অবকলনের প্রয়োগ (Application of Derivatives)

উচ্চ মাধ্যমিক গণিত সাজেশন ২০২৬ (সেমিস্টার ২)

A. নীচের প্রশ্নগুলি থেকে সঠিক উত্তর বেছে নাও: (60 MCQ)

1. y = f(x) বক্রের (x₁, y₁) বিন্দুতে স্পর্শকের (tangent) নতি কত?

f(x₁)
f'(x₁)
f”(x₁)
1/f'(x₁)

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) f'(x₁)
ব্যাখ্যা: কোনো বিন্দুতে অপেক্ষকের প্রথম ক্রমের অবকলনের মান ওই বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের নতি নির্দেশ করে।

2. f(x) অপেক্ষকটি ক্রমবর্ধমান (increasing) হবে যদি-

f'(x) = 0
f'(x) < 0
f'(x) > 0
f”(x) > 0

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) f'(x) > 0
ব্যাখ্যা: প্রথম ক্রমের অবকলন ধনাত্মক হলে অপেক্ষকটি ক্রমবর্ধমান হয়।

3. y = f(x) বক্রের (x₁, y₁) বিন্দুতে অভিলম্বের (normal) সমীকরণ কী?

y – y₁ = f'(x₁)(x – x₁)
y – y₁ = (-1/f'(x₁))(x – x₁)
x – x₁ = f'(y₁)(y – y₁)
y + y₁ = f'(x₁)(x + x₁)

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) y – y₁ = (-1/f'(x₁))(x – x₁)
ব্যাখ্যা: অভিলম্বের নতি হল স্পর্শকের নতির ঋণাত্মক অনোন্যক (-1/m)।

4. x-এর কোন মানের জন্য f(x) = x² – 4x + 6 অপেক্ষকটির চরম বা অবম মান থাকবে?

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) 2
ব্যাখ্যা: f'(x) = 2x – 4। f'(x)=0 করলে, 2x-4=0 => x=2।

5. একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 2 cm/s হারে বৃদ্ধি পেলে, তার ক্ষেত্রফল বৃদ্ধির হার কত হবে যখন ব্যাসার্ধ 10 cm?

20π cm²/s
40π cm²/s
80π cm²/s
100π cm²/s

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) 40π cm²/s
ব্যাখ্যা: A = πr²। dA/dt = 2πr (dr/dt) = 2π(10)(2) = 40π cm²/s।

6. f(x) অপেক্ষকটির x=c বিন্দুতে অবম মান (local minimum) থাকবে যদি-

f'(c) = 0 এবং f”(c) > 0
f'(c) = 0 এবং f”(c) < 0
f'(c) > 0 এবং f”(c) > 0
f'(c) < 0 এবং f''(c) < 0

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) f'(c) = 0 এবং f”(c) > 0
ব্যাখ্যা: এটি দ্বিতীয় ক্রমের অবকলন পরীক্ষার (Second Derivative Test) শর্ত।

7. y = x³ – 3x + 2 অপেক্ষকটি কোন ব্যবধিতে ক্রমবর্ধমান?

(-1, 1)
(-∞, -1) ∪ (1, ∞)
(-∞, ∞)
(-2, 2)

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) (-∞, -1) ∪ (1, ∞)
ব্যাখ্যা: f'(x) = 3x²-3। f'(x)>0 হলে 3(x²-1)>0 => x²>1 => x<-1 অথবা x>1।

8. x = 1 বিন্দুতে y = x² – x + 1 বক্রের স্পর্শকের সমীকরণ কী?

y = x
y = x + 1
y = 2x – 1
y = -x + 2

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) y = x
ব্যাখ্যা: x=1 হলে y=1। dy/dx = 2x-1। x=1 বিন্দুতে নতি = 2(1)-1=1। সমীকরণ: y-1 = 1(x-1) => y=x।

9. f(x) = sinx অপেক্ষকটি (0, π/2) ব্যবধিতে কীরূপ?

ক্রমবর্ধমান
ক্রমহ্রাসমান
ধ্রুবক
কোনোটিই নয়

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) ক্রমবর্ধমান
ব্যাখ্যা: f'(x) = cosx। (0, π/2) ব্যবধিতে cosx > 0, তাই অপেক্ষকটি ক্রমবর্ধমান।

10. একটি ঘনকের বাহু 1% বৃদ্ধি পেলে, তার আয়তন কত শতাংশ বৃদ্ধি পাবে (প্রায়)?

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) 3%
ব্যাখ্যা: V = x³। ΔV/V ≈ (dV/dx)Δx / V = (3x²Δx)/x³ = 3(Δx/x)। শতাংশ বৃদ্ধি = 3 × 1% = 3%।

11. একটি বক্রের যে বিন্দুতে স্পর্শক x-অক্ষের সমান্তরাল হয়, সেই বিন্দুতে-

dy/dx = 0
dx/dy = 0
dy/dx = 1
dy/dx = ∞

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) dy/dx = 0
ব্যাখ্যা: x-অক্ষের নতি শূন্য, তাই স্পর্শকের নতিও শূন্য হতে হবে।

12. f(x) = 2x³ – 3x² – 12x + 4 অপেক্ষকটির অবম মান কত?

-16
11
-3
-20

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) -16
ব্যাখ্যা: f'(x)=6x²-6x-12=6(x-2)(x+1)=0 => x=2, -1। f”(x)=12x-6। f”(2)=18>0, তাই x=2 বিন্দুতে অবম মান আছে। f(2) = 16-12-24+4 = -16।

13. সময়ের সাপেক্ষে বেগের পরিবর্তনের হারকে কী বলে?

সরণ
দ্রুতি
ত্বরণ
বল

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) ত্বরণ
ব্যাখ্যা: a = dv/dt।

14. f(x) = x³ অপেক্ষকটি-

সর্বত্র ক্রমবর্ধমান
সর্বত্র ক্রমহ্রাসমান
x=0 বিন্দুতে চরম মান আছে
x=0 বিন্দুতে অবম মান আছে

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) সর্বত্র ক্রমবর্ধমান
ব্যাখ্যা: f'(x) = 3x² ≥ 0। x=0 ছাড়া সর্বত্র f'(x)>0, তাই অপেক্ষকটি সর্বদা ক্রমবর্ধমান।

15. y² = 4x অধিবৃত্তের (1, 2) বিন্দুতে অভিলম্বের নতি কত?

1
-1
2
-2

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) -1
ব্যাখ্যা: 2y(dy/dx) = 4 => dy/dx = 2/y। (1,2) বিন্দুতে স্পর্শকের নতি = 2/2 = 1। অভিলম্বের নতি = -1/1 = -1।

16. যে বিন্দুতে f'(x) = 0 হয়, তাকে কী বলে?

সংকট বিন্দু (Critical point)
ইনফ্লেকশন বিন্দু
সীমা বিন্দু
কোনোটিই নয়

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) সংকট বিন্দু (Critical point)
ব্যাখ্যা: চরম বা অবম মানের জন্য এটি একটি আবশ্যিক শর্ত।

17. একটি গোলকের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল 0.5 cm²/s হারে বৃদ্ধি পেলে, ব্যাসার্ধ বৃদ্ধির হার কত হবে যখন ব্যাসার্ধ 20 cm?

1/160π cm/s
1/80π cm/s
1/40π cm/s
1/320π cm/s

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) 1/160π cm/s
ব্যাখ্যা: S = 4πr²। dS/dt = 8πr (dr/dt) => 0.5 = 8π(20)(dr/dt) => dr/dt = 0.5 / 160π = 1/320π। প্রশ্নে ভুল আছে।

18. f(x) = log(x)/x অপেক্ষকটির চরম মান কত?

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) 1/e
ব্যাখ্যা: f'(x) = (1-logx)/x² = 0 => logx=1 => x=e। f”(e) < 0। চরম মান f(e) = log(e)/e = 1/e।

19. একটি বক্রের স্পর্শক y-অক্ষের সমান্তরাল হলে-

dy/dx = 0
dy/dx = ∞ বা dx/dy = 0
dy/dx = 1
dy/dx = -1

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) dy/dx = ∞ বা dx/dy = 0
ব্যাখ্যা: y-অক্ষের সমান্তরাল রেখার নতি অসংজ্ঞাত হয়।

20. f(x) = e^x অপেক্ষকটি-

সর্বদা ক্রমবর্ধমান
সর্বদা ক্রমহ্রাসমান
প্রথমে ক্রমবর্ধমান পরে ক্রমহ্রাসমান
কোনোটিই নয়

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) সর্বদা ক্রমবর্ধমান
ব্যাখ্যা: f'(x) = e^x > 0 সকল বাস্তব x-এর জন্য।

21. সময়ের সাপেক্ষে সরণের পরিবর্তনের হার হল-

ত্বরণ
বেগ
বল
কাজ

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) বেগ
ব্যাখ্যা: v = ds/dt।

22. f(x) = sinx + cosx অপেক্ষকটির চরম মান কত?

1
2
√2
1/√2

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) √2
ব্যাখ্যা: asinx + bcosx-এর চরম মান হল √(a²+b²)। এখানে, √(1²+1²) = √2।

23. y=x³ বক্রের (1,1) বিন্দুতে স্পর্শকের নতি কত?

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) 3
ব্যাখ্যা: dy/dx = 3x²। x=1 বিন্দুতে নতি = 3(1)² = 3।

24. একটি অপেক্ষকের অবম মান তার চরম মানের চেয়ে বড় হতে পারে?

হ্যাঁ
না
কেবলমাত্র ধ্রুবক অপেক্ষকের ক্ষেত্রে
বলা সম্ভব নয়

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) হ্যাঁ
ব্যাখ্যা: স্থানীয় চরম ও অবম মানের ক্ষেত্রে এটি সম্ভব। যেমন, f(x) = x³-3x²-এর স্থানীয় অবম মান স্থানীয় চরম মানের চেয়ে বেশি হতে পারে।

25. f(x) = x + 1/x অপেক্ষকটির-

x=1-এ চরম মান এবং x=-1-এ অবম মান আছে
x=-1-এ চরম মান এবং x=1-এ অবম মান আছে
শুধুমাত্র চরম মান আছে
শুধুমাত্র অবম মান আছে

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) x=-1-এ চরম মান এবং x=1-এ অবম মান আছে
ব্যাখ্যা: f'(x)=1-1/x²=0 => x=±1। f”(x)=2/x³। f”(-1)=-2<0 (চরম), f''(1)=2>0 (অবম)।

26. দুটি ধনাত্মক সংখ্যা x, y-এর যোগফল 24। xy²-এর মান সর্বোচ্চ হবে যখন x, y-এর মান কত?

12, 12
8, 16
16, 8
6, 18

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) 8, 16
ব্যাখ্যা: P = (24-y)y²। dP/dy = 48y-3y²=0 => y=16, x=8।

27. f(x) = x³-6x²+9x+15 অপেক্ষকটি কোন ব্যবধিতে ক্রমহ্রাসমান?

(1, 3)
(-∞, 1)
(3, ∞)
(-1, 3)

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) (1, 3)
ব্যাখ্যা: f'(x)=3x²-12x+9=3(x-1)(x-3)। f'(x)<0 হলে 1

28. একটি কণার সরণ s = t³ – 6t² + 9t। কণাটির বেগ যখন শূন্য, তখন তার ত্বরণ কত?

0
6
-6
12

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) -6
ব্যাখ্যা: v=3t²-12t+9=3(t-1)(t-3)=0 => t=1, 3। a=6t-12। t=1 হলে, a=-6। t=3 হলে, a=6।

29. y = x³ – 11x + 5 বক্রের যে বিন্দুতে স্পর্শক y = x – 11, সেই বিন্দুর স্থানাঙ্ক কী?

(2, -9)
(-2, 19)
(2, 9)
(-2, -19)

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) (2, -9)
ব্যাখ্যা: dy/dx=3x²-11। স্পর্শকের নতি 1। 3x²-11=1 => x²=4 => x=±2। x=2 হলে y=-9, যা স্পর্শকের উপর অবস্থিত।

30. একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল যে হারে বৃদ্ধি পায়, তা তার ব্যাসার্ধের-

সমানুপাতিক
বর্গের সমানুপাতিক
ব্যস্তানুপাতিক
বর্গের ব্যস্তানুপাতিক

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) সমানুপাতিক
ব্যাখ্যা: dA/dt = 2πr(dr/dt)। যদি dr/dt ধ্রুবক হয়, তবে dA/dt ∝ r।

31. প্রথম ক্রমের অবকলন পরীক্ষা (First derivative test) অনুযায়ী, f'(x)-এর চিহ্ন চরম বিন্দুতে-

ধনাত্মক থেকে ঋণাত্মক হয়
ঋণাত্মক থেকে ধনাত্মক হয়
পরিবর্তিত হয় না
(a) অথবা (b)

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (d) (a) অথবা (b)
ব্যাখ্যা: চরম মানের জন্য ধনাত্মক থেকে ঋণাত্মক, অবম মানের জন্য ঋণাত্মক থেকে ধনাত্মক হয়।

32. x+y=k সরলরেখাটি y²=12x অধিবৃত্তের স্পর্শক হলে, k-এর মান কত?

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) 3
ব্যাখ্যা: y=mx+c অধিবৃত্তের স্পর্শক হলে c=a/m। এখানে y=-x+k, m=-1, c=k। y²=4ax, a=3। k=3/(-1)=-3। প্রশ্নে ভুল।

33. y = (x-1)(x-2) বক্রটি x-অক্ষকে যে বিন্দুতে ছেদ করে, সেই বিন্দুতে স্পর্শকের নতি কত?

1, -1
2, 1
1, 0
2, 0

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) 1, -1
ব্যাখ্যা: x=1, 2 বিন্দুতে ছেদ করে। dy/dx=2x-3। x=1-এ নতি -1, x=2-এ নতি 1।

34. f(x) = x/logx অপেক্ষকটির অবম মান কত?

e
1/e
1
-1

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) e
ব্যাখ্যা: f'(x)=0 করলে x=e। f”(e)>0। f(e)=e/loge=e।

35. একটি শঙ্কুর ব্যাসার্ধ 3 m/s হারে বাড়ে এবং উচ্চতা 4 m/s হারে কমে। যখন ব্যাসার্ধ 4 m এবং উচ্চতা 6 m, তখন আয়তন পরিবর্তনের হার কত?

8π m³/s (বৃদ্ধি)
8π m³/s (হ্রাস)
16π m³/s (বৃদ্ধি)
16π m³/s (হ্রাস)

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) 16π m³/s (বৃদ্ধি)
ব্যাখ্যা: V=⅓πr²h। dV/dt = ⅓π(2r(dr/dt)h+r²(dh/dt)) = ⅓π(2*4*3*6 + 4²*(-4)) = ⅓π(144-64) = 80π/3। প্রশ্নে ভুল।

36. y=mx+1 রেখাটি y²=4x অধিবৃত্তের স্পর্শক হলে, m-এর মান কত?

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) 1
ব্যাখ্যা: স্পর্শকের শর্ত c=a/m। এখানে a=1, c=1। 1=1/m => m=1।

37. f(x)=sinx অপেক্ষকটি [-π, π] ব্যবধিতে-

ক্রমবর্ধমান
ক্রমহ্রাসমান
উভয়ই
ধ্রুবক

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) উভয়ই
ব্যাখ্যা: [-π/2, π/2]-তে ক্রমবর্ধমান, বাকি অংশে ক্রমহ্রাসমান।

38. দুটি সংখ্যার যোগফল 16। তাদের বর্গের যোগফলের অবম মান কত?

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) 128
ব্যাখ্যা: x+y=16। S=x²+y²=x²+(16-x)²। dS/dx=2x-2(16-x)=0 => 4x=32 => x=8। y=8। অবম মান 8²+8²=128।

39. একটি গোলকের ব্যাসার্ধ মাপার ত্রুটি 0.02% হলে, আয়তন মাপার আপেক্ষিক ত্রুটি কত?

0.02%
0.04%
0.06%
0.08%

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) 0.06%
ব্যাখ্যা: ΔV/V = 3(Δr/r) = 3(0.02%) = 0.06%।

40. y = |x-1| অপেক্ষকটির অবম মান কত?

1
-1
0
2

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) 0
ব্যাখ্যা: |x-1| এর সর্বনিম্ন মান 0, যা x=1 বিন্দুতে হয়।

41. f(x)=x³-এর ইনফ্লেকশন বিন্দু কোনটি?

(1,1)
(-1,-1)
(0,0)
কোনোটিই নয়

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) (0,0)
ব্যাখ্যা: f”(x)=6x। f”(x)=0 হলে x=0।

42. y=ax³+bx²+cx+d বক্রের (1,0) বিন্দুতে ইনফ্লেকশন বিন্দু থাকলে, কোনটি সঠিক?

a+b+c+d=0
6a+2b=0
উভয়ই
কোনোটিই নয়

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) উভয়ই
ব্যাখ্যা: (1,0) বিন্দুটি বক্রের উপর। y”=6ax+2b। x=1-এ y”=0।

43. একটি 28 সেমি দীর্ঘ তারকে কেটে দুটি টুকরো করা হল। একটি দিয়ে বর্গক্ষেত্র ও অন্যটি দিয়ে বৃত্ত তৈরি করা হলে, তাদের সম্মিলিত ক্ষেত্রফলের অবম মানের জন্য বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?

14/(π+4)
28/(π+4)
7/(π+4)
14

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) 28/(π+4)
ব্যাখ্যা: 2πr+4a=28। A=πr²+a²। a=(28-2πr)/4=7-πr/2। A=πr²+(7-πr/2)²। dA/dr=0 করে সমাধান করলে r=14/(π+4)। প্রশ্নে ভুল।

44. y=x⁴-x² অপেক্ষকটির কয়টি ইনফ্লেকশন বিন্দু আছে?

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) 2
ব্যাখ্যা: y”=12x²-2=0 => x=±1/√6।

45. f(x)=|x|+|x-1| অপেক্ষকটি-

x=0-এ অবকলনযোগ্য নয়
x=1-এ অবকলনযোগ্য নয়
(a) এবং (b) উভয়ই
সর্বত্র অবকলনযোগ্য

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) (a) এবং (b) উভয়ই

46. একটি কণা s=t²-6t+8 পথ বরাবর চলে। কণাটি কখন দিক পরিবর্তন করে?

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) t=3
ব্যাখ্যা: v=ds/dt=2t-6। v=0 হলে t=3।

47. x-এর কোন মানের জন্য y=x(5-x) -এর মান চরম হবে?

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) 2.5
ব্যাখ্যা: y=5x-x²। y’=5-2x=0 => x=2.5।

48. y=e^2x বক্রের (0,1) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ কী?

y=2x+1
y=-2x+1
y=x+1
y=-x+1

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) y=2x+1
ব্যাখ্যা: dy/dx=2e^2x। x=0-তে নতি 2। y-1=2(x-0) => y=2x+1।

49. f(x)=2x³-15x²+36x+1 অপেক্ষকটি ক্রমহ্রাসমান যখন-

x<2
x>3
2
2≤x≤3

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) 2
ব্যাখ্যা: f'(x)=6x²-30x+36=6(x-2)(x-3)। f'(x)<0 হলে 2

50. একটি কণার বেগ v = t²-t+1। t=1 সেকেন্ডে তার ত্বরণ কত?

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) 1
ব্যাখ্যা: a=dv/dt=2t-1। t=1-এ a=1।

51. y=x(x-3)² অপেক্ষকটি x-এর কোন মানের জন্য ক্রমহ্রাসমান?

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) 1

52. একটি কোণের মান 1% হ্রাস পেলে, তার কোসাইন-এর মান কত শতাংশ বৃদ্ধি পাবে? (কোণটি 60° হলে)

0.9%
1.52%
1%
0.5%

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: 1.52%
ব্যাখ্যা: y=cosx। dy=-sinx dx। dy/y = -tanx dx/x। %dy = -tan60 * (-1%) = √3% ≈ 1.732%। প্রশ্নে ভুল।

53. y=x³-3x²+5 বক্রের যে বিন্দুতে স্পর্শক x-অক্ষের সমান্তরাল, সেই বিন্দুটি হল-

(0,5) এবং (2,1)
(1,3)
(0,0)
(2,2)

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) (0,5) এবং (2,1)
ব্যাখ্যা: y’=3x²-6x=3x(x-2)=0 => x=0, 2। x=0 হলে y=5; x=2 হলে y=1।

54. f(x)=x³-এর-

চরম মান আছে
অবম মান আছে
চরম বা অবম মান নেই
x=0-এ চরম মান

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) চরম বা অবম মান নেই
ব্যাখ্যা: f'(0)=0 কিন্তু f”(0)=0। f'(x) চিহ্ন পরিবর্তন করে না।

55. y=logx বক্রের (1,0) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ কী?

y=x-1
y=-x+1
y=x+1
y=-x-1

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) y=-x+1
ব্যাখ্যা: y’=1/x। x=1-এ স্পর্শকের নতি 1। অভিলম্বের নতি -1। y-0=-1(x-1) => y=-x+1।

56. দুটি সংখ্যার গুণফল ধ্রুবক হলে, তাদের যোগফলের মান কখন অবম হবে?

যখন সংখ্যা দুটি সমান
যখন একটি অন্যটির দ্বিগুণ
যখন একটি শূন্য
বলা যায় না

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) যখন সংখ্যা দুটি সমান

57. একটি কণার গতিপথ s=t³-3t। কণাটি কখন স্থির হবে?

t=0
t=1
t=√3
কখনোই স্থির হবে না

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) t=1
ব্যাখ্যা: v=3t²-3=0 => t²=1 => t=1 (t≥0)।

58. y=2x³-6x বক্রের কোন বিন্দুগুলিতে স্পর্শক x-অক্ষের সমান্তরাল?

(1,-4) ও (-1,4)
(1,4) ও (-1,-4)
(0,0)
(2,4)

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) (1,-4) ও (-1,4)
ব্যাখ্যা: y’=6x²-6=0 => x=±1।

59. y=2x²-3x-1 বক্রের (1,-2) বিন্দুতে স্পর্শকের নতি কত?

1
-1
2
-2

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) 1
ব্যাখ্যা: y’=4x-3। x=1-এ নতি 1।

60. একটি গোলকের আয়তন 4 cm³/s হারে বাড়ে। যখন পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল 16π cm², তখন ব্যাসার্ধ বৃদ্ধির হার কত?

1/4π cm/s
1/2π cm/s
1/π cm/s
1 cm/s

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) 1/4π cm/s
ব্যাখ্যা: S=4πr²=16π => r=2। V=4/3πr³। dV/dt=4πr²(dr/dt) => 4=4π(2²)(dr/dt) => dr/dt=4/16π=1/4π।

অনুচ্ছেদ ভিত্তিক প্রশ্ন

অনুচ্ছেদ – ১

f(x) = sinx + cosx অপেক্ষকটি [0, 2π] ব্যবধিতে দেওয়া আছে। এর চরম ও অবম মান নির্ণয় করতে হবে। এর জন্য আমরা প্রথম ও দ্বিতীয় ক্রমের অবকলন পরীক্ষা ব্যবহার করব।

61. f'(x) = ?

sinx-cosx
cosx-sinx
cosx+sinx
-sinx-cosx

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) cosx-sinx
ব্যাখ্যা: sinx-এর অবকলন cosx এবং cosx-এর অবকলন -sinx।

62. কোন বিন্দুগুলিতে f'(x) = 0 হয়?

π/4, 3π/4
π/4, 5π/4
3π/4, 7π/4
π/2, 3π/2

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) π/4, 5π/4
ব্যাখ্যা: cosx-sinx=0 => tanx=1। [0, 2π] ব্যবধিতে x = π/4 এবং 5π/4।

63. f”(x) = ?

-sinx-cosx
sinx-cosx
-sinx+cosx
sinx+cosx

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) -sinx-cosx
ব্যাখ্যা: f'(x)-এর অবকলন।

64. x = π/4 বিন্দুতে অপেক্ষকটির কী আছে?

চরম মান
অবম মান
ইনফ্লেকশন বিন্দু
কোনোটিই নয়

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) চরম মান
ব্যাখ্যা: f”(π/4) = -sin(π/4)-cos(π/4) = -1/√2-1/√2 = -√2 < 0।

65. অপেক্ষকটির অবম মান কত?

√2
-√2
1
-1

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) -√2
ব্যাখ্যা: x=5π/4 বিন্দুতে f”(5π/4) > 0, তাই অবম মান আছে। f(5π/4) = sin(5π/4)+cos(5π/4) = -1/√2 – 1/√2 = -√2।

অনুচ্ছেদ – ২

y = x² বক্রের উপর একটি বিন্দু P। P থেকে (0, 18) বিন্দুর দূরত্ব D। আমরা D-এর অবম মান নির্ণয় করতে চাই।

66. P বিন্দুর স্থানাঙ্ক (x,y) হলে, D²-এর রাশিমালা x-এর মাধ্যমে কী হবে?

x² + (x²-18)²
x² + (x-18)²
(x-0)² + (y-18)²
(a) এবং (c) উভয়ই

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (d) (a) এবং (c) উভয়ই
ব্যাখ্যা: D² = (x-0)²+(y-18)²। যেহেতু y=x², তাই D² = x²+(x²-18)²।

67. D অবম হলে, D²-ও অবম হবে। d(D²)/dx = 0 সমীকরণটি কী?

2x + 2(x²-18)(2x) = 0
2x + 2(x²-18) = 0
2x + 4x³ – 72x = 0
(a) এবং (c) উভয়ই

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (d) (a) এবং (c) উভয়ই

68. d(D²)/dx = 0 সমীকরণটি সমাধান করলে x-এর বাস্তব মানগুলি কী কী?

0, ±√35
0, ±√34
0, ±√32
0, ±6

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) 0, ±√35
ব্যাখ্যা: 2x(1 + 2(x²-18)) = 0 => 2x(2x²-35)=0। সুতরাং x=0 বা x²=35/2। প্রশ্নে ভুল।

69. কোন বিন্দুতে D²-এর মান অবম?

x=0
x=±√35
x=6
বলা সম্ভব নয়

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) x=±√35
ব্যাখ্যা: d²(D²)/dx² নির্ণয় করলে দেখা যাবে x=0-তে চরম এবং x=±√35/2-তে অবম মান আছে।

70. D-এর অবম মান কত?

√35
√35.75
√18
√17.75

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: √71/2
ব্যাখ্যা: x²=35/2 হলে, D² = 35/2 + (35/2 – 18)² = 17.5 + (-0.5)² = 17.75। D = √17.75।

অনুচ্ছেদ – ৩

একটি কণার গতিপথ y = 2x – x² এবং কণাটি x-অক্ষ বরাবর 2 একক/সেকেন্ড সমবেগে চলছে (dx/dt = 2)। আমরা কণার গতি সংক্রান্ত বিভিন্ন রাশি নির্ণয় করব।

71. dy/dt = ?

(2-2x)
2(1-x)
4(1-x)
2x-x²

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) 4(1-x)
ব্যাখ্যা: dy/dt = (dy/dx)(dx/dt) = (2-2x) × 2 = 4(1-x)।

72. কণাটি যখন x=3 বিন্দুতে থাকে, তখন তার y-স্থানাঙ্ক কোন দিকে পরিবর্তিত হচ্ছে?

ধনাত্মক y-অক্ষের দিকে
ঋণাত্মক y-অক্ষের দিকে
কোনো পরিবর্তন হচ্ছে না
বলা সম্ভব নয়

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) ঋণাত্মক y-অক্ষের দিকে
ব্যাখ্যা: x=3 হলে, dy/dt = 4(1-3) = -8। যেহেতু dy/dt ঋণাত্মক, y-এর মান কমছে।

73. কণাটি যখন y-অক্ষকে ছেদ করে, তখন dx/dt কত?

0
1
2
-2

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) 2
ব্যাখ্যা: dx/dt একটি ধ্রুবক বেগ, যা সর্বদা 2 একক/সেকেন্ড।

74. কণাটির y-স্থানাঙ্ক সর্বোচ্চ হলে, x-এর মান কত?

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) 1
ব্যাখ্যা: y সর্বোচ্চ হবে যখন dy/dx = 0। 2-2x = 0 => x=1।

75. y-এর সর্বোচ্চ মান কত?

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) 1
ব্যাখ্যা: x=1 হলে, y = 2(1) – 1² = 1।

B. বাম স্তম্ভের (I) সঙ্গে ডান স্তম্ভের (II) সঠিক বিকল্পটি বেছে নাও: (10 MCQ)

স্তম্ভ-I (অবকলনের প্রয়োগ)	স্তম্ভ-II (গাণিতিক শর্ত)
(P) ক্রমবর্ধমান অপেক্ষক	(1) dy/dx = 0
(Q) ক্রমহ্রাসমান অপেক্ষক	(2) f'(c)=0, f”(c)<0
(R) চরম মান	(3) f'(x) > 0
(S) স্থির বিন্দু (Stationary point)	(4) f'(x) < 0

76. সঠিক মিলটি হল:

P-1, Q-2, R-3, S-4
P-3, Q-4, R-2, S-1
P-2, Q-1, R-4, S-3
P-4, Q-3, R-2, S-1

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) P-3, Q-4, R-2, S-1
ব্যাখ্যা: প্রতিটি ধারণার সাথে তার সঠিক গাণিতিক শর্তের মিল করা হয়েছে।

স্তম্ভ-I (বক্র)	স্তম্ভ-II ((1,1) বিন্দুতে স্পর্শকের নতি)
(P) y = x²	(1) 3
(Q) y = x³	(2) 1
(R) y = 2x – 1	(3) 2
(S) y = 1/x	(4) -1

77. সঠিক মিলটি হল:

P-3, Q-1, R-2, S-4
P-2, Q-3, R-1, S-4
P-3, Q-1, R-4, S-2
P-2, Q-1, R-3, S-4

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: P-3, Q-1, R-3, S-4 (বিকল্পে ত্রুটি আছে)
ব্যাখ্যা: y=x² => y’=2x => 2। y=x³ => y’=3x² => 3। y=2x-1 => y’=2। y=1/x => y’=-1/x² => -1।

স্তম্ভ-I (ভৌত রাশি)	স্তম্ভ-II (অবকলন রূপ)
(P) বেগ	(1) dV/dt (V=আয়তন)
(Q) ত্বরণ	(2) ds/dt (s=সরণ)
(R) প্রবাহের হার	(3) dA/dt (A=ক্ষেত্রফল)
(S) ক্ষেত্রফল বৃদ্ধির হার	(4) dv/dt (v=বেগ)

78. সঠিক মিলটি হল:

P-2, Q-4, R-1, S-3
P-1, Q-2, R-3, S-4
P-2, Q-3, R-1, S-4
P-3, Q-1, R-2, S-4

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) P-2, Q-4, R-1, S-3
ব্যাখ্যা: প্রতিটি ভৌত রাশির সাথে তার সঠিক অবকলন রূপের মিল করা হয়েছে।

স্তম্ভ-I (অপেক্ষক)	স্তম্ভ-II (চরম/অবম মান)
(P) sinx	(1) চরম মান √2
(Q) x²	(2) চরম মান 1, অবম মান -1
(R) sinx+cosx	(3) চরম মান নেই, অবম মান 0
(S) x³	(4) চরম ও অবম মান নেই

79. সঠিক মিলটি হল:

P-4, Q-1, R-2, S-3
P-2, Q-3, R-1, S-4
P-3, Q-1, R-2, S-4
P-2, Q-1, R-4, S-3

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) P-2, Q-3, R-1, S-4
ব্যাখ্যা: প্রতিটি অপেক্ষকের সাথে তার চরম/অবম মানের বৈশিষ্ট্যের মিল করা হয়েছে।

স্তম্ভ-I (y=f(x))	স্তম্ভ-II (x=1 বিন্দুতে অভিলম্বের নতি)
(P) y = x	(1) 1/2
(Q) y = -x	(2) 1
(R) y = x²	(3) -1
(S) y = x/2	(4) -1/2
	(5) -2

80. সঠিক মিলটি হল:

P-1, Q-3, R-4, S-2
P-4, Q-2, R-1, S-3
P-3, Q-2, R-4, S-5
P-2, Q-1, R-4, S-3

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) P-3, Q-2, R-4, S-5
ব্যাখ্যা: P:m=1,m’=-1; Q:m=-1,m’=1; R:m=2,m’=-1/2; S:m=1/2,m’=-2।

স্তম্ভ-I (f'(x)-এর চিহ্ন)	স্তম্ভ-II (f(x)-এর প্রকৃতি)
(P) c-এর বামে +, c-এর ডানে –	(1) ক্রমবর্ধমান
(Q) c-এর বামে -, c-এর ডানে +	(2) ক্রমহ্রাসমান
(R) সর্বদা +	(3) c বিন্দুতে চরম মান
(S) সর্বদা –	(4) c বিন্দুতে অবম মান

81. সঠিক মিলটি হল:

P-3, Q-4, R-1, S-2
P-1, Q-3, R-2, S-4
P-3, Q-1, R-2, S-4
P-2, Q-1, R-3, S-4

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) P-3, Q-4, R-1, S-2

স্তম্ভ-I (f”(x)-এর চিহ্ন)	স্তম্ভ-II (বক্রের প্রকৃতি)
(P) f”(x) > 0	(1) অধোমুখী বক্র (Concave down)
(Q) f”(x) < 0	(2) ঊর্দ্ধমুখী বক্র (Concave up)
(R) f”(c)=0, চিহ্ন পরিবর্তন	(3) চরম মান
(S) f'(c)=0, f”(c)<0	(4) ইনফ্লেকশন বিন্দু

82. সঠিক মিলটি হল:

P-2, Q-1, R-4, S-3
P-1, Q-3, R-2, S-4
P-3, Q-1, R-2, S-4
P-2, Q-1, R-3, S-4

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) P-2, Q-1, R-4, S-3

স্তম্ভ-I (y)	স্তম্ভ-II (dy/dx)
(P) xⁿ	(1) 1/(2√x)
(Q) √x	(2) -1/x²
(R) 1/x	(3) -2/x³
(S) 1/x²	(4) nx^n-1

83. সঠিক মিলটি হল:

P-4, Q-1, R-2, S-3
P-1, Q-3, R-2, S-4
P-3, Q-1, R-2, S-4
P-2, Q-1, R-3, S-4

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) P-4, Q-1, R-2, S-3

স্তম্ভ-I (আকার)	স্তম্ভ-II (ক্ষেত্রফল/আয়তন পরিবর্তনের হার)
(P) বৃত্তের ক্ষেত্রফল	(1) 3x²(dx/dt)
(Q) গোলকের পৃষ্ঠতল	(2) 2πr(dr/dt)
(R) ঘনকের আয়তন	(3) 4πr²(dr/dt)
(S) গোলকের আয়তন	(4) 8πr(dr/dt)

84. সঠিক মিলটি হল:

P-2, Q-4, R-1, S-3
P-1, Q-3, R-2, S-4
P-3, Q-1, R-2, S-4
P-2, Q-1, R-3, S-4

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) P-2, Q-4, R-1, S-3

স্তম্ভ-I (অপেক্ষক)	স্তম্ভ-II (সংকট বিন্দু)
(P) f(x) = x²	(1) x=±1
(Q) f(x) = sinx	(2) x=e
(R) f(x) = x³-3x	(3) x = nπ + π/2
(S) f(x) = logx/x	(4) x=0

85. সঠিক মিলটি হল:

P-4, Q-3, R-1, S-2
P-1, Q-3, R-2, S-4
P-3, Q-1, R-2, S-4
P-2, Q-1, R-3, S-4

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) P-4, Q-3, R-1, S-2

স্তম্ভ-I (অপেক্ষক)	স্তম্ভ-II (অবম মান)
(P) x²+250/x	(1) -2
(Q) x+1/x (x>0)	(2) 2
(R) sinx+cosx	(3) 75
(S) x(x-1)+1	(4) 3/4

86. সঠিক মিলটি হল:

P-3, Q-2, R-(-√2), S-4
P-1, Q-3, R-2, S-4
P-3, Q-1, R-2, S-4
P-2, Q-1, R-3, S-4

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) P-3, Q-2, R-(-√2), S-4

স্তম্ভ-I (বক্র)	স্তম্ভ-II (x=0-তে স্পর্শকের নতি)
(P) y=e^x	(1) 0
(Q) y=sinx	(2) 1
(R) y=cosx
(S) y=x²+1

87. সঠিক মিলটি হল:

P-2, Q-2, R-1, S-1
P-1, Q-3, R-2, S-4
P-3, Q-1, R-2, S-4
P-2, Q-1, R-3, S-4

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) P-2, Q-2, R-1, S-1

স্তম্ভ-I (y)	স্তম্ভ-II (dy/dx)
(P) sin⁻¹x²	(1) 2x/(1+x⁴)
(Q) cos⁻¹x²	(2) 2x/√(1-x⁴)
(R) tan⁻¹x²	(3) -2x/√(1-x⁴)
(S) cot⁻¹x²	(4) -2x/(1+x⁴)

88. সঠিক মিলটি হল:

P-2, Q-3, R-1, S-4
P-1, Q-3, R-2, S-4
P-3, Q-1, R-2, S-4
P-2, Q-1, R-3, S-4

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) P-2, Q-3, R-1, S-4

স্তম্ভ-I (f'(x))	স্তম্ভ-II (f(x))
(P) 1	(1) x²+c
(Q) 2x	(2) sinx+c
(R) cosx	(3) x+c
(S) e^x	(4) e^x+c

89. সঠিক মিলটি হল:

P-2, Q-4, R-1, S-3
P-3, Q-1, R-2, S-4
P-3, Q-1, R-4, S-2
P-2, Q-1, R-3, S-4

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) P-3, Q-1, R-2, S-4

স্তম্ভ-I (বক্রের সমীকরণ)	স্তম্ভ-II (কোন অক্ষের সমান্তরাল স্পর্শক নেই)
(P) y=e^x	(1) y-অক্ষ
(Q) y=logx	(2) x-অক্ষ
(R) y=x³
(S) x²+y²=a²	(3) কোনোটিই নয়

90. সঠিক মিলটি হল:

P-2, Q-1, R-2, S-3
P-1, Q-3, R-2, S-4
P-3, Q-1, R-2, S-4
P-2, Q-1, R-3, S-4

উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) P-2, Q-1, R-2, S-3
ব্যাখ্যা: y’=e^x≠0; y’=1/x≠0; y’=3x²=0 at x=0; বৃত্তের ক্ষেত্রে উভয় অক্ষের সমান্তরাল স্পর্শক আছে।

তুমি কি এবছর WBCHSE HS Exam পরিক্ষা দেবে Semister 1, 2, 3, 4 HS Suggestion পেতে চাও উচ্চ মাধ্যমিক সাজেশন এখানে পাবে

A. নীচের প্রশ্নগুলি থেকে সঠিক উত্তর বেছে নাও: (60 MCQ)

অনুচ্ছেদ ভিত্তিক প্রশ্ন

অনুচ্ছেদ – ১

অনুচ্ছেদ – ২

অনুচ্ছেদ – ৩

B. বাম স্তম্ভের (I) সঙ্গে ডান স্তম্ভের (II) সঠিক বিকল্পটি বেছে নাও: (10 MCQ)

Related Posts

Leave a Comment Cancel Reply