A. নীচের প্রশ্নগুলি থেকে সঠিক উত্তর বেছে নাও: (60 MCQ)
1. sin⁻¹(sin(2π/3))-এর মুখ্য মান (principal value) কত?
- 2π/3
- π/3
- -π/3
- π/6
উত্তর দেখুন
সঠিক উত্তর: (b) π/3
ব্যাখ্যা: sin⁻¹x-এর মুখ্য মানের পাল্লা হল [-π/2, π/2]। sin(2π/3) = sin(π – π/3) = sin(π/3)। যেহেতু π/3 এই পাল্লার মধ্যে অবস্থিত, তাই sin⁻¹(sin(2π/3)) = π/3।
2. tan⁻¹(√3) – sec⁻¹(-2) -এর মান কত?
- π
- -π/3
- π/3
- 2π/3
উত্তর দেখুন
সঠিক উত্তর: (b) -π/3
ব্যাখ্যা: tan⁻¹(√3) = π/3। sec⁻¹(-2) = π – sec⁻¹(2) = π – π/3 = 2π/3। সুতরাং, π/3 – 2π/3 = -π/3।
3. y = sin⁻¹x অপেক্ষকের ক্ষেত্র (domain) কী?
- R
- [-1, 1]
- (-1, 1)
- [-π/2, π/2]
উত্তর দেখুন
সঠিক উত্তর: (b) [-1, 1]
ব্যাখ্যা: sinθ-এর মান সর্বদা -1 থেকে 1-এর মধ্যে থাকে, তাই sin⁻¹x-এর ক্ষেত্র হল [-1, 1]।
4. sin⁻¹x + cos⁻¹x = ? (যখন x ∈ [-1, 1])
- π
- π/2
- 1
- 0
উত্তর দেখুন
সঠিক উত্তর: (b) π/2
ব্যাখ্যা: এটি বিপরীত বৃত্তীয় অপেক্ষকের একটি মৌলিক ধর্ম।
5. cos⁻¹(cos(7π/6))-এর মুখ্য মান কত?
- 7π/6
- 5π/6
- π/6
- -π/6
উত্তর দেখুন
সঠিক উত্তর: (b) 5π/6
ব্যাখ্যা: cos⁻¹x-এর মুখ্য মানের পাল্লা হল [0, π]। cos(7π/6) = cos(2π – 5π/6) = cos(5π/6)। যেহেতু 5π/6 এই পাল্লার মধ্যে অবস্থিত, উত্তর হবে 5π/6।
6. tan⁻¹(1) + cos⁻¹(-1/2) + sin⁻¹(-1/2) = ?
- π/4
- 3π/4
- -π/4
- π
উত্তর দেখুন
সঠিক উত্তর: (b) 3π/4
ব্যাখ্যা: tan⁻¹(1)=π/4। cos⁻¹(-1/2)=π-cos⁻¹(1/2)=π-π/3=2π/3। sin⁻¹(-1/2)=-sin⁻¹(1/2)=-π/6। যোগফল = π/4 + 2π/3 – π/6 = (3π+8π-2π)/12 = 9π/12 = 3π/4।
7. y = tan⁻¹x অপেক্ষকের প্রসার (range) কী?
- [-π/2, π/2]
- (-π/2, π/2)
- [0, π]
- (0, π)
উত্তর দেখুন
সঠিক উত্তর: (b) (-π/2, π/2)
ব্যাখ্যা: tan⁻¹x-এর মুখ্য মানের পাল্লা হল (-π/2, π/2)।
8. tan⁻¹x + tan⁻¹y = ? (যখন xy < 1)
- tan⁻¹((x-y)/(1+xy))
- tan⁻¹((x+y)/(1-xy))
- tan⁻¹((x+y)/(1+xy))
- π + tan⁻¹((x+y)/(1-xy))
উত্তর দেখুন
সঠিক উত্তর: (b) tan⁻¹((x+y)/(1-xy))
ব্যাখ্যা: এটি tan⁻¹ অপেক্ষকের যোগফলের সূত্র।
9. sin(sin⁻¹(1/2) + cos⁻¹(1/2)) = ?
- 0
- 1/2
- 1
- √3/2
উত্তর দেখুন
সঠিক উত্তর: (c) 1
ব্যাখ্যা: sin⁻¹(1/2) + cos⁻¹(1/2) = π/2। সুতরাং, sin(π/2) = 1।
10. cos⁻¹(-x) = ?
- -cos⁻¹x
- cos⁻¹x
- π – cos⁻¹x
- π + cos⁻¹x
উত্তর দেখুন
সঠিক উত্তর: (c) π – cos⁻¹x
ব্যাখ্যা: এটি cos⁻¹ অপেক্ষকের একটি ধর্ম।
11. 2tan⁻¹x = ?
- tan⁻¹(2x/(1-x²))
- sin⁻¹(2x/(1+x²))
- cos⁻¹((1-x²)/(1+x²))
- উপরের সবগুলি
উত্তর দেখুন
সঠিক উত্তর: (d) উপরের সবগুলি
ব্যাখ্যা: এই তিনটিই 2tan⁻¹x-এর সূত্র, তবে শর্ত সাপেক্ষে।
12. y = cosec⁻¹x অপেক্ষকের ক্ষেত্র কোনটি?
- [-1, 1]
- R
- R – (-1, 1)
- R – {0}
উত্তর দেখুন
সঠিক উত্তর: (c) R – (-1, 1)
ব্যাখ্যা: অর্থাৎ, (-∞, -1] ∪ [1, ∞)।
13. sin(tan⁻¹x) = ? (|x| < 1)
- x / √(1-x²)
- 1 / √(1+x²)
- x / √(1+x²)
- √(1+x²) / x
উত্তর দেখুন
সঠিক উত্তর: (c) x / √(1+x²)
ব্যাখ্যা: tan⁻¹x = θ ধরলে, tanθ = x = x/1। লম্ব=x, ভূমি=1, অতিভুজ=√(1+x²)। sinθ = লম্ব/অতিভুজ = x/√(1+x²)।
14. tan⁻¹(tan(3π/4))-এর মুখ্য মান কত?
- 3π/4
- π/4
- -π/4
- -3π/4
উত্তর দেখুন
সঠিক উত্তর: (c) -π/4
ব্যাখ্যা: tan(3π/4) = tan(π – π/4) = -tan(π/4) = -1। tan⁻¹(-1) = -π/4, যা (-π/2, π/2) পাল্লার মধ্যে অবস্থিত।
15. sin⁻¹(2x√(1-x²)) = ? (যদি -1/√2 ≤ x ≤ 1/√2)
- 2sin⁻¹x
- 2cos⁻¹x
- sin⁻¹x
- cos⁻¹x
উত্তর দেখুন
সঠিক উত্তর: (a) 2sin⁻¹x
ব্যাখ্যা: x=sinθ ধরলে, sin⁻¹(2sinθ√(1-sin²θ)) = sin⁻¹(2sinθcosθ) = sin⁻¹(sin2θ) = 2θ = 2sin⁻¹x।
16. cot⁻¹(-1/√3)-এর মুখ্য মান কত?
- π/6
- -π/6
- 2π/3
- 5π/6
উত্তর দেখুন
সঠিক উত্তর: (c) 2π/3
ব্যাখ্যা: cot⁻¹(-x) = π – cot⁻¹x। cot⁻¹(-1/√3) = π – cot⁻¹(1/√3) = π – π/3 = 2π/3।
17. y = sec⁻¹x অপেক্ষকের লেখচিত্র কোন পাদে থাকে?
- প্রথম ও দ্বিতীয়
- প্রথম ও তৃতীয়
- প্রথম ও চতুর্থ
- দ্বিতীয় ও চতুর্থ
উত্তর দেখুন
সঠিক উত্তর: (a) প্রথম ও দ্বিতীয়
ব্যাখ্যা: sec⁻¹x-এর পাল্লা হল [0, π] – {π/2}, যা প্রথম ও দ্বিতীয় পাদে অবস্থিত।
18. tan⁻¹(1/2) + tan⁻¹(1/3) = ?
- π/2
- π/3
- π/4
- π/6
উত্তর দেখুন
সঠিক উত্তর: (c) π/4
ব্যাখ্যা: tan⁻¹((1/2+1/3)/(1-1/2×1/3)) = tan⁻¹((5/6)/(5/6)) = tan⁻¹(1) = π/4।
19. sin⁻¹(x) = y হলে-
- 0 ≤ y ≤ π
- -π/2 ≤ y ≤ π/2
- 0 < y < π
- -π/2 < y < π/2
উত্তর দেখুন
সঠিক উত্তর: (b) -π/2 ≤ y ≤ π/2
ব্যাখ্যা: এটি sin⁻¹x-এর মুখ্য মানের পাল্লা।
20. cos(sec⁻¹x + cosec⁻¹x) = ? (|x| ≥ 1)
- 1
- -1
- 0
- 1/2
উত্তর দেখুন
সঠিক উত্তর: (c) 0
ব্যাখ্যা: sec⁻¹x + cosec⁻¹x = π/2। সুতরাং, cos(π/2) = 0।
21. tan⁻¹(2) + tan⁻¹(3) = ?
- π/4
- 3π/4
- -π/4
- π
উত্তর দেখুন
সঠিক উত্তর: (b) 3π/4
ব্যাখ্যা: এখানে xy = 2×3 = 6 > 1। তাই সূত্রটি হল π + tan⁻¹((2+3)/(1-2×3)) = π + tan⁻¹(5/-5) = π + tan⁻¹(-1) = π – π/4 = 3π/4।
22. sin⁻¹(sin(10))-এর মান কত?
- 10
- 3π – 10
- 10 – 3π
- π – 10
উত্তর দেখুন
সঠিক উত্তর: (b) 3π – 10
ব্যাখ্যা: 10 রেডিয়ান ≈ 573°। এটি তৃতীয় পাদে। 3π ≈ 9.42। sin(10) = sin(3π – (3π-10)) = -sin(3π-10) = sin(10-3π) (ভুল)। sin(10) = sin(10-3π+3π)=-sin(3π-10) = sin(10-3π). 3π-10 হল পাল্লার মধ্যে।
23. tan⁻¹x > cot⁻¹x অসমতাটি কখন সত্য?
- x > 1
- x < 1
- x = 1
- x < 0
উত্তর দেখুন
সঠিক উত্তর: (a) x > 1
ব্যাখ্যা: tan⁻¹x + cot⁻¹x = π/2। tan⁻¹x > π/2 – tan⁻¹x => 2tan⁻¹x > π/2 => tan⁻¹x > π/4 => x > tan(π/4) => x > 1।
24. cos⁻¹(4/5) + cos⁻¹(12/13) = ?
- cos⁻¹(33/65)
- sin⁻¹(33/65)
- tan⁻¹(33/65)
- cos⁻¹(16/65)
উত্তর দেখুন
সঠিক উত্তর: (a) cos⁻¹(33/65)
ব্যাখ্যা: cos⁻¹x + cos⁻¹y = cos⁻¹(xy – √(1-x²)√(1-y²))। cos⁻¹((4/5)(12/13) – √(1-16/25)√(1-144/169)) = cos⁻¹(48/65 – (3/5)(5/13)) = cos⁻¹(48/65 – 15/65) = cos⁻¹(33/65)।
25. y = f(x) অপেক্ষকের বিপরীত অপেক্ষকের লেখচিত্র হল y=f(x) লেখচিত্রের ________ রেখার সাপেক্ষে প্রতিবিম্ব।
- y = -x
- y = x
- x-অক্ষ
- y-অক্ষ
উত্তর দেখুন
সঠিক উত্তর: (b) y = x
26. sin⁻¹(1-x) – 2sin⁻¹x = π/2 সমীকরণের সমাধান হল-
- 0
- 1/2
- 0, 1/2
- 1
উত্তর দেখুন
সঠিক উত্তর: (a) 0
ব্যাখ্যা: x=0 বসালে sin⁻¹(1)-2sin⁻¹(0) = π/2 – 0 = π/2। x=1/2 বসালে sin⁻¹(1/2)-2sin⁻¹(1/2) = -sin⁻¹(1/2) = -π/6 ≠ π/2।
27. sin⁻¹(sinx) = x হবে যদি-
- x ∈ R
- x ∈ [-1, 1]
- x ∈ [-π/2, π/2]
- x ∈ [0, π]
উত্তর দেখুন
সঠিক উত্তর: (c) x ∈ [-π/2, π/2]
ব্যাখ্যা: এটি sin⁻¹ অপেক্ষকের মুখ্য মানের পাল্লার সংজ্ঞা।
28. tan⁻¹(cotx)-এর মান কত?
- x
- π/2 – x
- π/2 + x
- x – π/2
উত্তর দেখুন
সঠিক উত্তর: (b) π/2 – x
ব্যাখ্যা: tan⁻¹(cotx) = tan⁻¹(tan(π/2-x)) = π/2-x।
29. y = cot⁻¹x অপেক্ষকের মুখ্য মানের পাল্লা কোনটি?
- [-π/2, π/2]
- (-π/2, π/2)
- [0, π]
- (0, π)
উত্তর দেখুন
সঠিক উত্তর: (d) (0, π)
30. যদি sin⁻¹x = y হয়, তবে cos⁻¹x = ?
- π/2 – y
- π – y
- y
- -y
উত্তর দেখুন
সঠিক উত্তর: (a) π/2 – y
ব্যাখ্যা: কারণ sin⁻¹x + cos⁻¹x = π/2।
31. 4tan⁻¹(1/5) – tan⁻¹(1/70) + tan⁻¹(1/99) = ?
- π/4
- π/2
- π
- 0
উত্তর দেখুন
সঠিক উত্তর: (a) π/4
ব্যাখ্যা: এটি একটি প্রমাণ। 4tan⁻¹(1/5)=tan⁻¹(120/119)। tan⁻¹(120/119)-tan⁻¹(1/70)=tan⁻¹(1.009)।
32. cos(2cos⁻¹x) = ?
- 2x
- 2x² – 1
- 1 – 2x²
- x²
উত্তর দেখুন
সঠিক উত্তর: (b) 2x² – 1
ব্যাখ্যা: θ=cos⁻¹x ধরলে, cos(2θ)=2cos²θ-1=2(cos(cos⁻¹x))²-1=2x²-1।
33. sec²(tan⁻¹2) + cosec²(cot⁻¹3) = ?
- 5
- 10
- 15
- 20
উত্তর দেখুন
সঠিক উত্তর: (c) 15
ব্যাখ্যা: 1+tan²(tan⁻¹2) + 1+cot²(cot⁻¹3) = 1+2²+1+3² = 1+4+1+9=15।
34. sin⁻¹(3/5) + sin⁻¹(8/17) = ?
- sin⁻¹(77/85)
- cos⁻¹(77/85)
- sin⁻¹(36/85)
- cos⁻¹(36/85)
উত্তর দেখুন
সঠিক উত্তর: (a) sin⁻¹(77/85)
ব্যাখ্যা: sin⁻¹x+sin⁻¹y=sin⁻¹(x√(1-y²)+y√(1-x²)) সূত্র ব্যবহার করে।
35. sin(π/3 – sin⁻¹(-1/2)) = ?
- 1/2
- 1
- 0
- -1/2
উত্তর দেখুন
সঠিক উত্তর: (b) 1
ব্যাখ্যা: sin⁻¹(-1/2)=-π/6। sin(π/3 – (-π/6)) = sin(π/3+π/6) = sin(π/2) = 1।
36. tan⁻¹(x/y) – tan⁻¹((x-y)/(x+y)) = ?
- π/4
- π/3
- π/2
- π/6
উত্তর দেখুন
সঠিক উত্তর: (a) π/4
ব্যাখ্যা: tan⁻¹((x-y)/(x+y)) = tan⁻¹((x/y-1)/(x/y+1)) = tan⁻¹(x/y) – tan⁻¹(1)। সুতরাং, tan⁻¹(x/y) – (tan⁻¹(x/y) – π/4) = π/4।
37. y = sec⁻¹x অপেক্ষকটির মুখ্য মানের পাল্লা হল-
- [0, π]
- [-π/2, π/2]
- [0, π] – {π/2}
- (-π/2, π/2) – {0}
উত্তর দেখুন
সঠিক উত্তর: (c) [0, π] – {π/2}
38. cot(sin⁻¹x) = ?
- √(1-x²)/x
- x/√(1-x²)
- 1/x
- x
উত্তর দেখুন
সঠিক উত্তর: (a) √(1-x²)/x
ব্যাখ্যা: sin⁻¹x = θ ধরলে, sinθ = x। ভূমি=√(1-x²)। cotθ = ভূমি/লম্ব = √(1-x²)/x।
39. sin⁻¹(1) = ?
- 0
- π/2
- π
- -π/2
উত্তর দেখুন
সঠিক উত্তর: (b) π/2
40. tan⁻¹(tan 5) -এর মান কত?
- 5
- 5-π
- 5-2π
- π-5
উত্তর দেখুন
সঠিক উত্তর: (c) 5-2π
ব্যাখ্যা: 5 রেডিয়ান চতুর্থ পাদে। tan(5) = tan(5-2π)। 5-2π মানটি (-π/2, π/2) পাল্লার মধ্যে।
41. যদি x+1/x = 2 হয়, sin⁻¹x-এর মুখ্য মান কত?
- 0
- π/2
- π
- -π/2
উত্তর দেখুন
সঠিক উত্তর: (b) π/2
ব্যাখ্যা: x²-2x+1=0 => (x-1)²=0 => x=1। sin⁻¹(1)=π/2।
42. sec⁻¹(2) + cosec⁻¹(2) = ?
- π/2
- π/3
- π/6
- π
উত্তর দেখুন
সঠিক উত্তর: (a) π/2
43. cos(sin⁻¹(√3/2)) = ?
- √3/2
- 1/2
- 1
- 0
উত্তর দেখুন
সঠিক উত্তর: (b) 1/2
ব্যাখ্যা: sin⁻¹(√3/2) = π/3। cos(π/3) = 1/2।
44. sin⁻¹(x) = tan⁻¹(?)
- x/√(1-x²)
- √(1-x²)/x
- x/√(1+x²)
- 1/x
উত্তর দেখুন
সঠিক উত্তর: (a) x/√(1-x²)
45. cos⁻¹(cos 10) = ?
- 10
- 4π – 10
- 10 – 3π
- 2π – 10
উত্তর দেখুন
সঠিক উত্তর: (b) 4π – 10
ব্যাখ্যা: 10 রেডিয়ান চতুর্থ পাদে। cos(10)=cos(10-2π)=cos(10-4π+2π)=cos(4π-10) (ভুল)। cos(10)=cos(10-2π)=cos(2π-10)=cos(10-2π). 4π-10 এর মান পাল্লাতে নেই।
46. tan⁻¹(1/4) + tan⁻¹(3/5) = ?
- π/4
- π/2
- tan⁻¹(17/17)
- tan⁻¹(17/13)
উত্তর দেখুন
সঠিক উত্তর: (a) π/4
ব্যাখ্যা: tan⁻¹((1/4+3/5)/(1-3/20)) = tan⁻¹((17/20)/(17/20))=tan⁻¹(1)=π/4।
47. sin⁻¹(-√3/2) = ?
- π/3
- -π/3
- 2π/3
- 4π/3
উত্তর দেখুন
সঠিক উত্তর: (b) -π/3
48. cos(tan⁻¹(3/4)) = ?
- 3/5
- 4/5
- 3/4
- 4/3
উত্তর দেখুন
সঠিক উত্তর: (b) 4/5
ব্যাখ্যা: tan⁻¹(3/4)=θ ধরলে, tanθ=3/4। অতিভুজ=5। cosθ=4/5।
49. tan⁻¹3 + tan⁻¹(1/3) = ?
- tan⁻¹(10/8)
- π/2
- π
- 0
উত্তর দেখুন
সঠিক উত্তর: (b) π/2
ব্যাখ্যা: tan⁻¹x+cot⁻¹x=π/2। tan⁻¹(1/3)=cot⁻¹(3)।
50. y = f(x) এবং y = f⁻¹(x) এর লেখচিত্র দুটি কোন রেখার সাপেক্ষে প্রতিসম?
- x=0
- y=0
- y=x
- y=-x
উত্তর দেখুন
সঠিক উত্তর: (c) y=x
51. cot⁻¹x-এর ক্ষেত্র কী?
- R
- [-1,1]
- R-{0}
- (0,∞)
উত্তর দেখুন
সঠিক উত্তর: (a) R
ব্যাখ্যা: cot⁻¹x সকল বাস্তব সংখ্যার জন্য সংজ্ঞায়িত।
52. tan⁻¹(x) + tan⁻¹(1/x) = ? (x>0)
- π
- π/2
- 1
- 2tan⁻¹x
উত্তর দেখুন
সঠিক উত্তর: (b) π/2
ব্যাখ্যা: tan⁻¹(1/x)=cot⁻¹x। tan⁻¹x+cot⁻¹x = π/2।
53. sin⁻¹(cos(π/3)) = ?
- π/3
- π/6
- 2π/3
- -π/3
উত্তর দেখুন
সঠিক উত্তর: (b) π/6
ব্যাখ্যা: sin⁻¹(1/2) = π/6।
54. sin⁻¹x-এর লেখচিত্রটি কোন দুটি বিন্দুর মধ্যে সীমাবদ্ধ?
- (-1,1) এবং (1,-1)
- (-1,-π/2) এবং (1,π/2)
- (-π/2,-1) এবং (π/2,1)
- (0,0) এবং (1,1)
উত্তর দেখুন
সঠিক উত্তর: (b) (-1,-π/2) এবং (1,π/2)
55. কোনটির অস্তিত্ব নেই?
- sin⁻¹(0.5)
- cos⁻¹(1.5)
- tan⁻¹(100)
- cot⁻¹(-10)
উত্তর দেখুন
সঠিক উত্তর: (b) cos⁻¹(1.5)
ব্যাখ্যা: cos⁻¹x-এর ক্ষেত্র [-1, 1]।
56. 2tan⁻¹(1/3) = ?
- tan⁻¹(3/4)
- tan⁻¹(2/3)
- tan⁻¹(1)
- tan⁻¹(4/3)
উত্তর দেখুন
সঠিক উত্তর: (a) tan⁻¹(3/4)
ব্যাখ্যা: tan⁻¹(2(1/3)/(1-(1/3)²)) = tan⁻¹((2/3)/(8/9)) = tan⁻¹(3/4)।
57. cos⁻¹x-এর মুখ্য মানের পাল্লা হল-
- [-π/2, π/2]
- [0, π]
- (-π/2, π/2)
- (0, π)
উত্তর দেখুন
সঠিক উত্তর: (b) [0, π]
58. tan⁻¹(sin(-π/2)) = ?
- π/4
- -π/4
- π/2
- -π/2
উত্তর দেখুন
সঠিক উত্তর: (b) -π/4
ব্যাখ্যা: tan⁻¹(-1) = -π/4।
59. y = sec⁻¹x অপেক্ষকটি-
- যুগ্ম
- অযুগ্ম
- যুগ্মও নয়, অযুগ্মও নয়
- উভয়ই
উত্তর দেখুন
সঠিক উত্তর: (c) যুগ্মও নয়, অযুগ্মও নয়
60. tan⁻¹x = y হলে, cosec⁻¹(√(1+x²)/x) = ? (x>0)
- y
- π/2 – y
- π – y
- x
উত্তর দেখুন
সঠিক উত্তর: (a) y
ব্যাখ্যা: tan⁻¹x = cosec⁻¹(√(1+x²)/x)।
অনুচ্ছেদ ভিত্তিক প্রশ্ন
অনুচ্ছেদ – ১
বিপরীত বৃত্তীয় অপেক্ষকের মুখ্য মান নির্দিষ্ট পাল্লার মধ্যে সীমাবদ্ধ। sin⁻¹x-এর পাল্লা [-π/2, π/2], cos⁻¹x-এর পাল্লা [0, π], এবং tan⁻¹x-এর পাল্লা (-π/2, π/2)। কোনো রাশির মান বের করার সময়, ফলাফলকে এই পাল্লার মধ্যে আনতে হয়। যেমন, cos(11π/6) = cos(2π-π/6) = cos(π/6)।
61. cos⁻¹(cos(13π/6))-এর মান কত?
- 13π/6
- π/6
- -π/6
- 5π/6
উত্তর দেখুন
সঠিক উত্তর: (b) π/6
ব্যাখ্যা: cos(13π/6) = cos(2π + π/6) = cos(π/6)। π/6, [0, π] পাল্লার মধ্যে।
62. sin⁻¹(sin 5)-এর মান কত?
- 5
- π-5
- 5-2π
- 2π-5
উত্তর দেখুন
সঠিক উত্তর: (c) 5-2π
ব্যাখ্যা: 5 রেডিয়ান চতুর্থ পাদে। sin(5) = sin(5-2π)। (5-2π) মানটি [-π/2, π/2] পাল্লার মধ্যে।
63. tan⁻¹(tan 4)-এর মান কত?
- 4
- 4-π
- π-4
- 4-2π
উত্তর দেখুন
সঠিক উত্তর: (b) 4-π
ব্যাখ্যা: 4 রেডিয়ান তৃতীয় পাদে। tan(4) = tan(4-π)। (4-π) মানটি (-π/2, π/2) পাল্লার মধ্যে।
64. sin⁻¹(cos(2π/3)) = ?
- 2π/3
- -π/6
- π/6
- 5π/6
উত্তর দেখুন
সঠিক উত্তর: (b) -π/6
ব্যাখ্যা: cos(2π/3)=-1/2। sin⁻¹(-1/2) = -π/6।
65. cot⁻¹(cot(4π/3)) = ?
- 4π/3
- π/3
- -2π/3
- 2π/3
উত্তর দেখুন
সঠিক উত্তর: (b) π/3
ব্যাখ্যা: cot(4π/3)=cot(π+π/3)=cot(π/3)। π/3, (0,π) পাল্লার মধ্যে।
অনুচ্ছেদ – ২
কিছু গুরুত্বপূর্ণ অভেদ হল: sin⁻¹x + cos⁻¹x = π/2; tan⁻¹x + cot⁻¹x = π/2; sec⁻¹x + cosec⁻¹x = π/2। tan⁻¹x + tan⁻¹y = tan⁻¹((x+y)/(1-xy)) যখন xy < 1, এবং π + tan⁻¹((x+y)/(1-xy)) যখন xy > 1 এবং x,y > 0।
66. sin⁻¹(3/5) + cos⁻¹(3/5) = ?
- π
- π/2
- sin⁻¹(4/5)
- cos⁻¹(4/5)
উত্তর দেখুন
সঠিক উত্তর: (b) π/2
ব্যাখ্যা: sin⁻¹x + cos⁻¹x = π/2 অভেদ অনুযায়ী।
67. tan⁻¹(2) + tan⁻¹(1/2) = ?
- π/4
- π/2
- π
- 1
উত্তর দেখুন
সঠিক উত্তর: (b) π/2
ব্যাখ্যা: tan⁻¹(2) + cot⁻¹(2) = π/2।
68. tan⁻¹(1/7) + tan⁻¹(1/13) = ?
- tan⁻¹(1/9)
- tan⁻¹(2/9)
- tan⁻¹(20/90)
- tan⁻¹(2/9)
উত্তর দেখুন
সঠিক উত্তর: (b) tan⁻¹(2/9)
ব্যাখ্যা: tan⁻¹((1/7+1/13)/(1-1/91)) = tan⁻¹((20/91)/(90/91)) = tan⁻¹(20/90) = tan⁻¹(2/9)।
69. যদি tan⁻¹x + tan⁻¹y + tan⁻¹z = π হয়, তবে x+y+z = ?
- xyz
- 1
- 0
- -1
উত্তর দেখুন
সঠিক উত্তর: (a) xyz
ব্যাখ্যা: tan⁻¹x+tan⁻¹y = π-tan⁻¹z। tan⁻¹((x+y)/(1-xy)) = tan⁻¹(-z)। (x+y)/(1-xy)=-z => x+y=-z+xyz => x+y+z=xyz।
70. sin⁻¹x > cos⁻¹x অসমতাটি কখন সত্য?
- x > 1/√2
- x < 1/√2
- x = 1/√2
- x > 1/2
উত্তর দেখুন
সঠিক উত্তর: (a) x > 1/√2
ব্যাখ্যা: sin⁻¹x > π/2-sin⁻¹x => 2sin⁻¹x > π/2 => sin⁻¹x > π/4 => x > sin(π/4) => x > 1/√2।
অনুচ্ছেদ – ৩
বিপরীত বৃত্তীয় অপেক্ষকের লেখচিত্রগুলি মূল অপেক্ষকের লেখচিত্রের y=x রেখার সাপেক্ষে প্রতিবিম্ব, তবে ক্ষেত্রকে সীমাবদ্ধ করতে হয় যাতে অপেক্ষকটি বাইজেক্টিভ হয়। y=sin⁻¹x-এর লেখচিত্রটি (-1,-π/2) থেকে (1,π/2) পর্যন্ত বিস্তৃত।
71. y=cos⁻¹x-এর লেখচিত্রটি কোন দুটি বিন্দুর মধ্যে থাকে?
- (-1,0) এবং (1,π)
- (-1,-π) এবং (1,π)
- (-1,π) এবং (1,0)
- (-1,0) এবং (1,-π)
উত্তর দেখুন
সঠিক উত্তর: (c) (-1,π) এবং (1,0)
72. y=tan⁻¹x-এর লেখচিত্রের দুটি অসীমতট (asymptote) হল-
- y=π, y=-π
- y=π/2, y=-π/2
- x=π/2, x=-π/2
- x=0, y=0
উত্তর দেখুন
সঠিক উত্তর: (b) y=π/2, y=-π/2
73. কোন বিপরীত বৃত্তীয় অপেক্ষকের লেখচিত্রটি মূলবিন্দুর সাপেক্ষে প্রতিসম?
- cos⁻¹x
- sec⁻¹x
- sin⁻¹x
- cot⁻¹x
উত্তর দেখুন
সঠিক উত্তর: (c) sin⁻¹x (এবং tan⁻¹x, cosec⁻¹x) কারণ এগুলি অযুগ্ম অপেক্ষক।
74. y=sin⁻¹x এবং y=cos⁻¹x-এর লেখচিত্র দুটি কোন বিন্দুতে ছেদ করে?
- (1/√2, π/4)
- (1/2, π/3)
- (√3/2, π/6)
- ছেদ করে না
উত্তর দেখুন
সঠিক উত্তর: (a) (1/√2, π/4)
ব্যাখ্যা: sin⁻¹x=cos⁻¹x হলে x=1/√2 এবং y=π/4।
75. y=sin⁻¹x-এর লেখচিত্রটি y-অক্ষকে কোন বিন্দুতে ছেদ করে?
- (0, π/2)
- (0, 0)
- (0, -π/2)
- ছেদ করে না
উত্তর দেখুন
সঠিক উত্তর: (b) (0, 0)
ব্যাখ্যা: x=0 হলে sin⁻¹(0)=0।
B. বাম স্তম্ভের (I) সঙ্গে ডান স্তম্ভের (II) সঠিক বিকল্পটি বেছে নাও: (10 MCQ)
| স্তম্ভ-I (অপেক্ষক) | স্তম্ভ-II (মুখ্য মানের পাল্লা) |
|---|---|
| (P) sin⁻¹x | (1) [0, π] |
| (Q) cos⁻¹x | (2) (-π/2, π/2) |
| (R) tan⁻¹x | (3) [0, π] – {π/2} |
| (S) sec⁻¹x | (4) [-π/2, π/2] |
76. সঠিক মিলটি হল:
- P-1, Q-2, R-3, S-4
- P-4, Q-1, R-2, S-3
- P-2, Q-1, R-4, S-3
- P-4, Q-3, R-2, S-1
উত্তর দেখুন
সঠিক উত্তর: (b) P-4, Q-1, R-2, S-3
ব্যাখ্যা: প্রতিটি অপেক্ষকের সাথে তার সঠিক মুখ্য মানের পাল্লার মিল করা হয়েছে।
| স্তম্ভ-I (রাশি) | স্তম্ভ-II (মান) |
|---|---|
| (P) sin⁻¹(1) | (1) 0 |
| (Q) cos⁻¹(1) | (2) π/3 |
| (R) tan⁻¹(√3) | (3) π/2 |
| (S) cos⁻¹(1/2) |
77. সঠিক মিলটি হল:
- P-3, Q-1, R-2, S-2
- P-1, Q-2, R-3, S-4
- P-3, Q-1, R-2, S-(2)
- P-4, Q-1, R-3, S-2
উত্তর দেখুন
সঠিক উত্তর: (a) P-3, Q-1, R-2, S-2
ব্যাখ্যা: tan⁻¹(√3) এবং cos⁻¹(1/2) উভয়ের মানই π/3।
| স্তম্ভ-I (অভেদ) | স্তম্ভ-II (ফলাফল) |
|---|---|
| (P) sin⁻¹x + cos⁻¹x | (1) π/2 |
| (Q) tan⁻¹x + cot⁻¹x | (2) sin⁻¹(2x√(1-x²)) |
| (R) sec⁻¹x + cosec⁻¹x | (3) cos⁻¹(2x²-1) |
| (S) 2sin⁻¹x | (4) sin⁻¹(3x-4x³) |
78. সঠিক মিলটি হল:
- P-1, Q-1, R-1, S-4
- P-2, Q-3, R-1, S-4
- P-1, Q-1, R-2, S-3
- P-1, Q-2, R-3, S-4
উত্তর দেখুন
সঠিক উত্তর: (a) P-1, Q-1, R-1, S-4 (2sin⁻¹x = sin⁻¹(2x√(1-x²)))
| স্তম্ভ-I (অপেক্ষক) | স্তম্ভ-II (ক্ষেত্র / Domain) |
|---|---|
| (P) tan⁻¹x | (1) [-1, 1] |
| (Q) cot⁻¹x | (2) R |
| (R) cos⁻¹x | |
| (S) sec⁻¹x | (3) R – (-1, 1) |
79. সঠিক মিলটি হল:
- P-2, Q-2, R-1, S-3
- P-1, Q-3, R-2, S-4
- P-3, Q-1, R-2, S-4
- P-2, Q-1, R-4, S-3
উত্তর দেখুন
সঠিক উত্তর: (a) P-2, Q-2, R-1, S-3
ব্যাখ্যা: প্রতিটি অপেক্ষকের সঠিক ক্ষেত্রের সাথে মিল করা হয়েছে।
| স্তম্ভ-I (sin⁻¹(sinθ)) | স্তম্ভ-II (মান) |
|---|---|
| (P) θ ∈ [-π/2, π/2] | (1) π – θ |
| (Q) θ ∈ [π/2, 3π/2] | (2) θ – 2π |
| (R) θ ∈ [3π/2, 5π/2] | (3) θ |
| (S) θ ∈ [-3π/2, -π/2] | (4) -π – θ |
80. সঠিক মিলটি হল:
- P-1, Q-3, R-4, S-2
- P-3, Q-1, R-2, S-4
- P-4, Q-2, R-1, S-3
- P-2, Q-1, R-4, S-3
উত্তর দেখুন
সঠিক উত্তর: (b) P-3, Q-1, R-2, S-4
ব্যাখ্যা: sin⁻¹(sinθ)-এর মানকে মুখ্য পাল্লার মধ্যে আনার জন্য এই রূপান্তরগুলি করা হয়।
| স্তম্ভ-I (cos⁻¹(cosθ)) | স্তম্ভ-II (মান) |
|---|---|
| (P) θ ∈ [0, π] | (1) 2π – θ |
| (Q) θ ∈ [π, 2π] | (2) θ |
| (R) θ ∈ [2π, 3π] | (3) θ – 2π |
| (S) θ ∈ [-π, 0] | (4) -θ |
81. সঠিক মিলটি হল:
- P-2, Q-1, R-3, S-4
- P-1, Q-3, R-2, S-4
- P-3, Q-1, R-2, S-4
- P-2, Q-1, R-4, S-3
উত্তর দেখুন
সঠিক উত্তর: (a) P-2, Q-1, R-3, S-4
ব্যাখ্যা: cos⁻¹(cosθ)-এর মানকে মুখ্য পাল্লার মধ্যে আনার জন্য এই রূপান্তরগুলি করা হয়।
| স্তম্ভ-I (tan⁻¹(tanθ)) | স্তম্ভ-II (মান) |
|---|---|
| (P) θ ∈ (-π/2, π/2) | (1) θ – π |
| (Q) θ ∈ (π/2, 3π/2) | (2) θ – 2π |
| (R) θ ∈ (3π/2, 5π/2) | (3) π – θ |
| (S) θ ∈ (-3π/2, -π/2) | (4) θ |
| (5) θ + π |
82. সঠিক মিলটি হল:
- P-2, Q-4, R-1, S-3
- P-4, Q-1, R-2, S-5
- P-3, Q-1, R-2, S-4
- P-2, Q-1, R-3, S-4
উত্তর দেখুন
সঠিক উত্তর: (b) P-4, Q-1, R-2, S-5
ব্যাখ্যা: tan⁻¹(tanθ)-এর মানকে মুখ্য পাল্লার মধ্যে আনার জন্য এই রূপান্তরগুলি করা হয়।
| স্তম্ভ-I (রাশি) | স্তম্ভ-II (উদাহরণ) |
|---|---|
| (P) tan⁻¹x = sin⁻¹(…) | (1) 1/√(1+x²) |
| (Q) tan⁻¹x = cos⁻¹(…) | (2) x/√(1-x²) |
| (R) sin⁻¹x = tan⁻¹(…) | (3) √(1+x²)/x |
| (S) sin⁻¹x = sec⁻¹(…) | (4) x/√(1+x²) |
| (5) 1/√(1-x²) |
83. সঠিক মিলটি হল:
- P-4, Q-1, R-2, S-5
- P-1, Q-3, R-2, S-4
- P-3, Q-1, R-2, S-4
- P-2, Q-1, R-3, S-4
উত্তর দেখুন
সঠিক উত্তর: (a) P-4, Q-1, R-2, S-5
ব্যাখ্যা: একটি বিপরীত বৃত্তীয় অপেক্ষককে অন্য অপেক্ষকে রূপান্তর করা হয়েছে।
| স্তম্ভ-I (ধর্ম) | স্তম্ভ-II (অপেক্ষক) |
|---|---|
| (P) অযুগ্ম অপেক্ষক | (1) sin⁻¹x |
| (Q) যুগ্ম নয়, অযুগ্মও নয় | (2) cos⁻¹x |
| (R) ক্ষেত্র: R | (3) tan⁻¹x |
| (S) প্রসার: [0,π] |
84. সঠিক মিলটি হল:
- P-1, Q-2, R-3, S-2
- P-1, Q-3, R-2, S-4
- P-3, Q-1, R-2, S-4
- P-2, Q-1, R-3, S-4
উত্তর দেখুন
সঠিক উত্তর: (a) P-1, Q-2, R-3, S-2
| স্তম্ভ-I (রাশি) | স্তম্ভ-II (মান) |
|---|---|
| (P) sin⁻¹(-1) | (1) π |
| (Q) cos⁻¹(-1) | (2) π/4 |
| (R) tan⁻¹(1) | (3) 0 |
| (S) cot⁻¹(∞) | (4) -π/2 |
85. সঠিক মিলটি হল:
- P-4, Q-1, R-2, S-3
- P-1, Q-3, R-2, S-4
- P-3, Q-1, R-2, S-4
- P-2, Q-1, R-3, S-4
উত্তর দেখুন
সঠিক উত্তর: (a) P-4, Q-1, R-2, S-3
| স্তম্ভ-I (অপেক্ষক) | স্তম্ভ-II (লেখচিত্র) |
|---|---|
| (P) y = sin⁻¹x | (1) y-অক্ষের সাপেক্ষে প্রতিসম নয় |
| (Q) y = cos⁻¹x | (2) মূলবিন্দুর সাপেক্ষে প্রতিসম |
| (R) y = tan⁻¹x | (3) x=±1 দ্বারা সীমাবদ্ধ |
| (S) y = sec⁻¹x | (4) x-অক্ষকে ছেদ করে না |
86. সঠিক মিলটি হল:
- P-2, Q-1, R-2, S-4
- P-1, Q-3, R-2, S-4
- P-3, Q-1, R-2, S-4
- P-2, Q-1, R-3, S-4
উত্তর দেখুন
সঠিক উত্তর: (a) P-2, Q-1, R-2, S-4
| স্তম্ভ-I (মান) | স্তম্ভ-II (কোণ) |
|---|---|
| (P) 1/2 | (1) sin⁻¹(√3/2) |
| (Q) √3/2 | (2) tan⁻¹(1) |
| (R) 1/√2 | (3) cos⁻¹(√3/2) |
| (S) 1 | (4) cos⁻¹(1/2) |
87. সঠিক মিলটি হল:
- P-3, Q-1, R-(cos⁻¹(1/√2)), S-2
- P-1, Q-3, R-2, S-4
- P-3, Q-1, R-2, S-4
- P-2, Q-1, R-3, S-4
উত্তর দেখুন
সঠিক উত্তর: (a) P-3, Q-1, R-(cos⁻¹(1/√2)), S-2 (এবং sin⁻¹(1/2), cos⁻¹(√3/2) ইত্যাদি)
| স্তম্ভ-I (অভেদ) | স্তম্ভ-II (ফলাফল) |
|---|---|
| (P) sin⁻¹(-x) | (1) π – cot⁻¹x |
| (Q) tan⁻¹(-x) | (2) -tan⁻¹x |
| (R) cosec⁻¹(-x) | (3) -sin⁻¹x |
| (S) cot⁻¹(-x) | (4) -cosec⁻¹x |
88. সঠিক মিলটি হল:
- P-3, Q-2, R-4, S-1
- P-1, Q-3, R-2, S-4
- P-3, Q-1, R-2, S-4
- P-2, Q-1, R-3, S-4
উত্তর দেখুন
সঠিক উত্তর: (a) P-3, Q-2, R-4, S-1
| স্তম্ভ-I (2tan⁻¹x) | স্তম্ভ-II (অন্যান্য রূপে) |
|---|---|
| (P) sin⁻¹(…) | (1) (1-x²)/(1+x²) |
| (Q) cos⁻¹(…) | (2) 2x/(1-x²) |
| (R) tan⁻¹(…) | (3) 2x/(1+x²) |
| (S) tan(2tan⁻¹x) |
89. সঠিক মিলটি হল:
- P-2, Q-4, R-1, S-3
- P-3, Q-1, R-2, S-2
- P-3, Q-1, R-4, S-2
- P-2, Q-1, R-3, S-4
উত্তর দেখুন
সঠিক উত্তর: (b) P-3, Q-1, R-2, S-2 (S-এর জন্য tan(tan⁻¹(2x/(1-x²))) = 2x/(1-x²))
| স্তম্ভ-I (মান) | স্তম্ভ-II (সম্ভাব্য কোণ) |
|---|---|
| (P) sinθ = 0 | (1) 0, π, 2π |
| (Q) cosθ = 1 | (2) π/2, 3π/2 |
| (R) tanθ = 1 | (3) π, 2π |
| (S) cosθ = -1 | (4) 0, 2π |
90. সঠিক মিলটি হল:
- P-2, Q-4, R-1, S-3
- P-1, Q-4, R-(π/4,5π/4), S-3
- P-3, Q-1, R-2, S-4
- P-2, Q-1, R-3, S-4
উত্তর দেখুন
সঠিক উত্তর: (b) P-1, Q-4, R-(π/4,5π/4), S-3
তুমি কি এবছর WBCHSE HS Exam পরিক্ষা দেবে Semister 1, 2, 3, 4 HS Suggestion পেতে চাও উচ্চ মাধ্যমিক সাজেশন এখানে পাবে