সন্ততা এবং অবকলনযোগ্যতা Continuity and Differentiability

1. f(x) = |x| অপেক্ষকটি x = 0 বিন্দুতে-

1. সন্তত কিন্তু অবকলনযোগ্য নয়
2. অবকলনযোগ্য কিন্তু সন্তত নয়
3. সন্তত এবং অবকলনযোগ্য উভয়ই
4. সন্ততও নয়, অবকলনযোগ্যও নয়

2. y = sin(x²) হলে, dy/dx = ?

1. cos(x²)
2. 2x cos(x²)
3. -2x cos(x²)
4. 2sin(x)cos(x)

3. d/dx (tan⁻¹x) = ?

1. 1 / (1 + x²)
2. -1 / (1 + x²)
3. 1 / √(1 – x²)
4. -1 / √(1 – x²)

4. যদি কোনো অপেক্ষক f(x), x=a বিন্দুতে অবকলনযোগ্য হয়, তবে সেটি ওই বিন্দুতে-

1. অবশ্যই সন্তত হবে
2. সন্তত নাও হতে পারে
3. অবশ্যই অসন্তত হবে
4. অসংজ্ঞাত হবে

5. y = e^{sin x} হলে, dy/dx = ?

1. e^{sin x}
2. cos x e^{sin x}
3. sin x e^{sin x}
4. -cos x e^{sin x}

6. যদি x = a cosθ এবং y = a sinθ হয়, তবে dy/dx = ?

1. tanθ
2. -tanθ
3. cotθ
4. -cotθ

7. y = x^x হলে, dy/dx = ?

1. x^x
2. x^x(1 + log x)
3. x^x log x
4. x · x^x-1

8. x³ + y³ = 3axy হলে, dy/dx = ?

1. (ay – x²)/(y² – ax)
2. (ay + x²)/(y² + ax)
3. (ax – y²)/(x² – ay)
4. (x² + y²)/(ax + ay)

9. y = log(sin x) হলে, d²y/dx² = ?

1. -cosec²x
2. -cot²x
3. cosec²x
4. cot²x

10. f(x) = [x] (greatest integer function) অপেক্ষকটি x = 2.5 বিন্দুতে-

1. সন্তত এবং অবকলনযোগ্য
2. সন্তত কিন্তু অবকলনযোগ্য নয়
3. অসন্তত
4. কোনোটিই নয়

11. d/dx (a^x) = ? (a>0)

1. a^x
2. a^x log a
3. x a^x-1
4. a^x / log a

12. যদি f(x) = (x+1) / (x+2) হয়, তবে f'(x) = ?

1. 1 / (x+2)²
2. -1 / (x+2)²
3. (2x+3) / (x+2)²
4. -3 / (x+2)²

13. y = sec⁻¹x হলে, dy/dx = ?

1. 1 / (1+x²)
2. 1 / (x√(x²-1))
3. -1 / (x√(x²-1))
4. 1 / √(x²-1)

14. একটি অপেক্ষক সন্তত হওয়ার জন্য প্রয়োজনীয় শর্ত কী?

1. বাম হস্তের সীমা = ডান হস্তের সীমা
2. বাম হস্তের সীমা = অপেক্ষকের মান
3. বাম হস্তের সীমা = ডান হস্তের সীমা = অপেক্ষকের মান
4. ডান হস্তের সীমা = অপেক্ষকের মান

15. যদি x = t² এবং y = t³ হয়, তবে d²y/dx² = ?

1. 3/2
2. 3/4t
3. 3t/2
4. 3/2t

16. y = sin⁻¹x + cos⁻¹x হলে dy/dx = ?

1. 0
2. 1
3. π/2
4. 2/√(1-x²)

17. f(x) = e^|x| অপেক্ষকটি x=0 বিন্দুতে-

1. সন্তত ও অবকলনযোগ্য
2. সন্তত কিন্তু অবকলনযোগ্য নয়
3. অসন্তত
4. কোনোটিই নয়

18. d/dx(log_ax) = ?

1. 1/x
2. 1/(x log a)
3. log a / x
4. x log a

19. y = x³ হলে, y₂ = ? (y₂ হল দ্বিতীয় ক্রমের অবকলন)

1. 3x²
2. 6x
3. 6
4. 3x

20. f(x) = (x²-4)/(x-2) অপেক্ষকটি x=2 বিন্দুতে সন্তত হবে যদি f(2)-এর মান কত ধরা হয়?

1. 2
2. -2
3. 4
4. অসন্তত

21. y = tan⁻¹((1-cosx)/sinx) হলে, dy/dx = ?

1. 1
2. 1/2
3. -1/2
4. -1

22. d/dx(uv) = ? (Leibnitz’s rule)

1. u’v’
2. u’v + uv’
3. u’v – uv’
4. (u’v – uv’)/v²

23. একটি অপেক্ষক f(x) কোনো বিন্দুতে সন্তত না হলে তাকে কী বলে?

1. অবকলনযোগ্য
2. অসন্তত (Discontinuous)
3. অনির্দিষ্ট
4. অসীম

24. y = (sin x)^{cos x} হলে, dy/dx নির্ণয়ে কোন পদ্ধতিটি সবচেয়ে সুবিধাজনক?

1. শৃঙ্খল নিয়ম
2. ভাগফলের নিয়ম
3. লগারিদমিক অবকলন
4. অব্যক্ত অপেক্ষকের অবকলন

25. যদি f'(a) -এর অস্তিত্ব থাকে, তবে lim_h→0 (f(a+h)-f(a-h))/2h = ?

1. f(a)
2. f'(a)
3. 2f'(a)
4. 0

26. x=a cos³t, y=a sin³t হলে, dy/dx = ?

1. -tant
2. tant
3. -cott
4. cott

27. d/dx(sin⁻¹(x)+sin⁻¹(√(1-x²))) = ? (0

1. 0
2. 1
3. 2
4. π/2

28. f(x)=x³-3x। f'(x)=0 হলে x-এর মান কত?

1. ±1
2. ±√3
3. 0
4. ±3

29. কোনো অপেক্ষক অবকলনযোগ্য হওয়ার জন্য বাম হস্তের অবকলন (LHD) এবং ডান হস্তের অবকলনের (RHD) মধ্যে সম্পর্ক কী?

1. LHD > RHD
2. LHD < RHD
3. LHD = RHD (এবং সসীম)
4. LHD = -RHD

30. y = log(log x) হলে, dy/dx = ?

1. 1/log x
2. 1/x
3. 1/(x log x)
4. log x / x

31. y = e^ax হলে, y_n (n-তম অবকলন) = ?

1. ae^ax
2. aⁿe^ax
3. ne^ax
4. e^ax

32. x²+y²=25 হলে, dy/dx = ?

1. x/y
2. -x/y
3. y/x
4. -y/x

33. f(x)=x|x| অপেক্ষকটি x=0 বিন্দুতে-

1. সন্তত ও অবকলনযোগ্য
2. সন্তত কিন্তু অবকলনযোগ্য নয়
3. অসন্তত
4. কোনোটিই নয়

34. y = √(sin x + √(sin x + …∞)) হলে, dy/dx = ?

1. cosx / (2y-1)
2. sinx / (2y-1)
3. cosx / (1-2y)
4. sinx / (1-2y)

35. f(x) = {x, যখন x মূলদ; -x, যখন x অমূলদ}। অপেক্ষকটি কোন বিন্দুতে সন্তত?

1. x=0
2. x=1
3. সকল বিন্দুতে
4. কোনো বিন্দুতেই নয়

36. d/dx(log(secx + tanx)) = ?

1. cosx
2. secx
3. tanx
4. sinx

37. y=x² হলে, y₂ = ?

1. 2x
2. 2
3. 0
4. x

38. d/dx(sin⁻¹(cosx)) = ?

1. 1
2. -1
3. 0
4. 1/√(1-cos²x)

39. সকল বহুপদী অপেক্ষক (Polynomial function)-

1. সর্বত্র সন্তত ও অবকলনযোগ্য
2. সর্বত্র সন্তত কিন্তু অবকলনযোগ্য নয়
3. সর্বত্র অসন্তত
4. কোনোটিই নয়

40. y=x^{sin x} হলে, dy/dx = ?

1. x^{sin x} [cosx logx + sinx/x]
2. sin x · x^{sin x – 1}
3. x^{sin x} cosx logx
4. কোনোটিই নয়

41. যদি y=f(u) এবং u=g(x) হয়, তবে dy/dx = ?

1. (dy/du) + (du/dx)
2. (dy/du) × (du/dx)
3. (dy/du) / (du/dx)
4. (du/dx) / (dy/du)

42. y=sec(tan⁻¹x) হলে, dy/dx = ?

1. x/√(1+x²)
2. 1/√(1+x²)
3. x/(1+x²)
4. 1/(1+x²)

43. f(x) = kx+1, x≤5; f(x)=3x-5, x>5। x=5 বিন্দুতে সন্তত হলে, k = ?

1. 9/5
2. 5/9
3. 2
4. 3

44. y=e^-x হলে, y₂ = ?

1. -e^-x
2. e^-x
3. e^x
4. -e^x

45. কোন অপেক্ষকটি তার ক্ষেত্রে (domain) সর্বত্র অবকলনযোগ্য?

1. |x-1|
2. [x]
3. log|x|
4. e^x

46. y=sin(x°) হলে dy/dx = ?

1. cos(x°)
2. (π/180)cos(x°)
3. (180/π)cos(x°)
4. -cos(x°)

47. x=y log(xy) হলে, dy/dx = ?

1. (x-y)/(x(log(xy)+1))
2. y(x-y)/(x(y+1))
3. y(x-y)/x
4. কোনোটিই নয়

48. d/dx(5³) = ?

1. 3 × 5²
2. 5³ log 5
3. 0
4. 1

49. y = sin x + cos x হলে, y”(0) = ?

1. 0
2. 1
3. -1
4. √2

50. সন্তত হওয়ার ধারণাটি লেখচিত্রের কোন বৈশিষ্ট্যের সাথে যুক্ত?

1. মসৃণতা (Smoothness)
2. অবিচ্ছিন্নতা (Unbroken curve)
3. প্রতিসাম্য (Symmetry)
4. পর্যায়ক্রম (Periodicity)

51. অবকলনযোগ্যতা লেখচিত্রের কোন বৈশিষ্ট্যের সাথে যুক্ত?

1. মসৃণতা
2. অবিচ্ছিন্নতা
3. প্রতিসাম্য
4. পর্যায়ক্রম

52. d/dx(x) = ?

1. x
2. 1
3. 0
4. x²

53. f(x) = 1/x, x≠0। x=0 বিন্দুতে অপেক্ষকটির-

1. অপসারণযোগ্য অসন্ততি
2. প্রথম প্রকারের অসন্ততি
3. দ্বিতীয় প্রকারের অসীম অসন্ততি
4. সন্তত

54. যদি x=sin t, y=cos t হয়, তবে dy/dx = ?

1. tant
2. -tant
3. cott
4. -cott

55. y = sin⁻¹(2x/(1+x²)) হলে, dy/dx = ? (|x|<1)

1. 2/(1+x²)
2. 1/(1+x²)
3. -2/(1+x²)
4. -1/(1+x²)

56. log(x+y) = xy হলে, dy/dx = ?

1. y(1-x)/(x(y-1))
2. y(x-1)/(x(1-y))
3. y(1-x)/x
4. x(y-1)/y

57. একটি অপেক্ষকের দ্বিতীয় ক্রমের অবকলন d²y/dx² লেখার অন্য উপায় কোনটি?

1. (dy/dx)²
2. y”
3. f”(x)
4. (b) এবং (c) উভয়ই

58. d/dx(sin(cos x)) = ?

1. cos(cos x)
2. -sin x cos(cos x)
3. sin(sin x)
4. cos(sin x)

59. y = f(x) অপেক্ষকের লেখচিত্রের (a, f(a)) বিন্দুতে স্পর্শকের নতি কী?

1. f(a)
2. f'(a)
3. f”(a)
4. ∫f(x)dx

60. d/dx(x²) x=2 বিন্দুতে মান কত?

1. 2
2. 4
3. 8
4. 0

61. lim_x→π/2 f(x)-এর মান কত হতে হবে?

1. k
2. π
3. 3
4. 0

62. lim_x→π/2 k cosx/(π-2x) নির্ণয় করতে কোন পদ্ধতি ব্যবহার করা সুবিধাজনক?

1. প্রতিস্থাপন
2. L’Hopital-এর নিয়ম
3. সূত্রের প্রয়োগ
4. কোনোটিই নয়

63. L’Hopital-এর নিয়ম প্রয়োগ করলে, সীমার মান k-এর সাপেক্ষে কত হবে?

1. k
2. k/2
3. -k/2
4. 2k

64. k-এর মান কত?

1. 3
2. 6
3. 3/2
4. 2/3

65. যদি f(π/2)=5 হত, তবে k-এর মান কত হত?

1. 5
2. 10
3. 2.5
4. 5/2

66. এখানে বাইরের অপেক্ষক (outermost function) কোনটি?

1. log(u)
2. sin(u)
3. e^x
4. x

67. d/dx(log(sin(e^x))) এর প্রথম ধাপটি কী হবে?

1. 1/sin(e^x) × d/dx(sin(e^x))
2. cos(e^x)
3. e^x
4. 1/x

68. d/dx(sin(e^x)) = ?

1. cos(e^x)
2. e^xcos(e^x)
3. -e^xcos(e^x)
4. e^x

69. y = log(sin(e^x))-এর সম্পূর্ণ অবকলন dy/dx কী হবে?

1. e^x cot(e^x)
2. e^x tan(e^x)
3. cot(e^x)
4. e^x/sin(e^x)

70. যদি y = sin(log(e^x)) হত, তবে dy/dx কত?

1. cosx
2. -cosx
3. 1
4. 0

71. x²+y²=a² সমীকরণের dy/dx কত?

1. x/y
2. -x/y
3. y/x
4. -y/x

72. sin(y) = x sin(a+y) হলে, dy/dx = ?

1. sin²(a+y)/sin(a)
2. sin(a)/sin²(a+y)
3. sin(a+y)/sin(a)
4. sin(a)/sin(a+y)

73. x^y = y^x হলে, dy/dx = ?

1. y(x log y – y) / x(y log x – x)
2. y/x
3. x/y
4. (log y – y/x) / (log x – x/y)

74. e^x+y = xy হলে, dy/dx = ?

1. y(1-x)/(x(y-1))
2. y(x-1)/(x(1-y))
3. y/x
4. x/y

75. y=√(x+y) হলে, dy/dx = ?

1. 1/(2y-1)
2. 1/(1-2y)
3. y/(2x-1)
4. x/(1-2y)

76. সঠিক মিলটি হল:

1. P-1, Q-2, R-3, S-4
2. P-2, Q-4, R-1, S-3
3. P-2, Q-1, R-4, S-3
4. P-4, Q-3, R-2, S-1

77. সঠিক মিলটি হল:

1. P-3, Q-4, R-1, S-2
2. P-2, Q-3, R-1, S-4
3. P-1, Q-2, R-3, S-4
4. P-4, Q-1, R-3, S-2

78. সঠিক মিলটি হল:

1. P-2, Q-1, R-1, S-3
2. P-1, Q-2, R-3, S-1
3. P-2, Q-3, R-1, S-4
4. P-3, Q-1, R-2, S-4

79. সঠিক মিলটি হল:

1. P-4, Q-3, R-1, S-2
2. P-1, Q-3, R-2, S-4
3. P-3, Q-1, R-2, S-4
4. P-2, Q-1, R-4, S-3

80. সঠিক মিলটি হল:

1. P-1, Q-3, R-4, S-2
2. P-4, Q-2, R-1, S-3
3. P-4, Q-1, R-2, S-3
4. P-2, Q-1, R-4, S-3

81. সঠিক মিলটি হল:

1. P-2, Q-4, R-1, S-3
2. P-1, Q-3, R-2, S-4
3. P-3, Q-1, R-2, S-4
4. P-2, Q-1, R-3, S-4

82. সঠিক মিলটি হল:

1. P-2, Q-1, R-4, S-3
2. P-2-ii, Q-1-i, R-3-iii, S-4-iv
3. P-3, Q-1, R-2, S-4
4. P-2, Q-1, R-3, S-4

83. সঠিক মিলটি হল:

1. P-4, Q-3, R-2, S-1
2. P-1, Q-3, R-2, S-4
3. P-3, Q-1, R-2, S-4
4. P-2, Q-1, R-3, S-4

84. সঠিক মিলটি হল:

1. P-1, Q-2, R-3, S-4
2. P-1, Q-3, R-2, S-4
3. P-3, Q-1, R-2, S-4
4. P-2, Q-1, R-3, S-4

85. সঠিক মিলটি হল:

1. P-2, Q-1, R-3, S-4
2. P-1, Q-3, R-2, S-4
3. P-3, Q-1, R-2, S-4
4. P-2, Q-1, R-4, S-3

86. সঠিক মিলটি হল:

1. P-2, Q-4, R-1, S-3
2. P-1, Q-3, R-2, S-4

87. সঠিক মিলটি হল:

1. P-4, Q-1, R-2, S-3
2. P-1, Q-3, R-2, S-4

88. সঠিক মিলটি হল:

1. P-2, Q-1, R-4, S-3
2. P-1, Q-3, R-2, S-4

89. সঠিক মিলটি হল:

1. P-1-i, Q-2-i, R-3-ii, S-4-ii
2. P-1, Q-3, R-2, S-4

90. সঠিক মিলটি হল:

1. P-2, Q-1, R-4, S-5
2. P-1, Q-3, R-2, S-4