সম্ভাবনা (Probability)

উচ্চ মাধ্যমিক গণিত সাজেশন ২০২৬ (সেমিস্টার ১)

A. নীচের প্রশ্নগুলি থেকে সঠিক উত্তর বেছে নাও: (60 MCQ)

1. শর্তাধীন সম্ভাবনার (Conditional Probability) সূত্র অনুযায়ী P(A|B) = ?

  1. P(A ∩ B) / P(A)
  2. P(A ∩ B) / P(B)
  3. P(A ∪ B) / P(B)
  4. P(A) × P(B)
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) P(A ∩ B) / P(B)
ব্যাখ্যা: এটি শর্তাধীন সম্ভাবনার সংজ্ঞা, যেখানে B ঘটনাটি ঘটে যাওয়ার পর A ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা নির্ণয় করা হয়।

2. দুটি ঘটনা A এবং B পরস্পর স্বাধীন (independent) হলে, কোনটি সঠিক?

  1. P(A ∩ B) = P(A) + P(B)
  2. P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
  3. P(A ∪ B) = P(A) × P(B)
  4. P(A|B) = P(B|A)
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
ব্যাখ্যা: এটি স্বাধীন ঘটনার গুণন সূত্রের সংজ্ঞা।

3. একটি ঝোঁকশূন্য মুদ্রা তিনবার টস করা হলে, ঠিক দুটি হেড পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

  1. 1/8
  2. 2/8
  3. 3/8
  4. 4/8
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) 3/8
ব্যাখ্যা: মোট নমুনা দেশের সংখ্যা 2³ = 8। দুটি হেড পাওয়ার অনুকূল ঘটনাগুলি হল {HHT, HTH, THH}, অর্থাৎ 3টি। সুতরাং, সম্ভাবনা = 3/8।

4. বেজের উপপাদ্য (Bayes’ Theorem) কী নির্ণয় করতে ব্যবহৃত হয়?

  1. পূর্ববর্তী সম্ভাবনা (Prior probability)
  2. শর্তাধীন সম্ভাবনা
  3. পরবর্তী সম্ভাবনা (Posterior probability)
  4. মোট সম্ভাবনা
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) পরবর্তী সম্ভাবনা (Posterior probability)
ব্যাখ্যা: বেজের উপপাদ্য একটি ঘটনা ঘটে যাওয়ার পর তার কারণের সম্ভাবনা নির্ণয় করে, যা পরবর্তী সম্ভাবনা নামে পরিচিত।

5. একটি সমসম্ভব চলক (Random Variable) X-এর গড় বা প্রত্যাশা (Mean or Expectation) E(X) = ?

  1. Σxᵢ
  2. Σpᵢ
  3. Σxᵢpᵢ
  4. Σxᵢ²pᵢ
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) Σxᵢpᵢ
ব্যাখ্যা: গড় হল প্রতিটি মানের সাথে তার নিজ নিজ সম্ভাবনার গুণফলের যোগফল।

6. যদি P(A) = 0.3, P(B) = 0.6 এবং A ও B স্বাধীন ঘটনা হয়, তবে P(A ∪ B) = ?

  1. 0.90
  2. 0.18
  3. 0.72
  4. 0.42
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) 0.72
ব্যাখ্যা: P(A∩B) = P(A)P(B) = 0.3×0.6 = 0.18। P(A∪B) = P(A)+P(B)-P(A∩B) = 0.3+0.6-0.18 = 0.72।

7. একটি সমসম্ভব চলকের ভেদমান (Variance), Var(X) = ?

  1. E(X²) – [E(X)]²
  2. E(X²) + [E(X)]²
  3. [E(X)]² – E(X²)
  4. E(X²)
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) E(X²) – [E(X)]²
ব্যাখ্যা: এটি ভেদমানের একটি মৌলিক সূত্র।

8. দুটি ঘটনা A এবং B পরস্পর পৃথক (mutually exclusive) হলে, P(A ∩ B) = ?

  1. 1
  2. 0
  3. P(A)P(B)
  4. P(A)+P(B)
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) 0
ব্যাখ্যা: পরস্পর পৃথক ঘটনা একসাথে ঘটতে পারে না, তাই তাদের ছেদ ঘটনার সম্ভাবনা শূন্য।

9. একটি ছক্কা ছোড়া হলে, 3-এর গুণিতক পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

  1. 1/6
  2. 2/6
  3. 3/6
  4. 4/6
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) 2/6
ব্যাখ্যা: অনুকূল ঘটনাগুলি হল {3, 6}, অর্থাৎ 2টি। মোট ঘটনা 6টি। সম্ভাবনা = 2/6 = 1/3।

10. যদি P(A) = 1/3, P(B) = 1/2 এবং P(A ∩ B) = 1/6 হয়, তবে ঘটনা A এবং B কীরূপ?

  1. পরস্পর পৃথক
  2. স্বাধীন
  3. অধীন
  4. সম্পূর্ণ
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) স্বাধীন
ব্যাখ্যা: P(A) × P(B) = (1/3) × (1/2) = 1/6, যা P(A ∩ B)-এর সমান।

11. একটি সম্ভাবনা নিবেশনের জন্য Σpᵢ -এর মান কত?

  1. 0
  2. 1
  3. -1
  4. সর্বদা ভিন্ন হয়
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) 1
ব্যাখ্যা: একটি নমুনা দেশের সমস্ত সম্ভাব্য ঘটনার সম্ভাবনার যোগফল সর্বদা 1 হয়।

12. দুটি ছক্কা একসাথে ছোড়া হলে, প্রাপ্ত অঙ্ক দুটির যোগফল 10 হওয়ার সম্ভাবনা কত?

  1. 1/12
  2. 1/9
  3. 1/6
  4. 1/36
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) 1/12
ব্যাখ্যা: মোট ঘটনা = 36। অনুকূল ঘটনা = {(4,6), (5,5), (6,4)}, অর্থাৎ 3টি। সম্ভাবনা = 3/36 = 1/12।

13. মোট সম্ভাবনার উপপাদ্য (Theorem of total probability) অনুযায়ী, P(A) = ?

  1. Σ P(Eᵢ) P(A|Eᵢ)
  2. Σ P(Eᵢ) P(Eᵢ|A)
  3. P(E₁)P(A|E₁)
  4. কোনোটিই নয়
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) Σ P(Eᵢ) P(A|Eᵢ)
ব্যাখ্যা: যেখানে Eᵢ ঘটনাগুলি একটি partition গঠন করে।

14. একটি মুদ্রাকে 10 বার টস করা হল। এটি একটি _______ পরীক্ষার উদাহরণ।

  1. বার্নোলি ট্রায়াল
  2. পয়সন ট্রায়াল
  3. সাধারণ ট্রায়াল
  4. স্বাধীন ট্রায়াল
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) বার্নোলি ট্রায়াল
ব্যাখ্যা: যেখানে দুটি সম্ভাব্য ফলাফল থাকে এবং প্রতিটি চেষ্টা স্বাধীন।

15. যদি P(A’) = 0.7 হয়, তবে P(A) = ?

  1. 0.7
  2. 0.3
  3. 1
  4. 0
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) 0.3
ব্যাখ্যা: P(A) = 1 – P(A’) = 1 – 0.7 = 0.3।

16. সম্যক চ্যুতি (Standard Deviation) σ এবং ভেদমান (Variance) σ²-এর মধ্যে সম্পর্ক কী?

  1. σ = σ²
  2. σ = √σ²
  3. σ² = √σ
  4. σ = 1/σ²
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) σ = √σ²
ব্যাখ্যা: সম্যক চ্যুতি হল ভেদমানের ধনাত্মক বর্গমূল।

17. একটি বাক্সে 5টি লাল ও 3টি কালো বল আছে। দুটি বল তোলা হলে, দুটিই লাল হওয়ার সম্ভাবনা কত?

  1. 5/14
  2. 5/28
  3. 10/28
  4. 10/56
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) 5/14
ব্যাখ্যা: সম্ভাবনা = (⁵C₂)/(⁸C₂) = 10/28 = 5/14।

18. P(A|B) = P(A) হলে, A এবং B ঘটনা দুটি কীরূপ?

  1. স্বাধীন
  2. পরস্পর পৃথক
  3. অধীন
  4. সম্পূর্ণ
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) স্বাধীন
ব্যাখ্যা: B ঘটনাটি ঘটা বা না ঘটা A ঘটনা ঘটার সম্ভাবনাকে প্রভাবিত করে না।

19. একটি সম্ভাবনা নিবেশনের গড় 5 এবং ভেদমান 4 হলে, E(X²) -এর মান কত?

  1. 21
  2. 29
  3. 9
  4. 1
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) 29
ব্যাখ্যা: Var(X) = E(X²) – [E(X)]² => 4 = E(X²) – 5² => E(X²) = 4 + 25 = 29।

20. যদি P(A ∪ B) = P(A) + P(B) হয়, তবে A এবং B ঘটনা দুটি কীরূপ?

  1. স্বাধীন
  2. পরস্পর পৃথক (Mutually exclusive)
  3. সমভাবে সম্ভাব্য
  4. সম্পূর্ণ
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) পরস্পর পৃথক (Mutually exclusive)
ব্যাখ্যা: এই শর্তটি সত্য হয় যখন P(A ∩ B) = 0, অর্থাৎ ঘটনা দুটি পরস্পর পৃথক।

21. একটি অবিচ্ছিন্ন সমসম্ভব চলকের (Continuous Random Variable) ক্ষেত্রে, P(X=c)-এর মান কত? (c একটি নির্দিষ্ট বিন্দু)

  1. 1
  2. 0
  3. 0.5
  4. অসংজ্ঞাত
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) 0
ব্যাখ্যা: অবিচ্ছিন্ন চলকের ক্ষেত্রে একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে সম্ভাবনা শূন্য ধরা হয়। সম্ভাবনা কেবল একটি ব্যবধির জন্য সংজ্ঞায়িত হয়।

22. সম্ভাবনার গুণন উপপাদ্য (Multiplication theorem) অনুযায়ী, P(A ∩ B) = ?

  1. P(A) P(B|A)
  2. P(B) P(A|B)
  3. P(A) P(B)
  4. (a) এবং (b) উভয়ই
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (d) (a) এবং (b) উভয়ই
ব্যাখ্যা: এগুলি শর্তাধীন সম্ভাবনার সংজ্ঞা থেকে প্রাপ্ত গুণন সূত্রের দুটি রূপ।

23. একটি পরিবারে দুটি সন্তান আছে। দুটিই ছেলে হওয়ার সম্ভাবনা কত, যদি জানা থাকে যে কমপক্ষে একটি ছেলে আছে?

  1. 1/4
  2. 1/3
  3. 1/2
  4. 2/3
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) 1/3
ব্যাখ্যা: নমুনা দেশ S={BB, BG, GB, GG}। A={BB}, B={BB, BG, GB}। P(A|B) = P(A∩B)/P(B) = (1/4)/(3/4) = 1/3।

24. একটি বিচ্ছিন্ন সমসম্ভব চলকের (Discrete Random Variable) উদাহরণ কোনটি?

  1. একটি ছাত্রের উচ্চতা
  2. একটি ছক্কা ছোড়ার ফলাফল
  3. একটি শহরের তাপমাত্রা
  4. গাড়ির গতিবেগ
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) একটি ছক্কা ছোড়ার ফলাফল
ব্যাখ্যা: এর মানগুলি বিচ্ছিন্ন (1, 2, 3, 4, 5, 6), অবিচ্ছিন্ন নয়।

25. P(A’|B) = ?

  1. 1 – P(A|B)
  2. 1 – P(A’|B’)
  3. P(A|B)
  4. P(B|A)
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) 1 – P(A|B)
ব্যাখ্যা: B ঘটনা ঘটে যাওয়ার পর, A ঘটা এবং A না ঘটার সম্ভাবনাগুলির যোগফল 1।

26. যদি A, B-এর একটি উপসেট (A⊂B) হয়, তবে P(A|B) = ?

  1. P(A)/P(B)
  2. P(B)/P(A)
  3. 1
  4. P(A)
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) P(A)/P(B)
ব্যাখ্যা: A⊂B হলে, A∩B=A। সুতরাং, P(A|B)=P(A∩B)/P(B) = P(A)/P(B)।

27. একটি লিপ ইয়ারে 53টি রবিবার থাকার সম্ভাবনা কত?

  1. 1/7
  2. 2/7
  3. 53/366
  4. 52/366
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) 2/7
ব্যাখ্যা: 366 দিন = 52 সপ্তাহ + 2 দিন। অতিরিক্ত 2 দিন (শনি, রবি), (রবি, সোম), …, (শুক্র, শনি) হতে পারে। এর মধ্যে রবি থাকার অনুকূল ঘটনা 2টি।

28. একটি থলিতে 3টি সাদা ও 2টি কালো বল আছে। পুনঃস্থাপন না করে পরপর দুটি বল তোলা হলে, দ্বিতীয় বলটি কালো হওয়ার সম্ভাবনা কত?

  1. 2/5
  2. 1/4
  3. 3/10
  4. 1/5
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) 2/5
ব্যাখ্যা: মোট সম্ভাবনা P(B) = P(W₁)P(B₂|W₁) + P(B₁)P(B₂|B₁)= (3/5)(2/4)+(2/5)(1/4) = 6/20+2/20 = 8/20 = 2/5।

29. E[c] = ? (c একটি ধ্রুবক)

  1. c
  2. 0
  3. 1
  4. অসংজ্ঞাত
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) c
ব্যাখ্যা: ধ্রুবকের প্রত্যাশা সেই ধ্রুবকটিই হয়।

30. Var(c) = ? (c একটি ধ্রুবক)

  1. c
  2. c²
  3. 0
  4. 1
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) 0
ব্যাখ্যা: ধ্রুবকের কোনো ভেদ বা পরিবর্তন নেই, তাই ভেদমান শূন্য।

31. P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) সূত্রটি কখন প্রযোজ্য?

  1. শুধুমাত্র স্বাধীন ঘটনার জন্য
  2. শুধুমাত্র পরস্পর পৃথক ঘটনার জন্য
  3. যেকোনো দুটি ঘটনার জন্য
  4. শুধুমাত্র সমভাবে সম্ভাব্য ঘটনার জন্য
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) যেকোনো দুটি ঘটনার জন্য
ব্যাখ্যা: এটি সম্ভাবনার যোগফলের সাধারণ সূত্র।

32. একটি মুদ্রা ও একটি ছক্কা একসাথে ছোড়া হল। হেড এবং একটি জোড় সংখ্যা পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

  1. 1/2
  2. 1/4
  3. 3/4
  4. 1/12
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) 1/4
ব্যাখ্যা: দুটি ঘটনা স্বাধীন। P(H)=1/2, P(জোড়)=3/6=1/2। P(H∩জোড়) = 1/2 × 1/2 = 1/4।

33. যদি P(A) > 0, P(B) > 0 হয়, তবে P(A|B) > P(A) হলে, P(B|A) এবং P(B)-এর মধ্যে সম্পর্ক কী?

  1. P(B|A) > P(B)
  2. P(B|A) < P(B)
  3. P(B|A) = P(B)
  4. বলা সম্ভব নয়
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) P(B|A) > P(B)
ব্যাখ্যা: P(A∩B)/P(B)>P(A) => P(A∩B)>P(A)P(B)। P(B|A)=P(A∩B)/P(A) > (P(A)P(B))/P(A) = P(B)।

34. E(aX + b) = ?

  1. aE(X) + b
  2. aE(X)
  3. E(X) + b
  4. a²E(X) + b²
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) aE(X) + b
ব্যাখ্যা: এটি প্রত্যাশার একটি ধর্ম।

35. Var(aX + b) = ?

  1. aVar(X) + b
  2. a²Var(X)
  3. aVar(X)
  4. a²Var(X) + b²
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) a²Var(X)
ব্যাখ্যা: ভেদমানের ক্ষেত্রে, ধ্রুবক যোগ করলে কোনো পরিবর্তন হয় না, এবং গুণিতকটি বর্গ হয়ে যায়।

36. যদি A ও B দুটি ঘটনা হয় যাতে A ⊂ B এবং P(B)≠0, তবে কোনটি সঠিক?

  1. P(A|B) ≥ P(A)
  2. P(A|B) ≤ P(A)
  3. P(A|B) = P(A)
  4. কোনোটিই নয়
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) P(A|B) ≥ P(A)
ব্যাখ্যা: P(A|B) = P(A)/P(B)। যেহেতু P(B)≤1, তাই 1/P(B)≥1। সুতরাং P(A)/P(B) ≥ P(A)।

37. একটি সম্ভাবনা নিবেশন দেওয়া হল: P(X=0)=0.2, P(X=1)=0.5, P(X=2)=0.3। গড় কত?

  1. 1
  2. 1.1
  3. 1.2
  4. 1.5
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) 1.1
ব্যাখ্যা: E(X) = 0×0.2 + 1×0.5 + 2×0.3 = 0+0.5+0.6 = 1.1।

38. একটি সমসম্ভব চলকের মান হতে পারে-

  1. শুধুমাত্র ধনাত্মক
  2. শুধুমাত্র পূর্ণসংখ্যা
  3. যেকোনো বাস্তব সংখ্যা
  4. শুধুমাত্র 0 এবং 1
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) যেকোনো বাস্তব সংখ্যা

39. একটি বাক্সে 10টি ভালো এবং 4টি খারাপ আপেল আছে। দুটি আপেল তোলা হলে, উভয়ই ভালো হওয়ার সম্ভাবনা কত?

  1. 45/91
  2. 45/182
  3. 90/182
  4. 10/14
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) 45/91
ব্যাখ্যা: P(GG) = (¹⁰C₂)/(¹⁴C₂) = 45/91।

40. P(A∪B) = P(A)+P(B)-P(A∩B)-এই সূত্রটি কোনটির সাথে সম্পর্কিত?

  1. সেট তত্ত্ব
  2. সম্ভাবনা তত্ত্ব
  3. উভয়ই
  4. কোনোটিই নয়
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) উভয়ই

41. যদি একটি ঘটনা ঘটা নিশ্চিত হয়, তবে তার সম্ভাবনা কত?

  1. 0
  2. 1
  3. 0.5
  4. ∞
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) 1

42. একটি অসম্ভব ঘটনার সম্ভাবনা কত?

  1. 0
  2. 1
  3. -1
  4. অসংজ্ঞাত
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) 0

43. একটি দ্বিপদ নিবেশনের গড় হল-

  1. np
  2. npq
  3. √(npq)
  4. nq
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) np

44. একটি দ্বিপদ নিবেশনের ভেদমান হল-

  1. np
  2. npq
  3. √(npq)
  4. nq
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) npq

45. একটি দ্বিপদ নিবেশনের ক্ষেত্রে গড় এবং ভেদমানের মধ্যে সম্পর্ক কী?

  1. গড় > ভেদমান
  2. গড় < ভেদমান
  3. গড় = ভেদমান
  4. কোনো নির্দিষ্ট সম্পর্ক নেই
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) গড় > ভেদমান
ব্যাখ্যা: ভেদমান=npq। যেহেতু 0

46. একটি ঝোঁকশূন্য ছক্কা ছোড়া হলে, প্রাপ্ত অঙ্কটি মৌলিক সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা কত?

  1. 1/2
  2. 1/3
  3. 2/3
  4. 1/6
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) 1/2
ব্যাখ্যা: মৌলিক সংখ্যাগুলি হল {2,3,5}। সম্ভাবনা = 3/6 = 1/2।

47. P(A’∩B’) = ?

  1. P((A∪B)’)
  2. 1 – P(A∪B)
  3. (a) এবং (b) উভয়ই
  4. P(A’)P(B’)
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) (a) এবং (b) উভয়ই
ব্যাখ্যা: এটি ডি মরগ্যানের সূত্রের একটি প্রয়োগ।

48. একটি বাক্সে 1 থেকে 10 পর্যন্ত সংখ্যা লেখা 10টি টিকিট আছে। একটি টিকিট তোলা হলে, সেটি 3 বা 5-এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা কত?

  1. 1/2
  2. 2/5
  3. 3/10
  4. 1/5
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) 2/5
ব্যাখ্যা: 3-এর গুণিতক {3,6,9}। 5-এর গুণিতক {5,10}। কোনো সাধারণ উপাদান নেই। মোট অনুকূল ঘটনা 3+2=5। সম্ভাবনা = 5/10 = 1/2। প্রশ্নে ভুল।

49. E(X-E(X)) = ?

  1. 0
  2. 1
  3. Var(X)
  4. E(X)
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) 0
ব্যাখ্যা: E(X-E(X)) = E(X) – E(E(X)) = E(X) – E(X) = 0।

50. বেজের উপপাদ্যটি কীসের সাথে সম্পর্কিত?

  1. বিপরীত সম্ভাবনা (Inverse Probability)
  2. সম্মুখ সম্ভাবনা
  3. যোগফল
  4. গুণফল
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) বিপরীত সম্ভাবনা (Inverse Probability)

51. যদি A এবং B দুটি ঘটনা হয় এবং P(A)=0, তবে P(A∩B) = ?

  1. 0
  2. P(B)
  3. 1
  4. অসংজ্ঞাত
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) 0
ব্যাখ্যা: A∩B ⊂ A, তাই P(A∩B) ≤ P(A) = 0।

52. একটি লটারিতে 10টি পুরস্কার এবং 25টি ফাঁকা টিকিট আছে। একটি টিকিট তোলার পর পুরস্কার পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

  1. 10/25
  2. 10/35
  3. 25/35
  4. 1/10
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) 10/35
ব্যাখ্যা: মোট টিকিট 35, পুরস্কার 10টি। সম্ভাবনা = 10/35 = 2/7।

53. P(E|F) + P(E’|F) = ?

  1. 0
  2. 1
  3. P(E)
  4. P(F)
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) 1

54. যদি A এবং B স্বাধীন হয়, তবে A’ এবং B’ কীরূপ?

  1. অধীন
  2. স্বাধীন
  3. পরস্পর পৃথক
  4. বলা যায় না
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) স্বাধীন

55. একজন ব্যক্তি 70% ক্ষেত্রে সত্য কথা বলে। একটি ছক্কা ছুড়ে সে বলে ‘6’ পড়েছে। প্রকৃতপক্ষে ‘6’ পড়ার সম্ভাবনা কত?

  1. 7/12
  2. 5/12
  3. 1/6
  4. 7/42
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: 7/12
ব্যাখ্যা: বেজের উপপাদ্য প্রয়োগ করে।

56. একটি মুদ্রা টসে হেড পড়ার সম্ভাবনা 1/3। 5 বার টস করলে ঠিক 2টি হেড পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

  1. 40/243
  2. 80/243
  3. 10/243
  4. 20/243
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) 80/243
ব্যাখ্যা: দ্বিপদ সম্ভাবনা: ⁵C₂(1/3)²(2/3)³ = 10 × 1/9 × 8/27 = 80/243।

57. একটি সম্ভাবনা নিবেশনের ভেদমান সর্বদা-

  1. ধনাত্মক
  2. ঋণাত্মক
  3. অ-ঋণাত্মক
  4. 1-এর চেয়ে কম
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) অ-ঋণাত্মক (শূন্য বা ধনাত্মক)।

58. কোনো ঘটনার সম্ভাবনা p হলে, সেই ঘটনাটি না ঘটার সম্ভাবনা কত?

  1. 1-p
  2. p-1
  3. 1/p
  4. -p
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) 1-p

59. দুটি মুদ্রা টস করা হলে, কমপক্ষে একটি হেড পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

  1. 1/4
  2. 1/2
  3. 3/4
  4. 1
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) 3/4
ব্যাখ্যা: 1 – P(কোনো হেড নয়) = 1 – P(TT) = 1 – 1/4 = 3/4।

60. ‘PROBABILITY’ শব্দ থেকে একটি অক্ষর নির্বাচন করা হলে, সেটি স্বরবর্ণ (vowel) হওয়ার সম্ভাবনা কত?

  1. 4/11
  2. 5/11
  3. 3/11
  4. 2/11
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) 4/11
ব্যাখ্যা: স্বরবর্ণ হল O, A, I, I (4টি)। মোট অক্ষর 11টি।

অনুচ্ছেদ ভিত্তিক প্রশ্ন

অনুচ্ছেদ – ১

একটি বাক্সে 5টি লাল এবং 3টি কালো বল আছে। পুনঃস্থাপন না করে বাক্স থেকে পরপর দুটি বল তোলা হল। ধরা যাক, A হল প্রথম বলটি লাল হওয়ার ঘটনা এবং B হল দ্বিতীয় বলটি কালো হওয়ার ঘটনা।

61. P(A)-এর মান কত?

  1. 5/8
  2. 3/8
  3. 1/2
  4. 5/3
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) 5/8
ব্যাখ্যা: মোট 8টি বলের মধ্যে 5টি লাল। সুতরাং প্রথম বল লাল হওয়ার সম্ভাবনা 5/8।

62. P(B|A)-এর মান কত?

  1. 3/8
  2. 2/7
  3. 3/7
  4. 5/7
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) 3/7
ব্যাখ্যা: P(B|A) হল প্রথম বল লাল হওয়ার পর দ্বিতীয় বল কালো হওয়ার সম্ভাবনা। তখন বাক্সে 7টি বল থাকে, যার মধ্যে 3টি কালো।

63. দুটি বলই লাল হওয়ার সম্ভাবনা কত?

  1. 20/56
  2. 15/56
  3. 25/64
  4. 9/64
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) 20/56
ব্যাখ্যা: P(R₁)P(R₂|R₁) = (5/8) × (4/7) = 20/56 = 5/14।

64. প্রথমটি লাল এবং দ্বিতীয়টি কালো হওয়ার সম্ভাবনা কত?

  1. 15/64
  2. 15/56
  3. 8/56
  4. 20/56
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) 15/56
ব্যাখ্যা: P(A∩B) = P(A)P(B|A) = (5/8) × (3/7) = 15/56।

65. দ্বিতীয় বলটি কালো হওয়ার মোট সম্ভাবনা কত?

  1. 3/8
  2. 3/7
  3. 21/56
  4. 24/56
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) 3/8
ব্যাখ্যা: P(B) = P(A)P(B|A) + P(A’)P(B|A’) = (5/8)(3/7) + (3/8)(2/7) = 15/56 + 6/56 = 21/56 = 3/8।

অনুচ্ছেদ – ২

একটি সমসম্ভব চলক X-এর সম্ভাবনা নিবেশন নিম্নরূপ: P(X=0)=k, P(X=1)=2k, P(X=2)=3k, এবং অন্যথায় P(X=x)=0।

66. k-এর মান কত?

  1. 1/3
  2. 1/5
  3. 1/6
  4. 1
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) 1/6
ব্যাখ্যা: Σpᵢ = 1 => k + 2k + 3k = 1 => 6k = 1 => k = 1/6।

67. P(X < 2)-এর মান কত?

  1. 1/6
  2. 2/6
  3. 3/6
  4. 5/6
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) 3/6
ব্যাখ্যা: P(X<2) = P(X=0) + P(X=1) = k + 2k = 3k = 3/6 = 1/2।

68. চলকটির গড় বা প্রত্যাশা E(X) কত?

  1. 7/6
  2. 8/6
  3. 9/6
  4. 10/6
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) 8/6
ব্যাখ্যা: E(X) = 0(k) + 1(2k) + 2(3k) = 8k = 8/6 = 4/3।

69. E(X²)-এর মান কত?

  1. 12k
  2. 14k
  3. 16k
  4. 18k
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) 14k
ব্যাখ্যা: E(X²) = 0²(k) + 1²(2k) + 2²(3k) = 2k + 12k = 14k = 14/6 = 7/3।

70. ভেদমান Var(X) কত?

  1. 5/9
  2. 10/9
  3. 11/18
  4. 17/36
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: 5/9
ব্যাখ্যা: Var(X) = E(X²) – [E(X)]² = 14/6 – (8/6)² = 7/3 – (4/3)² = 7/3 – 16/9 = (21-16)/9 = 5/9।

অনুচ্ছেদ – ৩

একটি কারখানায় তিনটি মেশিন A, B এবং C যথাক্রমে 50%, 30% এবং 20% বল্টু তৈরি করে। এই মেশিনগুলি দ্বারা উৎপাদিত বল্টুর মধ্যে যথাক্রমে 4%, 5% এবং 2% ত্রুটিপূর্ণ। একটি বল্টু যথেচ্ছভাবে নির্বাচন করা হল এবং দেখা গেল সেটি ত্রুটিপূর্ণ।

71. মেশিন A দ্বারা একটি ত্রুটিপূর্ণ বল্টু উৎপাদিত হওয়ার সম্ভাবনা কত?

  1. 0.020
  2. 0.015
  3. 0.004
  4. 0.50
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) 0.020
ব্যাখ্যা: P(A∩ত্রুটিপূর্ণ) = P(A) × P(ত্রুটিপূর্ণ|A) = 0.50 × 0.04 = 0.020।

72. একটি বল্টু ত্রুটিপূর্ণ হওয়ার মোট সম্ভাবনা কত?

  1. 0.039
  2. 0.020
  3. 0.015
  4. 0.004
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) 0.039
ব্যাখ্যা: P(ত্রুটিপূর্ণ) = P(A)P(ত্রুটিপূর্ণ|A) + P(B)P(ত্রুটিপূর্ণ|B) + P(C)P(ত্রুটিপূর্ণ|C) = 0.020 + 0.30×0.05 + 0.20×0.02 = 0.020 + 0.015 + 0.004 = 0.039।

73. নির্বাচিত ত্রুটিপূর্ণ বল্টুটি মেশিন A দ্বারা উৎপাদিত হওয়ার সম্ভাবনা কত?

  1. 20/39
  2. 15/39
  3. 4/39
  4. 50/100
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) 20/39
ব্যাখ্যা: বেজের উপপাদ্য অনুযায়ী, P(A|ত্রুটিপূর্ণ) = P(A∩ত্রুটিপূর্ণ)/P(ত্রুটিপূর্ণ) = 0.020/0.039 = 20/39।

74. নির্বাচিত ত্রুটিপূর্ণ বল্টুটি মেশিন B দ্বারা উৎপাদিত হওয়ার সম্ভাবনা কত?

  1. 20/39
  2. 15/39
  3. 4/39
  4. 30/100
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) 15/39
ব্যাখ্যা: P(B|ত্রুটিপূর্ণ) = P(B∩ত্রুটিপূর্ণ)/P(ত্রুটিপূর্ণ) = 0.015/0.039 = 15/39।

75. নির্বাচিত ত্রুটিপূর্ণ বল্টুটি মেশিন C দ্বারা উৎপাদিত হওয়ার সম্ভাবনা কত?

  1. 20/39
  2. 15/39
  3. 4/39
  4. 20/100
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) 4/39
ব্যাখ্যা: P(C|ত্রুটিপূর্ণ) = P(C∩ত্রুটিপূর্ণ)/P(ত্রুটিপূর্ণ) = 0.004/0.039 = 4/39।

B. বাম স্তম্ভের (I) সঙ্গে ডান স্তম্ভের (II) সঠিক বিকল্পটি বেছে নাও: (10 MCQ)

স্তম্ভ-I (ঘটনা) স্তম্ভ-II (শর্ত)
(P) স্বাধীন ঘটনা (1) P(A∪B) = P(A)+P(B)
(Q) পরস্পর পৃথক ঘটনা (2) P(A|B) = P(A)
(R) শর্তাধীন সম্ভাবনা (3) Σ P(Eᵢ) P(A|Eᵢ)
(S) মোট সম্ভাবনা (4) P(A∩B)/P(B)

76. সঠিক মিলটি হল:

  1. P-1, Q-2, R-3, S-4
  2. P-2, Q-1, R-4, S-3
  3. P-2, Q-1, R-3, S-4
  4. P-4, Q-3, R-2, S-1
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) P-2, Q-1, R-4, S-3
ব্যাখ্যা: প্রতিটি ধারণার সাথে তার সঠিক গাণিতিক সংজ্ঞার মিল করা হয়েছে।

স্তম্ভ-I (চলক) স্তম্ভ-II (সূত্র)
(P) গড়, E(X) (1) √Var(X)
(Q) ভেদমান, Var(X) (2) Σxᵢpᵢ
(R) সম্যক চ্যুতি, σ(X) (3) Σxᵢ²pᵢ
(S) E(X²) (4) E(X²) – [E(X)]²

77. সঠিক মিলটি হল:

  1. P-3, Q-4, R-1, S-2
  2. P-2, Q-4, R-1, S-3
  3. P-1, Q-2, R-3, S-4
  4. P-4, Q-1, R-3, S-2
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) P-2, Q-4, R-1, S-3
ব্যাখ্যা: প্রতিটি পরিসংখ্যানিক রাশির সাথে তার সঠিক সূত্রের মিল করা হয়েছে।

স্তম্ভ-I (পরীক্ষা) স্তম্ভ-II (অনুকূল ঘটনা সংখ্যা)
(P) একটি ছক্কা নিক্ষেপ: মৌলিক সংখ্যা (1) 3
(Q) দুটি মুদ্রা টস: ঠিক একটি হেড (2) 2
(R) 52টি তাস থেকে একটি রাজা (3) 26
(S) 52টি তাস থেকে একটি লাল তাস (4) 4

78. সঠিক মিলটি হল:

  1. P-1, Q-2, R-4, S-3
  2. P-2, Q-3, R-1, S-4
  3. P-1, Q-2, R-3, S-4
  4. P-3, Q-1, R-2, S-4
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) P-1, Q-2, R-4, S-3
ব্যাখ্যা: P:{2,3,5}=3; Q:{HT,TH}=2; R:4; S:26।

স্তম্ভ-I (ঘটনা)স্তম্ভ-II (সম্ভাবনা)
(P) একটি অসম্ভব ঘটনা(1) 1
(Q) একটি নিশ্চিত ঘটনা(2) 0
(R) P(A) + P(A’)
(S) P(∅)

79. সঠিক মিলটি হল:

  1. P-2, Q-1, R-1, S-2
  2. P-1, Q-3, R-2, S-4
  3. P-3, Q-1, R-2, S-4
  4. P-2, Q-1, R-4, S-3
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) P-2, Q-1, R-1, S-2
ব্যাখ্যা: প্রতিটি ঘটনার সাথে তার সঠিক সম্ভাবনার মানের মিল করা হয়েছে।

স্তম্ভ-I (P(A)=0.5, P(B)=0.4)স্তম্ভ-II (মান)
(P) A,B স্বাধীন হলে P(A∩B)(1) 0.7
(Q) A,B স্বাধীন হলে P(A∪B)(2) 0.9
(R) A,B পরস্পর পৃথক হলে P(A∪B)(3) 0.2
(S) A,B পরস্পর পৃথক হলে P(A|B)(4) 0

80. সঠিক মিলটি হল:

  1. P-1, Q-3, R-4, S-2
  2. P-3, Q-1, R-2, S-4
  3. P-4, Q-2, R-1, S-3
  4. P-2, Q-1, R-4, S-3
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) P-3, Q-1, R-2, S-4
ব্যাখ্যা: P: 0.5×0.4=0.2। Q: 0.5+0.4-0.2=0.7। R: 0.5+0.4=0.9। S: P(A∩B)/P(B)=0/0.4=0।

স্তম্ভ-I (উপপাদ্য)স্তম্ভ-II (প্রযোজ্যতা)
(P) বেজের উপপাদ্য(1) ঘটনার কারণ নির্ণয়
(Q) মোট সম্ভাবনার উপপাদ্য(2) দুটি ঘটনার একসাথে ঘটার সম্ভাবনা
(R) গুণন উপপাদ্য(3) কোনো ঘটনা ঘটার মোট সম্ভাবনা নির্ণয়
(S) যোগফল উপপাদ্য(4) কমপক্ষে একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা

81. সঠিক মিলটি হল:

  1. P-1, Q-3, R-2, S-4
  2. P-1, Q-3, R-4, S-2
  3. P-3, Q-1, R-2, S-4
  4. P-2, Q-1, R-3, S-4
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) P-1, Q-3, R-2, S-4

স্তম্ভ-I (সমসম্ভব চলক)স্তম্ভ-II (উদাহরণ)
(P) বিচ্ছিন্ন(1) এক ঘন্টায় বৃষ্টির পরিমাণ
(Q) অবিচ্ছিন্ন(2) একটি বইয়ের পৃষ্ঠার সংখ্যা
(R) দ্বিপদ(3) একটি মুদ্রাকে n বার টস
(S) পয়সন(4) এক মিনিটে ফোন কলের সংখ্যা

82. সঠিক মিলটি হল:

  1. P-2, Q-1, R-3, S-4
  2. P-1, Q-3, R-2, S-4
  3. P-3, Q-1, R-2, S-4
  4. P-2, Q-1, R-4, S-3
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) P-2, Q-1, R-3, S-4

স্তম্ভ-I (P(A)=1/2, P(B)=1/3)স্তম্ভ-II (P(A’∩B’))
(P) A, B স্বাধীন হলে(1) 1/6
(Q) A, B পরস্পর পৃথক হলে(2) 1/3
(R) A ⊂ B হলে(3) 2/3
(S) B ⊂ A হলে(4) 1/2

83. সঠিক মিলটি হল:

  1. P-2, Q-1, R-3, S-4
  2. P-1, Q-3, R-2, S-4
  3. P-3, Q-1, R-2, S-4
  4. P-2, Q-1, R-4, S-3
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: P-2, Q-1, R-3, S-4
ব্যাখ্যা: P(A’∩B’)=1-P(A∪B)। P: 1-(1/2+1/3-1/6)=1-4/6=2/6=1/3। Q: 1-(1/2+1/3)=1-5/6=1/6। R: 1-P(B)=1-1/3=2/3। S: 1-P(A)=1-1/2=1/2।

স্তম্ভ-I (E(X), Var(X))স্তম্ভ-II (σ(X))
(P) গড়=4, ভেদমান=9(1) 4
(Q) গড়=10, ভেদমান=16(2) 5
(R) গড়=20, ভেদমান=25(3) 2
(S) গড়=5, ভেদমান=4(4) 3

84. সঠিক মিলটি হল:

  1. P-4, Q-1, R-2, S-3
  2. P-1, Q-3, R-2, S-4
  3. P-3, Q-1, R-2, S-4
  4. P-2, Q-1, R-3, S-4
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) P-4, Q-1, R-2, S-3
ব্যাখ্যা: সম্যক চ্যুতি হল ভেদমানের বর্গমূল।

স্তম্ভ-I (ঘটনা)স্তম্ভ-II (উদাহরণ)
(P) সমভাবে সম্ভাব্য(1) একটি মুদ্রা টসে হেড ও টেল
(Q) সম্পূর্ণ ঘটনা(2) A এবং A’
(R) পরস্পর পৃথক(3) একটি ছক্কা ছোড়ায় জোড় ও বিজোড় সংখ্যা
(S) স্বাধীন ঘটনা(4) দুটি মুদ্রা টসের ফলাফল

85. সঠিক মিলটি হল:

  1. P-1, Q-2, R-3, S-4
  2. P-1, Q-3, R-2, S-4
  3. P-3, Q-1, R-2, S-4
  4. P-2, Q-1, R-3, S-4
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) P-1, Q-2, R-3, S-4

স্তম্ভ-I (বিন্যাস)স্তম্ভ-II (গড়)
(P) দ্বিপদ (n,p)(1) λ
(Q) পয়সন (λ)(2) 1/p
(R) জ্যামিতিক (p)(3) np
(S) সমবিভাজন [a,b](4) (a+b)/2

86. সঠিক মিলটি হল:

  1. P-3, Q-1, R-2, S-4
  2. P-1, Q-3, R-2, S-4
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) P-3, Q-1, R-2, S-4

স্তম্ভ-I (বিন্যাস)স্তম্ভ-II (ভেদমান)
(P) দ্বিপদ (n,p)(1) λ
(Q) পয়সন (λ)(2) (1-p)/p²
(R) জ্যামিতিক (p)(3) np(1-p)
(S) সমবিভাজন [a,b](4) (b-a)²/12

87. সঠিক মিলটি হল:

  1. P-3, Q-1, R-2, S-4
  2. P-1, Q-3, R-2, S-4
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) P-3, Q-1, R-2, S-4

স্তম্ভ-I (P(A)=1/2, P(B)=1/4)স্তম্ভ-II (P(A|B))
(P) A, B স্বাধীন(1) 0
(Q) A, B পরস্পর পৃথক(2) 1/2
(R) B ⊂ A(3) 1
(S) A ⊂ B(4) P(A)/P(B) = 2 (অসম্ভব)

88. সঠিক মিলটি হল:

  1. P-2, Q-1, R-3, S-4
  2. P-1, Q-3, R-2, S-4
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) P-2, Q-1, R-3, S-4
ব্যাখ্যা: R: P(A|B) = P(A∩B)/P(B) = P(B)/P(B) = 1। S: P(A∩B)/P(B) = P(A)/P(B) = 2, যা সম্ভব নয়।

স্তম্ভ-I (P(A)=0.6, P(B)=0.4)স্তম্ভ-II (মান)
(P) P(A’)(1) 0.64
(Q) P(B’)(2) 0.4
(R) A,B স্বাধীন হলে P(A’|B)(3) 0.6
(S) A,B স্বাধীন হলে P(A’∪B’)(4) 0.76

89. সঠিক মিলটি হল:

  1. P-2, Q-3, R-2, S-4
  2. P-1, Q-3, R-2, S-4
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) P-2, Q-3, R-2, S-4
ব্যাখ্যা: P(A’|B)=P(A’)=0.4। P(A’∪B’)=1-P(A∩B)=1-0.24=0.76।

স্তম্ভ-I (X একটি মুদ্রা টসের ফলাফল, H=1, T=0)স্তম্ভ-II (মান)
(P) E(X)(1) 1/4
(Q) E(X²)(2) 1/2
(R) Var(X)
(S) σ(X)

90. সঠিক মিলটি হল:

  1. P-2, Q-2, R-1, S-2
  2. P-1, Q-3, R-2, S-4
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) P-2, Q-2, R-1, S-2
ব্যাখ্যা: P(0)=1/2, P(1)=1/2। E(X)=1/2। E(X²)=1/2। Var(X)=1/2-(1/2)²=1/4। σ(X)=1/2।

তুমি কি এবছর WBCHSE HS Exam পরিক্ষা দেবে Semister 1, 2, 3, 4 HS Suggestion পেতে চাও উচ্চ মাধ্যমিক সাজেশন এখানে পাবে

Related Posts

Leave a Comment

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Scroll to Top