার সংশ্লিষ্ট সেটের ধারণাকে নির্দেশ করে।

সঠিক উত্তর: (a) P-3, Q-1, R-2, S-4
ব্যাখ্যা: প্রতিটি অপারেশনের সমতুল্য রূপ দেওয়া আছে। (A∩B’)’ = A’∪(B’)’ = A’∪B।

সঠিক উত্তর: (b) P-4, Q-3, R-1, S-2
ব্যাখ্যা: প্রতিটি উদাহরণ তার সংশ্লিষ্ট অপেক্ষকের ধরনের সাথে মিলে যায়।

সঠিক উত্তর: (a) P-2, Q-3, R-4, S-5
ব্যাখ্যা: P: (-3)²+1=10. Q: |-3-3|=|-6|=6. R: [-3/2]=[-1.5]=-2. S: sgn(-3+3)=sgn(0)=0।

সঠিক উত্তর: (c) P-3, Q-4, R-2, S-1
ব্যাখ্যা: কার্তেসীয় গুণফলের উপাদান সংখ্যা হল সেটগুলির উপাদান সংখ্যার গুণফল।

সঠিক উত্তর: (a) P-2, Q-1, R-4, S-3
ব্যাখ্যা: প্রতিটি অপেক্ষকের লেখচিত্রের নির্দিষ্ট আকৃতি আছে।

সঠিক উত্তর: (b) P-4, Q-1, R-2, S-3
ব্যাখ্যা: প্রতিটি সূত্রের সাথে তার সঠিক নাম মেলানো হয়েছে।

সঠিক উত্তর: (a) P-3, Q-1, R-4, S-4
ব্যাখ্যা: প্রতিটি ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষকের নির্দিষ্ট পাল্লা আছে। sec(x) এবং cosec(x)-এর পাল্লা একই।