ক) বহুবিকল্পভিত্তিক প্রশ্নাবলী (MCQ) – মান ১ (২০টি)
১. 3, 4 এবং 6 -এর চতুর্থ সমানুপাতী হল—
উত্তর দেখাও
সমাধান:
ধরি, চতুর্থ সমানুপাতী x।সঠিক উত্তর: (খ) 8
২. a:b = 2:3 এবং b:c = 4:5 হলে, a:c কত?
(ক) 2:5
(খ) 8:15
(গ) 3:4
(ঘ) 1:2
উত্তর দেখাও
সমাধান:
a/b = 2/3 এবং b/c = 4/5।সঠিক উত্তর: (খ) 8:15
৩. 8 এবং 18 -এর মধ্য সমানুপাতী হল—
(ক) 10
(খ) 12
(গ) 13
(ঘ) 14
উত্তর দেখাও
সমাধান:
ধরি, মধ্য সমানুপাতী x।সঠিক উত্তর: (খ) 12
৪. a/3 = b/4 = c/7 হলে, (a+b+c)/c -এর মান কত?
উত্তর দেখাও
সমাধান:
ধরি, a/3 = b/4 = c/7 = k।সঠিক উত্তর: (খ) 2
৫. p:q = 5:7 এবং p-q = -4 হলে, 3p+4q -এর মান কত?
(ক) 76
(খ) 86
(গ) 92
(ঘ) 100
উত্তর দেখাও
সমাধান:
ধরি p=5k, q=7k।সঠিক উত্তর: (খ) 86
৬. 2a=3b=4c হলে, a:b:c কত?
(ক) 2:3:4
(খ) 4:3:2
(গ) 6:4:3
(ঘ) 3:4:6
উত্তর দেখাও
সমাধান:
2, 3, 4 এর ল.সা.গু. = 12।সঠিক উত্তর: (গ) 6:4:3
৭. x, 12, y, 27 ক্রমিক সমানুপাতী হলে, x ও y-এর মান হল—
(ক) x=6, y=18
(খ) x=8, y=18
(গ) x=6, y=20
(ঘ) x=8, y=20
উত্তর দেখাও
সমাধান:
যেহেতু ক্রমিক সমানুপাতী, x/12 = 12/y = y/27।সঠিক উত্তর: (খ) x=8, y=18
৮. (a+b):(a-b) = 1:5 হলে, (a²+b²):(a²-b²) -এর মান কত?
(ক) 13:12
(খ) 12:13
(গ) -13:12
(ঘ) -12:13
উত্তর দেখাও
সমাধান:
(a+b)/(a-b) = 1/5 => 5a+5b = a-b => 4a = -6b => a/b = -6/4 = -3/2।সঠিক উত্তর: প্রদত্ত অপশনগুলির মধ্যে কোনটিই সঠিক নয়।
৯. a:b=b:c হলে, a:c সমান হবে—
(ক) a²:b²
(খ) b²:a²
(গ) a:b
(ঘ) b:a
উত্তর দেখাও
সমাধান:
a:b=b:c => b²=ac।সঠিক উত্তর: (ক) a²:b²
১০. 5x-3y : 2x+4y = 11:12 হলে, x:y কত?
(ক) 5:2
(খ) 2:5
(গ) 3:4
(ঘ) 4:3
উত্তর দেখাও
সমাধান:
(5x-3y)/(2x+4y) = 11/12সঠিক উত্তর: প্রদত্ত অপশনগুলির মধ্যে কোনটিই সঠিক নয়।
১১. 2:3, 4:5 এবং 5:6 অনুপাতগুলির মিশ্র অনুপাত হল—
(ক) 4:9 (খ) 1:1 (গ) 3:8 (ঘ) 8:9 উত্তর দেখাও সমাধান: মিশ্র অনুপাত = (2×4×5) : (3×5×6) = 40 : 90 = 4:9।সঠিক উত্তর: (ক) 4:9
১২. x/2 = y/3 = z/5 হলে, (x+y-z)/(x-y+z) -এর মান কত?
উত্তর দেখাও সমাধান: x=2k, y=3k, z=5k।সঠিক উত্তর: (ক) 0
১৩. p, q, r, s সমানুপাতী হলে, কোনটি সত্য?
(ক) p:s :: q:r (খ) p:q :: r:s (গ) p:r :: q:s (ঘ) q:p :: s:r উত্তর দেখাও সমাধান: p, q, r, s সমানুপাতী মানে p/q = r/s বা p:q::r:s।সঠিক উত্তর: (খ) p:q :: r:s
১৪. (a-2) : (a+2) অনুপাতটির ব্যস্ত অনুপাত কোনটি?
(ক) (a+2) : (a-2) (খ) -(a-2) : (a+2) (গ) (a-2) : -(a+2) (ঘ) 1/(a+2) : 1/(a-2) উত্তর দেখাও সমাধান: x:y এর ব্যস্ত অনুপাত হল y:x।সঠিক উত্তর: (ক) (a+2) : (a-2)
১৫. x²:yz এবং y²:zx অনুপাত দুটির যৌগিক অনুপাত কী?
(ক) x:y (খ) y:x (গ) x:z (ঘ) y:z উত্তর দেখাও সমাধান: যৌগিক অনুপাত = (x² × y²) : (yz × zx) = x²y² : xyz² = xy : z²। (প্রশ্নে ত্রুটি আছে, z²:xy হলে x:y উত্তর হত)।সঠিক উত্তর: প্রদত্ত প্রশ্নে ত্রুটি আছে।
১৬. a, b, c, d ক্রমিক সমানুপাতী হলে—
(ক) a:b=c:d (খ) a:c=b:d (গ) a:b=b:c=c:d (ঘ) a:d=b:c উত্তর দেখাও সমাধান: ক্রমিক সমানুপাতী হওয়ার শর্ত হল a/b = b/c = c/d।সঠিক উত্তর: (গ) a:b=b:c=c:d
১৭. 16 এবং 25 এর তৃতীয় সমানুপাতী কত?
(ক) 20 (খ) 400 (গ) 39.0625 (ঘ) 40.0625 উত্তর দেখাও সমাধান: ধরি তৃতীয় সমানুপাতী x। তাহলে 16, 25, x ক্রমিক সমানুপাতী।সঠিক উত্তর: (গ) 39.0625
১৮. দুটি সংখ্যার অনুপাত 5:6 এবং তাদের গ.সা.গু 4 হলে, সংখ্যা দুটির ল.সা.গু কত?
(ক) 20 (খ) 24 (গ) 120 (ঘ) 30 উত্তর দেখাও সমাধান: ধরি সংখ্যা দুটি 5x ও 6x। তাদের গ.সা.গু. x।সঠিক উত্তর: (গ) 120
১৯. a:b=c:d=e:f=2:3 হলে, (a+c+e):(b+d+f) এর মান কত?
(ক) 2:3 (খ) 4:9 (গ) 8:27 (ঘ) 1:1 উত্তর দেখাও সমাধান: সংযোজন প্রক্রিয়া অনুসারে, (a+c+e)/(b+d+f) = প্রতিটি অনুপাতের মানের সমান।সঠিক উত্তর: (ক) 2:3
২০. x:y = 3:4 হলে, (3y-x):(2x+y) -এর মান কত?
(ক) 8:10 (খ) 4:5 (গ) 5:4 (ঘ) 10:8 উত্তর দেখাও সমাধান: ধরি x=3k, y=4k।সঠিক উত্তর: প্রদত্ত প্রশ্নে ত্রুটি আছে।
খ) অতি-সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্নাবলী (VSA) – মান ১ (২০টি)
(i) শূন্যস্থান পূরণ করো (১০টি)
১. a, b, c ক্রমিক সমানুপাতী হলে, b-কে a ও c -এর ________ বলে।
উত্তর দেখাও উত্তর: মধ্য সমানুপাতী
২. দুটি অনুপাতের পূর্বপদ ও উত্তরপদগুলির গুণফলের অনুপাতকে ________ অনুপাত বলে।
উত্তর দেখাও উত্তর: মিশ্র বা যৌগিক
৩. x, y, z ক্রমিক সমানুপাতী হলে y² = ________।
উত্তর দেখাও উত্তর: xz
৪. a/b = c/d হলে, যোগ-ভাগ প্রক্রিয়া দ্বারা পাই (a+b)/(a-b) = ________।
উত্তর দেখাও উত্তর: (c+d)/(c-d)
৫. 3:4 অনুপাতের ব্যস্ত অনুপাত হল ________।
উত্তর দেখাও উত্তর: 4:3
৬. x:y = 2:3 হলে, 3x:2y = ________।
উত্তর দেখাও সমাধান: x=2k, y=3k। 3x:2y = 3(2k):2(3k)=6k:6k=1:1।উত্তর: 1:1
৭. কোনো অনুপাতের পূর্বপদ উত্তরপদের চেয়ে বড় হলে, অনুপাতটিকে ________ অনুপাত বলে।
উত্তর দেখাও উত্তর: গুরু
৮. a:b = c:d হলে, a, b, c, d ________ আছে বলা হয়।
উত্তর দেখাও উত্তর: সমানুপাতে
৯. 4 এবং 9 -এর তৃতীয় সমানুপাতী হল ________।
উত্তর দেখাও সমাধান: 4/9 = 9/x => 4x=81 => x=81/4=20.25।উত্তর: 20.25
১০. 3, 5 -এর দ্বিগুনাণুপাত হল ________।
উত্তর দেখাও সমাধান: 3²:5² = 9:25।উত্তর: 9:25
(ii) সত্য অথবা মিথ্যা লেখো (১০টি)
১. a:b = 2:3 হলে, a ও b উভয়কেই 2 দিয়ে গুণ করলে অনুপাতটি একই থাকে।
উত্তর দেখাও যুক্তি: 2a:2b = 2(a):2(b) = a:b। অনুপাত একই থাকে।উত্তর: সত্য
২. মিশ্র অনুপাত একটি সরল অনুপাত।
উত্তর দেখাও যুক্তি: মিশ্র অনুপাত নির্ণয়ের পর সেটি একটি সরল অনুপাতেই পরিণত হয়।উত্তর: সত্য
৩. a,b,c ক্রমিক সমানুপাতী হলে a:c=a²:b²।
উত্তর দেখাও যুক্তি: b²=ac => a/b=b/c। a/c = (a/b)×(b/c) = (a/b)×(a/b) = a²/b²। সুতরাং a:c=a²:b²।উত্তর: সত্য
৪. দুটি সদৃশ ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলি সমানুপাতী হয়।
উত্তর দেখাও যুক্তি: এটি সদৃশতার সংজ্ঞা।উত্তর: সত্য
৫. a/b = c/d হলে, (a-c)/(b-d) = a/b হবে।
উত্তর দেখাও যুক্তি: a=bk, c=dk। (a-c)/(b-d) = (bk-dk)/(b-d) = k(b-d)/(b-d)=k=a/b।উত্তর: সত্য (যদি b≠d হয়)
৬. 3x=4y=5z হলে, x:y:z = 3:4:5।
উত্তর দেখাও যুক্তি: 3,4,5 এর ল.সা.গু 60। 3x=4y=5z=60k হলে, x=20k, y=15k, z=12k। অনুপাত 20:15:12।উত্তর: মিথ্যা
৭. সমানুপাতের চারটি পদই একই জাতীয় রাশি হতে হবে।
উত্তর দেখাও যুক্তি: না, প্রথম দুটি এবং শেষ দুটি একই জাতীয় রাশি হলেই হবে। যেমন, (5 টাকা) : (10 টাকা) :: (3 কেজি) : (6 কেজি)।উত্তর: মিথ্যা
৮. x:y একটি লঘু অনুপাত হলে x < y।
উত্তর দেখাও যুক্তি: লঘু অনুপাতের সংজ্ঞা অনুযায়ী পূর্বপদ উত্তরপদের চেয়ে ছোট হয়।উত্তর: সত্য
৯. a:b=c:d হলে, a,b,c,d ক্রমিক সমানুপাতী।
উত্তর দেখাও যুক্তি: ক্রমিক সমানুপাতী হতে গেলে a:b=b:c=c:d হতে হবে।উত্তর: মিথ্যা
১০. 1:2 এর দ্বিভাজিত অনুপাত হল 1:√2।
উত্তর দেখাও যুক্তি: দ্বিভাজিত অনুপাত বা sub-duplicate ratio হল পদগুলির বর্গমূলের অনুপাত।উত্তর: সত্য
গ) সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্নাবলী – মান ২ (২০টি)
১. a:b=3:4 এবং b:c=6:5 হলে, a:b:c নির্ণয় করো।
উত্তর দেখাও সমাধান: a:b=3:4 = 9:12 (3 দিয়ে গুণ)।উত্তর: a:b:c = 9:12:10।
২. 2, 4, 6, 8 প্রতিটি পদের সঙ্গে কত যোগ করলে যোগফলগুলি সমানুপাতী হবে?
উত্তর দেখাও সমাধান: ধরি x যোগ করতে হবে।উত্তর: প্রদত্ত প্রশ্নে ত্রুটি আছে।
৩. p, q, r, s সমানুপাতী হলে, প্রমাণ করো যে, (mp+nq):(mr+ns) = (pp+qq):(pr+qs)। (প্রশ্নে ত্রুটি আছে, ডানপক্ষ হওয়া উচিত (ap+bq):(ar+bs))
উত্তর দেখাও সমাধান: p/q=r/s=k => p=qk, r=sk।
৪. x = 3y = 5z হলে, x:y:z নির্ণয় করো।
উত্তর দেখাও সমাধান: ধরি, x = 3y = 5z = k।উত্তর: x:y:z = 15:5:3।
৫. a,b,c ক্রমিক সমানুপাতী হলে, প্রমাণ করো যে, a²b²c²(1/a³+1/b³+1/c³) = a³+b³+c³।
উত্তর দেখাও সমাধান: b²=ac।
৬. যদি (3x-y)/(x+5y)=1/2 হয়, তাহলে (x+2y)/(x-2y) এর মান নির্ণয় করো।
উত্তর দেখাও সমাধান: 6x-2y=x+5y => 5x=7y => x/y=7/5।উত্তর: -17/3।
৭. x:y=2:3 হলে, (3x+4y):(x+2y) এর মান নির্ণয় করো।
উত্তর দেখাও সমাধান: x=2k, y=3k।উত্তর: 9:4।
৮. 5, 10, x, 26 সমানুপাতী হলে x-এর মান কত?
উত্তর দেখাও সমাধান: 5/10=x/26 => 1/2=x/26 => 2x=26 => x=13।উত্তর: x=13।
৯. a:b=3:2, b:c=3:5 হলে a:b:c কত?
উত্তর দেখাও সমাধান: a:b=3:2=9:6। b:c=3:5=6:10।উত্তর: 9:6:10।
১০. 6, 12 এর তৃতীয় সমানুপাতী নির্ণয় করো।
উত্তর দেখাও সমাধান: ধরি তৃতীয় সমানুপাতী x।উত্তর: 24।
১১. p-q:p+q = 2:3 হলে, (p²+q²):(p²-q²) এর মান নির্ণয় করো।
উত্তর দেখাও সমাধান: (p-q)/(p+q)=2/3। যোগ-ভাগ করে, 2p/(-2q) = 5/(-1) => -p/q=-5 => p/q=5।উত্তর: 13:12।
১২. 1/p, 1/q, 1/r ক্রমিক সমানুপাতী হলে, p,q,r এর মধ্যে সম্পর্ক কী?
উত্তর দেখাও সমাধান: (1/q)² = (1/p)(1/r) => 1/q²=1/pr => q²=pr।উত্তর: p,q,r ক্রমিক সমানুপাতী।
১৩. a, b এর দ্বিগুনাণুপাত b, c এর দ্বিগুনাণুপাতের সমান হলে a,b,c এর মধ্যে সম্পর্ক কী?
উত্তর দেখাও সমাধান: a²:b² = b²:c² => a²/b²=b²/c² => a²c²=b⁴ => ac=b²।উত্তর: a,b,c ক্রমিক সমানুপাতী।
১৪. (a+b)/(a-b) = x/y হলে দেখাও যে a/b = (x+y)/(x-y)।
উত্তর দেখাও সমাধান: যোগ-ভাগ প্রক্রিয়া দ্বারা,
১৫. a,b,c,d সমানুপাতী হলে, দেখাও যে (a²+c²):(b²+d²) = ac:bd।
উত্তর দেখাও সমাধান: a/b=c/d=k => a=bk, c=dk।
১৬. x/lm = y/mn = z/nl হলে, প্রমাণ করো যে x/l=y/m=z/n।
উত্তর দেখাও সমাধান: প্রতিটি অনুপাতকে n, l, m দিয়ে গুণ করে পাই,
১৭. a,b,c,d ক্রমিক সমানুপাতী হলে, প্রমাণ করো যে, (b-c)²+(c-a)²+(b-d)²=(a-d)²।
উত্তর দেখাও সমাধান: b=ak, c=ak², d=ak³।
১৮. দুটি সংখ্যার যোগফল 40 এবং ভেদফল 4 হলে, সংখ্যা দুটির অনুপাত কত?
উত্তর দেখাও সমাধান: x+y=40, x-y=4। যোগ করে 2x=44, x=22।উত্তর: 11:9।
১৯. x/a = y/b = z/c হলে, দেখাও যে (x²+y²+z²)(a²+b²+c²) = (ax+by+cz)²।
উত্তর দেখাও সমাধান: ধরি x/a=y/b=z/c=k। x=ak, y=bk, z=ck।
২০. p ও q এর মধ্য সমানুপাতী x হলে, প্রমাণ করো p²-x²+q² = x⁴(1/p²-1/x²+1/q²)।
উত্তর দেখাও সমাধান: x²=pq।
ঘ) রচনাধর্মী প্রশ্নাবলী – মান ৩ (১০টি)
১. যদি a/(b+c) = b/(c+a) = c/(a+b) হয়, তবে প্রমাণ করো যে, প্রতিটি অনুপাতের মান 1/2 অথবা -1 হবে (a+b+c≠0 ধরে)।
উত্তর দেখাও সমাধান: ধরি, প্রতিটি অনুপাতের মান k।অথবা, যদি a+b+c = 0 হয়, তবে b+c=-a।উত্তর: প্রতিটি অনুপাতের মান 1/2 অথবা -1। (প্রমাণিত)
২. x = 8ab/(a+b) হলে, (x+4a)/(x-4a) + (x+4b)/(x-4b) এর মান নির্ণয় করো।
উত্তর দেখাও সমাধান: x/4a = 2b/(a+b)।উত্তর: মান 2।
৩. a,b,c,d ক্রমিক সমানুপাতী হলে, প্রমাণ করো যে, (a²-b²)(c²-d²) = (b²-c²)²।
উত্তর দেখাও সমাধান: b=ak, c=ak², d=ak³।
৪. এক প্রকার শরবতে জল ও সিরাপের অনুপাত 5:2। এই শরবতের কতটুকু অংশ তুলে নিয়ে তার পরিবর্তে সমপরিমাণ জল ঢাললে নতুন মিশ্রণে জল ও সিরাপের পরিমাণ সমান সমান হবে?
উত্তর দেখাও সমাধান: ধরি মোট শরবত 7 একক। জল 5, সিরাপ 2।উত্তর: 3/10 অংশ।
৫. যদি x/(b+c-a) = y/(c+a-b) = z/(a+b-c) হয়, তবে প্রমাণ করো যে, (b-c)x + (c-a)y + (a-b)z = 0।
উত্তর দেখাও সমাধান: ধরি প্রতিটি অনুপাত k।
৬. a:b=c:d হলে, প্রমাণ করো যে, (ma+nc)/(mb+nd) = (pa-qc)/(pb-qd)।
উত্তর দেখাও সমাধান: a/b=c/d=k => a=bk, c=dk।
৭. x/y ∝ x+y এবং y/x ∝ x-y হলে, দেখাও যে x²-y² = ধ্রুবক।
উত্তর দেখাও সমাধান: x/y = k₁(x+y) => x=k₁y(x+y) …(i)
৮. (a+b+c+d)(a-b-c+d) = (a+b-c-d)(a-b+c-d) হলে, প্রমাণ করো যে a:b=c:d।
উত্তর দেখাও সমাধান: সাজিয়ে পাই, [(a+d)+(b+c)][(a+d)-(b+c)] = [(a-d)+(b-c)][(a-d)-(b-c)]।
৯. তিনটি ক্রমিক সমানুপাতী সংখ্যার গুণফল 64 হলে, তাদের মধ্য সমানুপাতী কত? সংখ্যা তিনটি নির্ণয় করো।
উত্তর দেখাও সমাধান: ধরি সংখ্যা তিনটি a/k, a, ak।উত্তর: মধ্য সমানুপাতী 4। সংখ্যা তিনটি নির্ণয় করা সম্ভব নয়।
