জটিল সংখ্যা এবং দ্বিঘাত সমীকরণ

উচ্চ মাধ্যমিক গণিত সাজেশন ২০২৬ (সেমিস্টার ১)

A. নীচের প্রশ্নগুলি থেকে সঠিক উত্তর বেছে নাও: (60 MCQ)

1. i⁴-এর মান কত?

i
-1
-i
1

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (d) 1
ব্যাখ্যা: i² = -1, সুতরাং i⁴ = (i²)² = (-1)² = 1।

2. z = 3 + 4i জটিল সংখ্যাটির মডিউলাস (modulus) কত?

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) 5
ব্যাখ্যা: মডিউলাস |z| = √(x² + y²) = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5।

3. z = 1 + i জটিল সংখ্যাটির আর্গুমেন্ট (argument) কত?

π/4
π/3
π/6
π/2

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) π/4
ব্যাখ্যা: আর্গুমেন্ট θ = tan⁻¹(y/x) = tan⁻¹(1/1) = tan⁻¹(1) = π/4। যেহেতু x>0, y>0, এটি প্রথম পাদে অবস্থিত।

4. x² + 1 = 0 সমীকরণের সমাধানগুলি কী কী?

1, -1
1, i
i, -i
শুধুমাত্র i

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) i, -i
ব্যাখ্যা: x² = -1 => x = ±√(-1) => x = ±i।

5. (1 + i)²-এর মান কত?

2
2i
-2i
1 – i

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) 2i
ব্যাখ্যা: (1 + i)² = 1² + 2(1)(i) + i² = 1 + 2i – 1 = 2i।

6. z = x + iy হলে, z-এর অনুবন্ধী (conjugate) জটিল সংখ্যাটি হল-

-x + iy
x – iy
-x – iy
y + ix

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) x – iy
ব্যাখ্যা: অনুবন্ধী জটিল সংখ্যায় কাল্পনিক অংশের চিহ্ন পরিবর্তিত হয়।

7. 1/i-এর মান কত?

1
i
-1
-i

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (d) -i
ব্যাখ্যা: 1/i = i/(i²) = i/(-1) = -i।

8. i⁹ + i¹⁹ = ?

0
1
i
-i

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) 0
ব্যাখ্যা: i⁹ = i⁸·i = (i⁴)²·i = 1²·i = i। i¹⁹ = i¹⁶·i³ = (i⁴)⁴·i³ = 1⁴·(-i) = -i। সুতরাং, i⁹ + i¹⁹ = i + (-i) = 0।

9. z = -1 – i√3 জটিল সংখ্যাটির পোলার আকার (polar form) কোনটি?

2(cos(π/3) + i sin(π/3))
2(cos(2π/3) + i sin(2π/3))
2(cos(4π/3) + i sin(4π/3))
2(cos(5π/3) + i sin(5π/3))

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) 2(cos(4π/3) + i sin(4π/3))
ব্যাখ্যা: r = √((-1)²+(-√3)²) = 2। tanθ = (-√3)/(-1) = √3। যেহেতু x<0, y<0, এটি তৃতীয় পাদে। θ = π + π/3 = 4π/3।

10. x² – 2x + 2 = 0 দ্বিঘাত সমীকরণের বীজগুলি কী কী?

1 ± i
2 ± i
1 ± 2i
-1 ± i

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) 1 ± i
ব্যাখ্যা: শ্রীধর আচার্যের সূত্র অনুযায়ী, x = [-(-2) ± √((-2)² – 4·1·2)] / (2·1) = [2 ± √(-4)] / 2 = [2 ± 2i] / 2 = 1 ± i।

11. 1 + i² + i⁴ + i⁶ = ?

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) 0
ব্যাখ্যা: 1 + (-1) + (1) + (i⁴·i²) = 1 – 1 + 1 – 1 = 0।

12. z = 5i জটিল সংখ্যাটিকে আর্গন্ড তলে (Argand plane) কোন অক্ষে স্থাপন করা হবে?

ধনাত্মক বাস্তব অক্ষ
ঋণাত্মক বাস্তব অক্ষ
ধনাত্মক কাল্পনিক অক্ষ
ঋণাত্মক কাল্পনিক অক্ষ

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) ধনাত্মক কাল্পনিক অক্ষ
ব্যাখ্যা: বিশুদ্ধ কাল্পনিক সংখ্যা (বাস্তব অংশ শূন্য) কাল্পনিক অক্ষের উপর অবস্থিত। যেহেতু কাল্পনিক অংশ 5 (>0), এটি ধনাত্মক কাল্পনিক অক্ষে থাকবে।

13. z₁ = a+ib এবং z₂ = c+id হলে, z₁ + z₂ = ?

(a+c) + i(b+d)
(a-c) + i(b-d)
(ac-bd) + i(ad+bc)
(ac+bd) + i(ad-bc)

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) (a+c) + i(b+d)
ব্যাখ্যা: দুটি জটিল সংখ্যার যোগফল তাদের বাস্তব অংশগুলির যোগফল এবং কাল্পনিক অংশগুলির যোগফল দ্বারা গঠিত হয়।

14. i-এর গুণাত্মক বিপরীত (multiplicative inverse) কোনটি?

i
-i
1
-1

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) -i
ব্যাখ্যা: গুণাত্মক বিপরীত হল 1/i, যার মান -i।

15. z = -3 জটিল সংখ্যাটির আর্গুমেন্ট কত?

0
π/2
π
3π/2

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) π
ব্যাখ্যা: z = -3 + 0i। এটি ঋণাত্মক বাস্তব অক্ষের উপর অবস্থিত। সুতরাং এর আর্গুমেন্ট হল π।

16. √(-9) × √(-4) = ?

6
-6
6i
-6i

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) -6
ব্যাখ্যা: √(-9) × √(-4) = (3i) × (2i) = 6i² = 6(-1) = -6।

17. একটি দ্বিঘাত সমীকরণের নিরূপক (discriminant) ঋণাত্মক হলে, তার বীজগুলি হবে-

বাস্তব ও সমান
বাস্তব ও অসমান
কাল্পনিক বা জটিল
মূলদ

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) কাল্পনিক বা জটিল
ব্যাখ্যা: নিরূপক D = b²-4ac < 0 হলে, √D কাল্পনিক হয়, ফলে বীজগুলি জটিল এবং পরস্পর অনুবন্ধী হয়।

18. z = cosθ + i sinθ হলে, |z| = ?

0
1
cosθ
sinθ

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) 1
ব্যাখ্যা: |z| = √(cos²θ + sin²θ) = √1 = 1।

19. |z₁z₂| = ?

|z₁| + |z₂|
|z₁| – |z₂|
|z₁||z₂|
|z₁|/|z₂|

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) |z₁||z₂|
ব্যাখ্যা: দুটি জটিল সংখ্যার গুণফলের মডিউলাস তাদের মডিউলাসের গুণফলের সমান।

20. (3+2i)(3-2i) এর মান কত?

5
9 – 4i
13
9 + 4i

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) 13
ব্যাখ্যা: (a+ib)(a-ib) = a² – (ib)² = a² – i²b² = a² + b²। এখানে, 3² + 2² = 9 + 4 = 13।

21. 4x² + 9 = 0 সমীকরণের বীজগুলি কী?

±(2/3)i
±(3/2)i
±(9/4)i
±(4/9)i

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) ±(3/2)i
ব্যাখ্যা: 4x² = -9 => x² = -9/4 => x = ±√(-9/4) = ±(3/2)i।

22. i⁻³⁹ = ?

i
-i
1
-1

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) i
ব্যাখ্যা: i⁻³⁹ = 1/i³⁹ = 1/(i³⁶·i³) = 1/i³ = 1/(-i) = i/(-i²) = i/1 = i।

23. z = a + ib হলে, z + z̅ = ? (z̅ হল z-এর অনুবন্ধী)

2a
2ib
0
a² + b²

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) 2a
ব্যাখ্যা: z + z̅ = (a+ib) + (a-ib) = 2a। এটি z-এর বাস্তব অংশের দ্বিগুণ।

24. z = -5 + 12i হলে, |z| = ?

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) 13
ব্যাখ্যা: |z| = √((-5)² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13।

25. জটিল সংখ্যা z = 1-এর আর্গুমেন্ট কত?

0
π
π/2
-π/2

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) 0
ব্যাখ্যা: z = 1 + 0i, যা ধনাত্মক বাস্তব অক্ষের উপর অবস্থিত। তাই আর্গুমেন্ট 0।

26. z = x + iy জটিল সংখ্যাটি বিশুদ্ধ কাল্পনিক হবে যদি-

x=0, y≠0
y=0, x≠0
x=0, y=0
x≠0, y≠0

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) x=0, y≠0
ব্যাখ্যা: বিশুদ্ধ কাল্পনিক সংখ্যার বাস্তব অংশ শূন্য হয়।

27. (1+i)/(1-i) = ?

1
-1
i
-i

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) i
ব্যাখ্যা: (1+i)/(1-i) = (1+i)²/((1-i)(1+i)) = (1+2i-1)/(1+1) = 2i/2 = i।

28. x² + x + 1 = 0 সমীকরণের একটি বীজ ω হলে, অন্য বীজটি কী?

-ω
1/ω
ω²
(b) এবং (c) উভয়ই

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (d) (b) এবং (c) উভয়ই
ব্যাখ্যা: এটি এককের কাল্পনিক ঘনমূলের সমীকরণ। বীজগুলি হল ω এবং ω²। ω² = 1/ω হয়।

29. কোনো দ্বিঘাত সমীকরণের একটি বীজ 2+3i হলে, অন্য বীজটি কী হবে? (সহগগুলি বাস্তব হলে)

-2+3i
-2-3i
2-3i
3+2i

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) 2-3i
ব্যাখ্যা: বাস্তব সহগযুক্ত দ্বিঘাত সমীকরণের জটিল বীজগুলি সর্বদা অনুবন্ধী জোড়ে থাকে।

30. arg(z̅) = ?

arg(z)
-arg(z)
π – arg(z)
π + arg(z)

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) -arg(z)
ব্যাখ্যা: অনুবন্ধী জটিল সংখ্যার আর্গুমেন্ট মূল সংখ্যার আর্গুমেন্টের ঋণাত্মক মানের সমান।

31. 1 + ω + ω² = ?

0
1
3
-1

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) 0
ব্যাখ্যা: এটি এককের ঘনমূলগুলির যোগফলের ধর্ম।

32. |z-4| = 3 সমীকরণটি আর্গন্ড তলে কী নির্দেশ করে?

একটি সরলরেখা
একটি বৃত্ত
একটি উপবৃত্ত
একটি অধিবৃত্ত

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) একটি বৃত্ত
ব্যাখ্যা: এটি (4,0) কেন্দ্র এবং 3 একক ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তের সমীকরণ।

33. z = a + ib হলে, z – z̅ = ?

2a
2ib
0
-2ib

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) 2ib
ব্যাখ্যা: z – z̅ = (a+ib) – (a-ib) = 2ib। এটি z-এর কাল্পনিক অংশের দ্বিগুণের সাথে i গুণ।

34. i-এর বর্গমূল (square root) কী?

±(1+i)
±(1-i)
±(1+i)/√2
±(1-i)/√2

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) ±(1+i)/√2
ব্যাখ্যা: (±(1+i)/√2)² = (1/2)(1+2i+i²) = (1/2)(2i) = i।

35. যদি |z+4| ≤ 3 হয়, তবে |z+1|-এর সর্বোচ্চ মান কত?

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) 6
ব্যাখ্যা: |z+1| = |(z+4) – 3| ≤ |z+4| + |-3| ≤ 3 + 3 = 6।

36. z₁ এবং z₂ দুটি জটিল সংখ্যা হলে, |z₁ + z₂| ≤ |z₁| + |z₂| – এই অসমতাটিকে কী বলা হয়?

ত্রিভুজ অসমতা
ডি মরগ্যানের সূত্র
কশি-শোয়ার্জ অসমতা
কোনোটিই নয়

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) ত্রিভুজ অসমতা

37. z = 2i জটিল সংখ্যাটির পোলার আকার কী?

2(cos0 + i sin0)
2(cosπ + i sinπ)
2(cos(π/2) + i sin(π/2))
2(cos(3π/2) + i sin(3π/2))

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) 2(cos(π/2) + i sin(π/2))
ব্যাখ্যা: z = 0+2i। r=2, θ=π/2।

38. x² + 2x + 5 = 0 সমীকরণের বীজদ্বয়ের যোগফল কত?

2
-2
5
-5

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) -2
ব্যাখ্যা: বীজদ্বয়ের যোগফল = -b/a = -2/1 = -2।

39. i + i² + i³ + … + i¹⁰⁰ = ?

0
1
i
-1

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) 0
ব্যাখ্যা: i-এর পরপর চারটি ঘাতের যোগফল শূন্য (i+i²+i³+i⁴=0)। 100টি পদ 4 দ্বারা বিভাজ্য, তাই মোট 25টি এমন শূন্যের সেট পাওয়া যাবে।

40. z = x + iy হলে, zz̅ = ?

x² – y²
x² + y²
|z|
|z|²

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (d) |z|² (এবং (b) x²+y²)

41. z = -4i জটিল সংখ্যাটির আর্গুমেন্ট কত?

π/2
-π/2
π
0

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) -π/2
ব্যাখ্যা: z = 0-4i, যা ঋণাত্মক কাল্পনিক অক্ষের উপর অবস্থিত। তাই আর্গুমেন্ট -π/2 বা 3π/2।

42. (2+i)/(3-i) জটিল সংখ্যাটির অনুবন্ধী কী?

(1-i)/2
(1+i)/2
1-i
1+i

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) (1-i)/2
ব্যাখ্যা: (2+i)/(3-i) = ((2+i)(3+i))/((3-i)(3+i)) = (6+2i+3i-1)/10 = (5+5i)/10 = (1+i)/2। এর অনুবন্ধী হল (1-i)/2।

43. arg(z₁) + arg(z₂) = ?

arg(z₁z₂)
arg(z₁/z₂)
arg(z₁+z₂)
arg(z₁-z₂)

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) arg(z₁z₂)
ব্যাখ্যা: এটি আর্গুমেন্টের একটি ধর্ম।

44. i²⁰²³ = ?

i
-i
1
-1

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) -i
ব্যাখ্যা: 2023 = 4×505 + 3। i²⁰²³ = i³ = -i।

45. জটিল সংখ্যার সেট (C) এবং বাস্তব সংখ্যার সেট (R)-এর মধ্যে সম্পর্ক কী?

R ⊂ C
C ⊂ R
R = C
R এবং C বিচ্ছেদ সেট

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) R ⊂ C
ব্যাখ্যা: প্রতিটি বাস্তব সংখ্যা একটি জটিল সংখ্যা (যার কাল্পনিক অংশ শূন্য)।

46. একটি দ্বিঘাত সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুণফল 5 এবং যোগফল -2 হলে, সমীকরণটি কী?

x² – 2x + 5 = 0
x² + 2x + 5 = 0
x² + 5x – 2 = 0
x² – 5x + 2 = 0

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) x² + 2x + 5 = 0
ব্যাখ্যা: সমীকরণটি হল x² – (যোগফল)x + (গুণফল) = 0।

47. z = 2(cos30° + i sin30°) হলে, z-এর কার্তেসীয় আকার কী?

1 + i√3
√3 + i
1 – i√3
√3 – i

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) √3 + i
ব্যাখ্যা: x = 2cos30° = 2(√3/2) = √3। y = 2sin30° = 2(1/2) = 1। z = √3 + i।

48. arg(i) = ?

0
π
π/2
-π/2

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) π/2
ব্যাখ্যা: i = 0+1i, যা ধনাত্মক কাল্পনিক অক্ষের উপর অবস্থিত।

49. z একটি জটিল সংখ্যা হলে, z -এর মডিউলাস এবং তার অনুবন্ধীর মডিউলাসের মধ্যে সম্পর্ক কী?

|z| > |z̅|
|z| < |z̅|
|z| = |z̅|
কোনো সম্পর্ক নেই

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) |z| = |z̅|
ব্যাখ্যা: |z| = √(x²+y²) এবং |z̅| = √(x²+(-y)²) = √(x²+y²)।

50. x² + 9 = 0 সমীকরণের বীজগুলি হল-

±3
±9i
±3i
3, -3i

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) ±3i
ব্যাখ্যা: x² = -9 => x = ±√(-9) = ±3i।

51. z = a+ib হলে, z-এর যোগাত্মক বিপরীত (additive inverse) কোনটি?

-a+ib
a-ib
-a-ib
1/(a+ib)

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) -a-ib
ব্যাখ্যা: z + (-z) = 0।

52. যদি |z| = 1 হয়, তবে 1/z = ?

z
z̅
-z
-z̅

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) z̅
ব্যাখ্যা: |z|² = zz̅ = 1² = 1। সুতরাং, 1/z = z̅।

53. ax² + bx + c = 0 সমীকরণের বীজদ্বয় α, β হলে, α + β = ?

b/a
-b/a
c/a
-c/a

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) -b/a

54. যদি z₁ এবং z₂ দুটি জটিল সংখ্যা হয়, তবে arg(z₁/z₂) = ?

arg(z₁) + arg(z₂)
arg(z₁) – arg(z₂)
arg(z₁) × arg(z₂)
arg(z₁) / arg(z₂)

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) arg(z₁) – arg(z₂)

55. x³ – 1 = 0 সমীকরণের বীজগুলি হল-

1, i, -i
1, -1, 0
1, ω, ω²
1, -ω, -ω²

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) 1, ω, ω²

56. (1+ω-ω²) (1-ω+ω²) = ?

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (d) 4
ব্যাখ্যা: (1+ω=-ω²) এবং (1+ω²=-ω) ব্যবহার করে, (-ω²-ω²) (-ω-ω) = (-2ω²) (-2ω) = 4ω³ = 4(1) = 4।

57. z = 3-4i হলে, Im(z) = ?

3
-4
4
5

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) -4
ব্যাখ্যা: Im(z) হল জটিল সংখ্যার কাল্পনিক অংশ।

58. i⁵⁷ + 1/i¹²⁵ = ?

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) 0
ব্যাখ্যা: i⁵⁷ = i⁵⁶·i = i। 1/i¹²⁵ = 1/i = -i। i + (-i) = 0।

59. একটি দ্বিঘাত সমীকরণের বীজগুলি পরস্পর অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা। সমীকরণটির সহগগুলি হবে-

জটিল
বাস্তব
অমূলদ
ধনাত্মক

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) বাস্তব

60. z = a+ib একটি জটিল সংখ্যা। যদি z = z̅ হয়, তবে-

z বিশুদ্ধ কাল্পনিক
z বিশুদ্ধ বাস্তব
z = 0
a = b

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) z বিশুদ্ধ বাস্তব
ব্যাখ্যা: a+ib = a-ib => 2ib = 0 => b = 0।

অনুচ্ছেদ ভিত্তিক প্রশ্ন

অনুচ্ছেদ – ১

জটিল সংখ্যা z = x + iy-কে বিভিন্ন আকারে প্রকাশ করা যায়। কার্তেসীয় আকার হল (x, y)। পোলার আকার হল r(cosθ + i sinθ), যেখানে r = |z| = √(x²+y²) হল মডিউলাস এবং θ = arg(z) = tan⁻¹(y/x) হল আর্গুমেন্ট। অয়লারের সূত্র অনুযায়ী, e^iθ = cosθ + i sinθ, তাই z = re^iθ হল সূচকীয় আকার।

61. z = 2√3 – 2i জটিল সংখ্যাটির মডিউলাস কত?

2
4
2√3
8

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) 4
ব্যাখ্যা: r = √((2√3)² + (-2)²) = √(12+4) = √16 = 4।

62. z = 2√3 – 2i জটিল সংখ্যাটির আর্গুমেন্ট কত?

-π/6
π/6
-π/3
11π/6

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) -π/6
ব্যাখ্যা: tanθ = -2/(2√3) = -1/√3। যেহেতু x>0, y<0, এটি চতুর্থ পাদে। θ = -π/6।

63. z = 2√3 – 2i জটিল সংখ্যাটির সূচকীয় আকার কোনটি?

4e^iπ/6
4e^-iπ/6
2e^-iπ/3
4e^i11π/6

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) 4e^-iπ/6
ব্যাখ্যা: r=4 এবং θ=-π/6, তাই z = 4e^-iπ/6।

64. 3e^iπ/2-এর কার্তেসীয় আকার কী?

3
-3
3i
-3i

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) 3i
ব্যাখ্যা: 3(cos(π/2) + i sin(π/2)) = 3(0 + i·1) = 3i।

65. z = 5(cosπ + i sinπ)-এর মান কত?

5
-5
5i
-5i

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) -5
ব্যাখ্যা: 5(-1 + i·0) = -5।

অনুচ্ছেদ – ২

দ্বিঘাত সমীকরণ ax² + bx + c = 0 (a≠0)-এর বীজগুলি শ্রীধর আচার্যের সূত্র x = [-b ± √(b²-4ac)] / 2a দ্বারা নির্ণয় করা হয়। রাশি D = b²-4ac-কে সমীকরণটির নিরূপক (discriminant) বলা হয়। যদি D ≥ 0 হয়, তবে বীজগুলি বাস্তব। যদি D < 0 হয়, তবে বীজগুলি কাল্পনিক বা জটিল এবং তারা পরস্পরের অনুবন্ধী হয়।

66. ix² – 4x – 4i = 0 সমীকরণের নিরূপকের মান কত?

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) 0
ব্যাখ্যা: D = (-4)² – 4(i)(-4i) = 16 + 16i² = 16 – 16 = 0।

67. ix² – 4x – 4i = 0 সমীকরণের বীজগুলি কীরূপ?

বাস্তব ও সমান
কাল্পনিক
বাস্তব ও অসমান
অমূলদ

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) কাল্পনিক
ব্যাখ্যা: যদিও D=0, সমীকরণের সহগগুলি (a=i) জটিল। বীজগুলি হল x = [-(-4) ± 0] / 2i = 4/2i = 2/i = -2i। বীজটি কাল্পনিক এবং সমান।

68. x² + 2x + k = 0 সমীকরণের বীজগুলি কাল্পনিক হলে, k-এর মান কীরূপ হবে?

k < 1
k > 1
k = 1
k = 0

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) k > 1
ব্যাখ্যা: বীজগুলি কাল্পনিক হবে যদি D < 0 হয়। D = 2² - 4(1)(k) = 4 - 4k। 4 - 4k < 0 => 4 < 4k => k > 1।

69. 2x² – 3x + 5 = 0 সমীকরণের বীজগুলি হল α এবং β। α+β-এর মান কত?

3/2
-3/2
5/2
-5/2

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) 3/2
ব্যাখ্যা: α+β = -b/a = -(-3)/2 = 3/2।

70. 2x² – 3x + 5 = 0 সমীকরণের বীজগুলি হল α এবং β। αβ-এর মান কত?

3/2
-3/2
5/2
-5/2

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) 5/2
ব্যাখ্যা: αβ = c/a = 5/2।

অনুচ্ছেদ – ৩

1-এর কাল্পনিক ঘনমূলগুলি হল ω এবং ω², যেখানে ω = (-1+i√3)/2 এবং ω² = (-1-i√3)/2। এদের ধর্মগুলি হল: 1 + ω + ω² = 0 এবং ω³ = 1। এই ধর্মগুলি ব্যবহার করে বিভিন্ন গাণিতিক সমস্যার সমাধান করা যায়।

71. ω⁶⁴-এর মান কত?

1
ω
ω²
0

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) ω
ব্যাখ্যা: ω⁶⁴ = ω^(3×21+1) = (ω³)²¹ · ω = 1²¹ · ω = ω।

72. (1 – ω)(1 – ω²)-এর মান কত?

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) 3
ব্যাখ্যা: 1 – ω² – ω + ω³ = 1 – (ω+ω²) + 1 = 1 – (-1) + 1 = 3।

73. যে সমীকরণের বীজগুলি 2ω এবং 2ω² সেই সমীকরণটি হল-

x² + 2x + 4 = 0
x² – 2x + 4 = 0
x² + 2x – 4 = 0
x² – 2x – 4 = 0

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) x² + 2x + 4 = 0
ব্যাখ্যা: যোগফল = 2ω+2ω²=2(ω+ω²)=-2। গুণফল = (2ω)(2ω²)=4ω³=4। সমীকরণ: x² – (-2)x + 4 = 0।

74. ω¹⁰⁰ + ω²⁰⁰ + ω³⁰⁰ = ?

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) 0
ব্যাখ্যা: ω¹⁰⁰=ω, ω²⁰⁰=ω², ω³⁰⁰=1। ω+ω²+1=0।

75. যদি z = ω হয়, তবে |z| = ?

0
1
2
√3

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) 1
ব্যাখ্যা: |ω| = √((-1/2)² + (√3/2)²) = √(1/4 + 3/4) = 1।

B. বাম স্তম্ভের (I) সঙ্গে ডান স্তম্ভের (II) সঠিক বিকল্পটি বেছে নাও: (10 MCQ)

স্তম্ভ-I (রাশি)	স্তম্ভ-II (মান)
(P) i²	(1) 1
(Q) i³	(2) i
(R) i⁴	(3) -i
(S) i⁵	(4) -1

76. সঠিক মিলটি হল:

P-1, Q-2, R-3, S-4
P-4, Q-3, R-1, S-2
P-2, Q-1, R-4, S-3
P-4, Q-3, R-2, S-1

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) P-4, Q-3, R-1, S-2
ব্যাখ্যা: i-এর বিভিন্ন ঘাতের মানের সাথে মিল করা হয়েছে।

স্তম্ভ-I (জটিল সংখ্যা)	স্তম্ভ-II (আর্গুমেন্ট)
(P) 5	(1) π/2
(Q) -5	(2) -π/2
(R) 5i	(3) 0
(S) -5i	(4) π

77. সঠিক মিলটি হল:

P-3, Q-4, R-1, S-2
P-1, Q-2, R-3, S-4
P-3, Q-1, R-4, S-2
P-4, Q-1, R-3, S-2

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) P-3, Q-4, R-1, S-2
ব্যাখ্যা: প্রতিটি বিশুদ্ধ বাস্তব বা কাল্পনিক সংখ্যার আর্গন্ড তলে অবস্থান অনুযায়ী আর্গুমেন্ট নির্ধারিত হয়েছে।

স্তম্ভ-I (সমীকরণ)	স্তম্ভ-II (বীজের প্রকৃতি)
(P) x² – 4x + 4 = 0	(1) বাস্তব ও অসমান
(Q) x² – 5x + 6 = 0	(2) কাল্পনিক
(R) x² + 4x + 5 = 0	(3) বাস্তব ও মূলদ
(S) x² – 3 = 0	(4) বাস্তব ও সমান
	(5) বাস্তব ও অমূলদ

78. সঠিক মিলটি হল:

P-3, Q-2, R-1, S-4
P-4, Q-1, R-3, S-2
P-4, Q-1, R-2, S-5
P-1, Q-2, R-3, S-4

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) P-4, Q-1, R-2, S-5
ব্যাখ্যা: P: D=0; Q: D=1>0; R: D=-4<0; S: D=12>0 এবং পূর্ণবর্গ নয়।

স্তম্ভ-I (z = a+ib)	স্তম্ভ-II (রাশিমালা)
(P) মডিউলাস \|z\|	(1) 1/(a+ib)
(Q) অনুবন্ধী z̅	(2) √(a²+b²)
(R) গুণাত্মক বিপরীত z⁻¹	(3) -a-ib
(S) যোগাত্মক বিপরীত -z	(4) a-ib

79. সঠিক মিলটি হল:

P-4, Q-1, R-2, S-3
P-2, Q-4, R-1, S-3
P-3, Q-1, R-2, S-4
P-2, Q-1, R-4, S-3

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) P-2, Q-4, R-1, S-3
ব্যাখ্যা: প্রতিটি নামের সঠিক গাণিতিক সংজ্ঞার সাথে মিল করা হয়েছে।

স্তম্ভ-I (z-এর পোলার আকার)	স্তম্ভ-II (কার্তেসীয় আকার)
(P) 2(cos0 + i sin0)	(1) -2
(Q) 2(cosπ + i sinπ)	(2) 2i
(R) 2(cos(π/2) + i sin(π/2))	(3) -2i
(S) 2(cos(-π/2) + i sin(-π/2))	(4) 2

80. সঠিক মিলটি হল:

P-1, Q-3, R-4, S-2
P-4, Q-2, R-1, S-3
P-4, Q-1, R-2, S-3
P-2, Q-1, R-4, S-3

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) P-4, Q-1, R-2, S-3
ব্যাখ্যা: প্রতিটি পোলার আকারের জটিল সংখ্যার সঠিক কার্তেসীয় রূপের সাথে মিল করা হয়েছে।

স্তম্ভ-I (ω = 1-এর ঘনমূল)	স্তম্ভ-II (মান)
(P) ω³	(1) -1
(Q) 1+ω	(2) 0
(R) 1+ω²	(3) -ω²
(S) ω+ω²	(4) -ω
	(5) 1

81. সঠিক মিলটি হল:

P-5, Q-3, R-4, S-1
P-1, Q-3, R-2, S-4
P-3, Q-1, R-2, S-4
P-2, Q-1, R-3, S-4

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) P-5, Q-3, R-4, S-1
ব্যাখ্যা: এককের ঘনমূলের বিভিন্ন ধর্মের সাথে তাদের মানের মিল করা হয়েছে।

স্তম্ভ-I (অপারেশন)	স্তম্ভ-II (ফলাফল)
(P) (a+ib) + (c+id)	(1) (ac-bd) + i(ad+bc)
(Q) (a+ib) – (c+id)	(2) (ac+bd)/(c²+d²) + i(bc-ad)/(c²+d²)
(R) (a+ib) × (c+id)	(3) (a-c) + i(b-d)
(S) (a+ib) / (c+id)	(4) (a+c) + i(b+d)

82. সঠিক মিলটি হল:

P-4, Q-3, R-1, S-2
P-1, Q-3, R-2, S-4
P-3, Q-1, R-2, S-4
P-2, Q-1, R-3, S-4

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) P-4, Q-3, R-1, S-2
ব্যাখ্যা: জটিল সংখ্যার বীজগণিতের মৌলিক অপারেশনগুলির সাথে তাদের ফলাফলের মিল করা হয়েছে।

স্তম্ভ-I (দ্বিঘাত সমীকরণ)	স্তম্ভ-II (বীজদ্বয়ের যোগফল)
(P) x² – 7x + 12 = 0	(1) -5
(Q) x² + 5x + 6 = 0	(2) 2
(R) 2x² – 4x + 3 = 0	(3) 6
(S) x² – 6x + 10 = 0	(4) 7

83. সঠিক মিলটি হল:

P-2, Q-4, R-1, S-3
P-4, Q-1, R-2, S-3
P-3, Q-1, R-2, S-4
P-2, Q-1, R-3, S-4

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) P-4, Q-1, R-2, S-3
ব্যাখ্যা: প্রতিটি সমীকরণের বীজদ্বয়ের যোগফল (-b/a) নির্ণয় করা হয়েছে।

স্তম্ভ-I (দ্বিঘাত সমীকরণ)	স্তম্ভ-II (বীজদ্বয়ের গুণফল)
(P) x² – 7x + 12 = 0	(1) 6
(Q) x² + 5x + 6 = 0	(2) 3/2
(R) 2x² – 4x + 3 = 0	(3) 10
(S) x² – 6x + 10 = 0	(4) 12

84. সঠিক মিলটি হল:

P-4, Q-1, R-2, S-3
P-1, Q-3, R-2, S-4
P-3, Q-1, R-2, S-4
P-2, Q-1, R-3, S-4

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) P-4, Q-1, R-2, S-3
ব্যাখ্যা: প্রতিটি সমীকরণের বীজদ্বয়ের গুণফল (c/a) নির্ণয় করা হয়েছে।

স্তম্ভ-I (জটিল সংখ্যা)	স্তম্ভ-II (বৈশিষ্ট্য)
(P) 3+2i	(1) বিশুদ্ধ বাস্তব
(Q) -4i	(2) বিশুদ্ধ কাল্পনিক
(R) 7	(3) অনুবন্ধী হল 3-2i
(S) i	(4) মডিউলাস 1

85. সঠিক মিলটি হল:

P-2, Q-4, R-1, S-3
P-3, Q-2, R-4, S-1
P-3, Q-2, R-1, S-4
P-2, Q-1, R-3, S-4

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) P-3, Q-2, R-1, S-4
ব্যাখ্যা: প্রতিটি জটিল সংখ্যার সাথে তার সঠিক বৈশিষ্ট্যের মিল করা হয়েছে।

86. অতিরিক্ত স্তম্ভ মেলাও:

স্তম্ভ-I (রাশি)	স্তম্ভ-II (সংজ্ঞা)
(P) আর্গন্ড তল	(1) Re(z)=0
(Q) বাস্তব অক্ষ	(2) Im(z)=0
(R) কাল্পনিক অক্ষ	(3) x-y তল
(S) মূলবিন্দু	(4) z=0

P-3, Q-2, R-1, S-4
P-1, Q-2, R-3, S-4
P-3, Q-1, R-2, S-4
P-2, Q-1, R-4, S-3

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) P-3, Q-2, R-1, S-4

87. অতিরিক্ত স্তম্ভ মেলাও:

স্তম্ভ-I (জটিল সংখ্যা)	স্তম্ভ-II (অবস্থান)
(P) 1+i	(1) প্রথম পাদ
(Q) -1+i	(2) দ্বিতীয় পাদ
(R) -1-i	(3) তৃতীয় পাদ
(S) 1-i	(4) চতুর্থ পাদ

P-1, Q-2, R-3, S-4
P-1, Q-3, R-2, S-4
P-3, Q-1, R-2, S-4
P-2, Q-1, R-4, S-3

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) P-1, Q-2, R-3, S-4

88. অতিরিক্ত স্তম্ভ মেলাও:

স্তম্ভ-I (\|z₁\|=3, \|z₂\|=4)	স্তম্ভ-II (মান)
(P) \|z₁z₂\|-এর মান	(1) 3/4
(Q) \|z₁/z₂\|-এর মান	(2) 7
(R) \|z₁+z₂\|-এর সর্বোচ্চ মান	(3) 1
(S) \|z₁+z₂\|-এর সর্বনিম্ন মান	(4) 12

P-4, Q-1, R-2, S-3
P-1, Q-3, R-2, S-4
P-3, Q-1, R-2, S-4
P-2, Q-1, R-4, S-3

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) P-4, Q-1, R-2, S-3
ব্যাখ্যা: |z₁+z₂| ≤ |z₁|+|z₂| এবং |z₁+z₂| ≥ ||z₁|-|z₂||

89. অতিরিক্ত স্তম্ভ মেলাও:

স্তম্ভ-I (i-এর ঘাত)	স্তম্ভ-II (সাধারণ রূপ, n∈Z)
(P) i⁴ⁿ	(1) -1
(Q) i⁴ⁿ⁺¹	(2) -i
(R) i⁴ⁿ⁺²	(3) i
(S) i⁴ⁿ⁺³	(4) 1

P-2, Q-4, R-1, S-3
P-4, Q-3, R-1, S-2
P-3, Q-1, R-2, S-4
P-2, Q-1, R-3, S-4

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) P-4, Q-3, R-1, S-2

90. অতিরিক্ত স্তম্ভ মেলাও:

স্তম্ভ-I (সমীকরণ)	স্তম্ভ-II (নিরূপক, D)
(P) x² – 2x + 1 = 0	(1) D > 0
(Q) x² – 3x + 2 = 0	(2) D < 0
(R) x² + x + 1 = 0	(3) D = 0
(S) x² = 0

P-3, Q-1, R-2, S-3
P-1, Q-3, R-2, S-4
P-3, Q-1, R-4, S-2
P-2, Q-1, R-3, S-4

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) P-3, Q-1, R-2, S-3

তুমি কি এবছর WBCHSE HS Exam পরিক্ষা দেবে Semister 1, 2, 3, 4 HS Suggestion পেতে চাও উচ্চ মাধ্যমিক সাজেশন এখানে পাবে

A. নীচের প্রশ্নগুলি থেকে সঠিক উত্তর বেছে নাও: (60 MCQ)

অনুচ্ছেদ ভিত্তিক প্রশ্ন

অনুচ্ছেদ – ১

অনুচ্ছেদ – ২

অনুচ্ছেদ – ৩

B. বাম স্তম্ভের (I) সঙ্গে ডান স্তম্ভের (II) সঠিক বিকল্পটি বেছে নাও: (10 MCQ)

Related Posts

Leave a Comment Cancel Reply