১০. একটি ঘনকের প্রতিটি ধারের দৈর্ঘ্য 10% বৃদ্ধি করলে, তার সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?
সমাধান:নতুন বাহু a’ = a+0.1a=1.1a। নতুন ক্ষেত্রফল S’ = 6(1.1a)²=6(1.21a²)=1.21(6a²)=1.21S। বৃদ্ধি = 1.21S-S=0.21S। শতকরা বৃদ্ধি = (0.21S/S)×100% = 21%। উত্তর: 21%।
১১. একটি ঘরের দৈর্ঘ্য 8 মিটার, প্রস্থ 6 মিটার। যদি ঘরটির চার দেওয়ালের ক্ষেত্রফল 112 বর্গমিটার হয়, তবে উচ্চতা কত?
১৯. একটি খোলা বাক্সের ভিতরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে 10, 8 ও 6 সেমি। বাক্সটির ভিতরের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:খোলা বাক্স, তাই একটি তল (ধরি ছাদ) নেই। ক্ষেত্রফল = চার দেওয়ালের ক্ষেত্রফল + মেঝের ক্ষেত্রফল = 2(10+8)×6 + 10×8 = 2(18)×6 + 80 = 216+80=296 বর্গসেমি। উত্তর: 296 বর্গসেমি।
২০. একটি আয়তঘনের দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ, প্রস্থ অর্ধেক এবং উচ্চতা অপরিবর্তিত থাকলে, আয়তনের কী পরিবর্তন হবে?
সমাধান:নতুন আয়তন = (2l)×(b/2)×h = lbh = পুরনো আয়তন। উত্তর: আয়তনের কোনো পরিবর্তন হবে না।
ঘ) রচনাধর্মী প্রশ্নাবলী – মান ৪ (১০টি)
১. একটি আয়তঘনাকৃতি ঘরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে 15 মি, 10 মি ও 8 মি। যদি ঘরটির চার দেওয়ালে প্রতি বর্গমিটারে 12 টাকা হিসাবে প্লাস্টার করতে এবং ছাদে প্রতি বর্গমিটারে 15 টাকা হিসাবে চুনকাম করতে মোট কত খরচ হবে?
মোট খরচ = 4800 + 2250 = 7050 টাকা। উত্তর: মোট 7050 টাকা খরচ হবে।
২. একটি ঘনকাকৃতি সম্পূর্ণ জলপূর্ণ চৌবাচ্চা থেকে সমান মাপের 64 বালতি জল তুলে নিলে চৌবাচ্চাটির 1/3 অংশ জলপূর্ণ থাকে। যদি চৌবাচ্চার একটি ধারের দৈর্ঘ্য 1.2 মিটার হয়, তবে প্রতিটি বালতিতে কত লিটার জল ধরে?
সমাধান:চৌবাচ্চার ধারের দৈর্ঘ্য = 1.2 মিটার = 12 ডেসিমি। চৌবাচ্চার আয়তন = (12)³ = 1728 ঘনডেসিমি = 1728 লিটার। জল তুলে নেওয়া হয়েছে = 1 – 1/3 = 2/3 অংশ। তুলে নেওয়া জলের পরিমাণ = 1728 × (2/3) = 576 × 2 = 1152 লিটার। এই 1152 লিটার জল 64টি বালতিতে ধরে। প্রতিটি বালতিতে জল ধরে = 1152 / 64 = 18 লিটার। উত্তর: প্রতিটি বালতিতে 18 লিটার জল ধরে।
৩. একটি আয়তঘনাকার বাক্সের ভিতরের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে 10 সেমি, 8 সেমি ও 6 সেমি এবং বাক্সটির দেওয়ালের বেধ 5 মিমি। যদি 1 ঘনসেমি কাঠের ওজন 2 গ্রাম হয়, তবে বাক্সটির ওজন কত?
৪. 2.1 মিটার দীর্ঘ, 1.5 মিটার প্রশস্ত একটি আয়তঘনাকার চৌবাচ্চার অর্ধেক জলপূর্ণ আছে। ওই চৌবাচ্চায় আরও 630 লিটার জল ঢাললে জলের গভীরতা কতটুকু বৃদ্ধি পাবে?
সমাধান:ঢালা জলের আয়তন = 630 লিটার = 630 ঘনডেসিমি। চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য = 2.1 মিটার = 21 ডেসিমি। চৌবাচ্চার প্রস্থ = 1.5 মিটার = 15 ডেসিমি। ধরি, জলের গভীরতা h ডেসিমি বৃদ্ধি পাবে। ঢালা জলের আয়তন = চৌবাচ্চার ভূমির ক্ষেত্রফল × গভীরতা বৃদ্ধি 630 = (21 × 15) × h h = 630 / (21 × 15) = 630 / 315 = 2 ডেসিমি। উত্তর: জলের গভীরতা 2 ডেসিমি বৃদ্ধি পাবে।
৫. একটি গ্রামের আয়তক্ষেত্রাকার মাঠের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে 20 মিটার ও 15 মিটার। ওই মাঠের ভিতরে চারটি কোনায় 4 মিটার দৈর্ঘ্যের বাহুবিশিষ্ট চারটি বর্গাকার গর্ত করে মাটি তোলা হল। বাকি জমির উপর ওই মাটি সমানভাবে ছড়িয়ে দেওয়া হলে, জমির উচ্চতা কতটুকু বৃদ্ধি পাবে?
সমাধান:ধরি গর্তগুলির গভীরতা h মিটার। (প্রশ্নে গভীরতা দেওয়া নেই, এটি একটি অসম্পূর্ণ প্রশ্ন। আমরা ধরে নিচ্ছি গর্তগুলির গভীরতা 2 মিটার)। একটি গর্তের আয়তন = 4×4×2 = 32 ঘনমিটার। চারটি গর্তের মোট আয়তন = 4 × 32 = 128 ঘনমিটার। (এটি তোলা মাটির আয়তন)। মাঠের ক্ষেত্রফল = 20×15 = 300 বর্গমিটার। চারটি গর্তের মোট ক্ষেত্রফল = 4 × (4×4) = 64 বর্গমিটার। বাকি জমির ক্ষেত্রফল যেখানে মাটি ছড়ানো হবে = 300 – 64 = 236 বর্গমিটার। ধরি উচ্চতা বৃদ্ধি পাবে H মিটার। মাটির আয়তন = বাকি জমির ক্ষেত্রফল × উচ্চতা বৃদ্ধি 128 = 236 × H => H = 128/236 ≈ 0.54 মিটার। উত্তর: জমির উচ্চতা প্রায় 0.54 মিটার বৃদ্ধি পাবে (গর্তের গভীরতা 2 মিটার ধরে)।
৬. একটি আয়তঘনের মাত্রাগুলির যোগফল 12 সেমি এবং সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 94 বর্গসেমি। আয়তঘনটির মধ্যে যে বৃহত্তম মাপের রড রাখা যাবে তার দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
সমাধান:l+b+h = 12, 2(lb+bh+hl)=94। আমাদের কর্ণের দৈর্ঘ্য √(l²+b²+h²) নির্ণয় করতে হবে। (l+b+h)² = l²+b²+h²+2(lb+bh+hl) 12² = l²+b²+h² + 94 144 = l²+b²+h² + 94 l²+b²+h² = 144 – 94 = 50। কর্ণের দৈর্ঘ্য = √50 = √(25×2) = 5√2 সেমি। উত্তর: বৃহত্তম রডের দৈর্ঘ্য 5√2 সেমি।
৭. 48 মিটার লম্বা এবং 31.5 মিটার চওড়া একখণ্ড নিচু জমিকে 6.5 ডেসিমি উঁচু করার জন্য পাশের 27 মিটার লম্বা এবং 18.2 মিটার চওড়া একটি জমি গর্ত করে মাটি তোলা হবে। গর্তটি কত মিটার গভীর করতে হবে?
সমাধান:প্রয়োজনীয় মাটির আয়তন = জমির ক্ষেত্রফল × উচ্চতা বৃদ্ধি = (48 মি) × (31.5 মি) × (6.5 ডেসিমি) = 48 × 31.5 × 0.65 ঘনমিটার = 982.8 ঘনমিটার। গর্তের ক্ষেত্রফল = 27 × 18.2 = 491.4 বর্গমিটার। ধরি গর্তের গভীরতা h মিটার। গর্তের আয়তন = প্রয়োজনীয় মাটির আয়তন 491.4 × h = 982.8 h = 982.8 / 491.4 = 2 মিটার। উত্তর: গর্তটি 2 মিটার গভীর করতে হবে।
৮. একটি ঘনকের প্রতিটি বাহুকে 50% কমানো হল। মূল ঘনক ও পরিবর্তিত ঘনকের আয়তনের অনুপাত কত হবে?
সমাধান:ধরি মূল ঘনকের বাহু a। বাহু 50% কমানো হলে, নতুন বাহু = a – (50/100)a = a – 0.5a = 0.5a = a/2। মূল ঘনকের আয়তন = a³। পরিবর্তিত ঘনকের আয়তন = (a/2)³ = a³/8। অনুপাত = মূল আয়তন : পরিবর্তিত আয়তন = a³ : a³/8 = 1 : 1/8 = 8:1। উত্তর: মূল ঘনক ও পরিবর্তিত ঘনকের আয়তনের অনুপাত 8:1।
৯. একটি সমকোণী চৌপলের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতার অনুপাত 3:2:1 এবং উহার আয়তন 384 ঘনসেমি। চৌপলটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল কত?
