নির্ণায়ক (Determinants)

উচ্চ মাধ্যমিক গণিত সাজেশন ২০২৬ (সেমিস্টার ১)

A. নীচের প্রশ্নগুলি থেকে সঠিক উত্তর বেছে নাও: (60 MCQ)

1. নির্ণায়ক

23
45
-এর মান কত?

  1. 2
  2. -2
  3. 22
  4. -22
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) -2
ব্যাখ্যা: নির্ণায়কের মান = (2 × 5) – (3 × 4) = 10 – 12 = -2।

2. একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স A-কে সিঙ্গুলার (singular) বা অব্যতিক্রমী বলা হয় যদি-

  1. det(A) = 1
  2. det(A) ≠ 0
  3. det(A) = 0
  4. A একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স হয়
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) det(A) = 0
ব্যাখ্যা: যে বর্গ ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়কের মান শূন্য, তাকে সিঙ্গুলার ম্যাট্রিক্স বলে।

3. একটি নির্ণায়কের দুটি সারি বা দুটি স্তম্ভ পরস্পর বিনিময় করলে, নির্ণায়কের মানের কী পরিবর্তন হয়?

  1. মান অপরিবর্তিত থাকে
  2. চিহ্ন পরিবর্তিত হয়
  3. মান শূন্য হয়ে যায়
  4. মান দ্বিগুণ হয়ে যায়
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) চিহ্ন পরিবর্তিত হয়
ব্যাখ্যা: এটি নির্ণায়কের একটি মৌলিক ধর্ম।

4. যদি একটি নির্ণায়কের দুটি সারি বা দুটি স্তম্ভ অভিন্ন হয়, তবে তার মান-

  1. 1
  2. -1
  3. 0
  4. অসীম
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) 0
ব্যাখ্যা: এটি নির্ণায়কের একটি ধর্ম।

5. একটি 3×3 ক্রমের বিপ্রতিসম (skew-symmetric) ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়কের মান কত?

  1. 1
  2. -1
  3. 0
  4. 3
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) 0
ব্যাখ্যা: যেকোনো বিজোড় ক্রমের বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়কের মান সর্বদা শূন্য হয়।

6. (1,2), (3,4) এবং (5,6) বিন্দু তিনটি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?

  1. 1
  2. 2
  3. 0
  4. 5
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) 0
ব্যাখ্যা: ক্ষেত্রফল = ½ |1(4-6) – 3(2-6) + 5(2-4)| = ½ |-2 + 12 – 10| = 0। ক্ষেত্রফল শূন্য হওয়ায় বিন্দু তিনটি সমরেখ।

7. A একটি n×n ম্যাট্রিক্স হলে, A(adj A) = ?

  1. |A|
  2. |A| In
  3. In
  4. O
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) |A| In
ব্যাখ্যা: এটি অ্যাডজয়েন্ট ম্যাট্রিক্সের একটি মৌলিক ধর্ম।

8. x + y = 3 এবং 2x + 2y = 6 সমীকরণতন্ত্রের-

  1. একটি অনন্য সমাধান আছে
  2. কোনো সমাধান নেই
  3. অসংখ্য সমাধান আছে
  4. শুধুমাত্র শূন্য সমাধান আছে
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) অসংখ্য সমাধান আছে
ব্যাখ্যা: এখানে, a₁/a₂ = 1/2, b₁/b₂ = 1/2, c₁/c₂ = 3/6 = 1/2। যেহেতু a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂, সমীকরণ দুটি সমাপতিত এবং এদের অসংখ্য সমাধান আছে।

9. A =

23
14
হলে, 4-এর সহগুণনীয়ক (cofactor) কত?

  1. 2
  2. -2
  3. 3
  4. -1
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) 2
ব্যাখ্যা: 4 (a₂₂) পদের সহগুণনীয়ক = (-1)2+2 M₂₂ = 1 × |2| = 2।

10. একটি ম্যাট্রিক্স A-এর বিপরীত (inverse) A⁻¹ নির্ণয়ের সূত্রটি কী?

  1. (adj A) / |A|
  2. |A| / (adj A)
  3. adj(AT) / |A|
  4. AT / |A|
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) (adj A) / |A|
ব্যাখ্যা: এটি বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয়ের সংজ্ঞা, যেখানে |A| ≠ 0।

11. যদি একটি নির্ণায়কের কোনো সারির প্রতিটি পদকে k দ্বারা গুণ করা হয়, তবে নির্ণায়কের মান-

  1. k গুণ হয়
  2. k² গুণ হয়
  3. অপরিবর্তিত থাকে
  4. 1/k গুণ হয়
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) k গুণ হয়
ব্যাখ্যা: এটি নির্ণায়কের স্কেলার গুণনের ধর্ম।

12. নির্ণায়ক

1ωω²
ωω²1
ω²1ω
-এর মান কত? (ω হল 1-এর কাল্পনিক ঘনমূল)

  1. 1
  2. 0
  3. 3
  4. -1
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) 0
ব্যাখ্যা: R₁ → R₁ + R₂ + R₃ করলে, প্রথম সারির প্রতিটি পদ হবে 1+ω+ω² = 0। সুতরাং নির্ণায়কের মান শূন্য।

13. A একটি n×n ম্যাট্রিক্স হলে, |adj A| = ?

  1. |A|
  2. |A|ⁿ
  3. |A|n-1
  4. |A|n+1
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) |A|n-1
ব্যাখ্যা: এটি অ্যাডজয়েন্ট ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়কের একটি গুরুত্বপূর্ণ ধর্ম।

14. x + y = 2 এবং 2x + 2y = 5 সমীকরণতন্ত্রটি-

  1. সঙ্গতিপূর্ণ (Consistent)
  2. অসঙ্গতিপূর্ণ (Inconsistent)
  3. অসংখ্য সমাধানযুক্ত
  4. (a) এবং (c) উভয়ই
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) অসঙ্গতিপূর্ণ (Inconsistent)
ব্যাখ্যা: এখানে a₁/a₂ = 1/2, b₁/b₂ = 1/2 কিন্তু c₁/c₂ = 2/5। যেহেতু a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂, রেখা দুটি সমান্তরাল এবং কোনো সমাধান নেই।

15. A =

ab
cd
হলে, adj A = ?

  1. db
    ca
  2. d-c
    -ba
  3. d-b
    -ca
  4. -db
    c-a
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c)

d-b
-ca

ব্যাখ্যা: 2×2 ম্যাট্রিক্সের অ্যাডজয়েন্ট নির্ণয়ের জন্য প্রধান কর্ণের পদগুলি স্থান বিনিময় করে এবং অন্য দুটি পদের চিহ্ন পরিবর্তিত হয়।

16. একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলি (x₁, y₁), (x₂, y₂) এবং (x₃, y₃) হলে, তার ক্ষেত্রফলের সূত্র কোনটি?

  1. ½ |x₁(y₂-y₃) + x₂(y₃-y₁) + x₃(y₁-y₂)|
  2. ½ |det(A)| যেখানে A সংশ্লিষ্ট ম্যাট্রিক্স
  3. (a) এবং (b) উভয়ই
  4. কোনোটিই নয়
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) (a) এবং (b) উভয়ই
ব্যাখ্যা: নির্ণায়কের সাহায্যে ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্রটি স্থানাঙ্ক জ্যামিতির সূত্রের সমতুল্য।

17. একটি নির্ণায়কের কোনো সারির পদগুলির সাথে অন্য কোনো সারির অনুরূপ পদগুলির সহগুণনীয়ক গুণ করে যোগ করলে যোগফল কত হয়?

  1. 1
  2. নির্ণায়কের মান
  3. 0
  4. -1
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) 0
ব্যাখ্যা: এটি নির্ণায়কের একটি গুরুত্বপূর্ণ ধর্ম।

18. নির্ণায়ক

1ab+c
1bc+a
1ca+b
-এর মান কত?

  1. a+b+c
  2. 1
  3. 0
  4. abc
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) 0
ব্যাখ্যা: C₃ → C₃ + C₂ করলে, তৃতীয় স্তম্ভের প্রতিটি পদ হবে a+b+c, যা সাধারণ উৎপাদক হিসেবে বাইরে নিলে তৃতীয় স্তম্ভ ও প্রথম স্তম্ভ অভিন্ন হয়।

19. A একটি 3×3 ম্যাট্রিক্স এবং |A|=2 হলে, |3A|-এর মান কত?

  1. 6
  2. 18
  3. 27
  4. 54
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (d) 54
ব্যাখ্যা: |kA| = kⁿ|A|। এখানে, |3A| = 3³|A| = 27 × 2 = 54।

20. (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹ সূত্রটি কখন প্রযোজ্য?

  1. সর্বদা
  2. যদি A এবং B উভয়ই বিপরীতযোগ্য হয়
  3. যদি AB = BA হয়
  4. যদি A ও B বর্গ ম্যাট্রিক্স হয়
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) যদি A এবং B উভয়ই বিপরীতযোগ্য হয়
ব্যাখ্যা: বিপরীতের অস্তিত্ব থাকলেই এই সূত্রটি প্রযোজ্য।

21. একটি নির্ণায়কের মাইনর (Minor) এবং সহগুণনীয়কের (Cofactor) মধ্যে সম্পর্ক কী?

  1. Cij = Mij
  2. Cij = (-1)i+j Mij
  3. Cij = (-1)i-j Mij
  4. Mij = (-1)i+j Cij
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) Cij = (-1)i+j Mij

22. সমসত্ত্ব রৈখিক সমীকরণতন্ত্রের (Homogeneous system) সর্বদা একটি সমাধান থাকে, যা হল-

  1. অনন্য সমাধান
  2. তুচ্ছ সমাধান (Trivial solution)
  3. অ-তুচ্ছ সমাধান (Non-trivial solution)
  4. কোনো সমাধান নেই
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) তুচ্ছ সমাধান (Trivial solution)
ব্যাখ্যা: x=0, y=0, z=0 সর্বদা একটি সমাধান।

23. নির্ণায়ক

xy
-yx
-এর মান কত?

  1. x²-y²
  2. x²+y²
  3. 0
  4. 2xy
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) x²+y²
ব্যাখ্যা: মান = x(x) – y(-y) = x² + y²।

24. যদি A একটি অর্থোগোনাল ম্যাট্রিক্স হয়, তবে det(A)-এর মান কত হতে পারে?

  1. 0
  2. 1
  3. -1
  4. 1 অথবা -1
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (d) 1 অথবা -1
ব্যাখ্যা: AAT=I => det(A)det(AT)=det(I) => (det(A))²=1 => det(A)=±1।

25. (k, 0), (4, 0), (0, 2) বিন্দু তিনটি সমরেখ হলে, k-এর মান কত?

  1. 0
  2. 2
  3. 4
  4. -4
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) 4
ব্যাখ্যা: তিনটি বিন্দু সমরেখ হলে, তাদের দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল শূন্য। ½|k(0-2)-4(0-2)+0(..)|=0 => |-2k+8|=0 => k=4।

26. det(I) = ?, যেখানে I হল একক ম্যাট্রিক্স।

  1. 0
  2. 1
  3. n
  4. -1
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) 1
ব্যাখ্যা: একক ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়কের মান সর্বদা 1।

27. একটি ম্যাট্রিক্স এবং তার অ্যাডজয়েন্টের গুণফল হল একটি-

  1. শূন্য ম্যাট্রিক্স
  2. একক ম্যাট্রিক্স
  3. স্কেলার ম্যাট্রিক্স
  4. সারি ম্যাট্রিক্স
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) স্কেলার ম্যাট্রিক্স
ব্যাখ্যা: A(adj A) = |A|I, যা একটি স্কেলার ম্যাট্রিক্স।

28. একটি নির্ণায়কের দুটি সংলগ্ন স্তম্ভ বিনিময় করলে, নির্ণায়কের মান-

  1. দ্বিগুণ হয়
  2. অর্ধেক হয়
  3. চিহ্ন পরিবর্তিত হয়
  4. একই থাকে
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) চিহ্ন পরিবর্তিত হয়

29. Cramer-এর নিয়ম ব্যবহার করা হয়-

  1. ম্যাট্রিক্সের বিপরীত নির্ণয়ে
  2. রৈখিক সমীকরণতন্ত্রের সমাধানে
  3. ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ে
  4. ম্যাট্রিক্সের ক্রম নির্ণয়ে
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) রৈখিক সমীকরণতন্ত্রের সমাধানে

30. যদি A একটি 3×3 ম্যাট্রিক্স হয় এবং |A|≠0, তবে |A⁻¹| = ?

  1. |A|
  2. 1/|A|
  3. -|A|
  4. 0
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) 1/|A|
ব্যাখ্যা: AA⁻¹=I => |A||A⁻¹|=1 => |A⁻¹|=1/|A|।

31. একটি ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোজ নিলে তার নির্ণায়কের মানের কী পরিবর্তন হয়?

  1. চিহ্ন বদলায়
  2. অপরিবর্তিত থাকে
  3. শূন্য হয়ে যায়
  4. বর্গ হয়ে যায়
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) অপরিবর্তিত থাকে
ব্যাখ্যা: det(A) = det(AT)।

32. |adj(adj A)| = ? (A একটি n×n ম্যাট্রিক্স)

  1. |A|n-1
  2. |A|n-2
  3. |A|(n-1)²
  4. |A|
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) |A|(n-1)²

33. একটি ঊর্ধ্ব ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়কের মান হল-

  1. কর্ণের পদগুলির যোগফল
  2. কর্ণের পদগুলির গুণফল
  3. শূন্য
  4. এক
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) কর্ণের পদগুলির গুণফল

34. AX=B সমীকরণতন্ত্রের অনন্য সমাধান থাকবে যদি-

  1. |A|=0
  2. |A|≠0
  3. B=O
  4. A=I
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) |A|≠0

35. যদি একটি নির্ণায়কের কোনো সারি বা স্তম্ভের সব পদ শূন্য হয়, তবে নির্ণায়কের মান-

  1. 1
  2. -1
  3. 0
  4. অসংজ্ঞাত
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) 0

36. A⁻¹-এর অস্তিত্ব থাকবে যদি A হয় একটি-

  1. আয়তাকার ম্যাট্রিক্স
  2. সিঙ্গুলার বর্গ ম্যাট্রিক্স
  3. নন-সিঙ্গুলার বর্গ ম্যাট্রিক্স
  4. শূন্য ম্যাট্রিক্স
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) নন-সিঙ্গুলার বর্গ ম্যাট্রিক্স

37. একটি 2×2 ক্রমের বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়কের মান সর্বদা-

  1. একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা
  2. একটি ঋণাত্মক সংখ্যা
  3. শূন্য
  4. ধনাত্মক
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা
ব্যাখ্যা: A=

0x
-x0
হলে, |A|=x², যা একটি পূর্ণবর্গ।

38. A এবং B দুটি n×n ম্যাট্রিক্স হলে, |AB| = ?

  1. |A||B|
  2. |B||A|
  3. |A|+|B|
  4. (a) এবং (b) উভয়ই
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (d) (a) এবং (b) উভয়ই

39. A(adj A) = (adj A)A – এই সম্পর্কটি কি সত্য?

  1. হ্যাঁ
  2. না
  3. কেবলমাত্র A প্রতিসম হলে
  4. কেবলমাত্র A বিপ্রতিসম হলে
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) হ্যাঁ

40. নির্ণায়কের ধর্ম অনুযায়ী, Ri ↔ Rj মানে-

  1. i-তম সারিকে j-তম সারির সাথে যোগ করা
  2. i-তম সারিকে j-তম সারির সাথে বিনিময় করা
  3. i-তম সারিকে k দ্বারা গুণ করা
  4. কোনোটিই নয়
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) i-তম সারিকে j-তম সারির সাথে বিনিময় করা

41. নির্ণায়ক

123
456
789
-এর মান কত?

  1. 1
  2. -1
  3. 0
  4. 10
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) 0
ব্যাখ্যা: R₂→R₂-R₁, R₃→R₃-R₁ করলে, R₂=(3,3,3), R₃=(6,6,6)। R₃=2R₂ হওয়ায় দুটি সারি সমানুপাতিক, তাই মান শূন্য।

42. Ax=O সমসত্ত্ব সমীকরণতন্ত্রের অ-তুচ্ছ সমাধান থাকবে যদি-

  1. |A|=0
  2. |A|≠0
  3. A একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স হয়
  4. A একটি একক ম্যাট্রিক্স হয়
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) |A|=0

43. একটি ম্যাট্রিক্সের সারি ও স্তম্ভের সংখ্যা সমান না হলে, তার নির্ণায়কের মান-

  1. শূন্য হয়
  2. এক হয়
  3. অসংজ্ঞাত
  4. বাস্তব সংখ্যা হয়
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) অসংজ্ঞাত
ব্যাখ্যা: নির্ণায়ক শুধুমাত্র বর্গ ম্যাট্রিক্সের জন্য সংজ্ঞায়িত।

44. যদি A একটি 3×3 ম্যাট্রিক্স হয়, তবে det(2adj(3A)) = ?

  1. 2³ 3⁶ det(A)²
  2. 2³ 3³ det(A)²
  3. 2 3² det(A)
  4. কোনোটিই নয়
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) 2³ 3⁶ det(A)²
ব্যাখ্যা: |k adj(B)| = kⁿ |adj B| = kⁿ|B|ⁿ⁻¹। এখানে k=2, B=3A, n=3। |2 adj(3A)| = 2³ |adj(3A)| = 8 |3A|² = 8 (3³|A|)² = 8 × 3⁶ × |A|²।

45. যদি A একটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্স হয়, তবে adj(A) হবে একটি-

  1. প্রতিসম ম্যাট্রিক্স
  2. বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স
  3. শূন্য ম্যাট্রিক্স
  4. কর্ণ ম্যাট্রিক্স
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) প্রতিসম ম্যাট্রিক্স

46. একটি 3×3 ক্রমের নির্ণায়কের বিস্তার কয়টি উপায়ে করা যায়?

  1. 1
  2. 3
  3. 6
  4. 9
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) 6
ব্যাখ্যা: 3টি সারি এবং 3টি স্তম্ভ বরাবর।

47. |A⁻¹| = ?

  1. det(A)
  2. 1/det(A)
  3. adj(A)
  4. det(AT)
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) 1/det(A)

48. (A⁻¹)-1 = ?

  1. A
  2. A²
  3. I
  4. O
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) A

49. যদি A একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স হয়, তবে A – λI একটি সিঙ্গুলার ম্যাট্রিক্স হলে, λ-কে কী বলা হয়?

  1. আইগেনভ্যালু (Eigenvalue)
  2. আইগেনভেক্টর
  3. মাইনর
  4. কোফ্যাক্টর
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) আইগেনভ্যালু (Eigenvalue)

50. নির্ণায়ক

sin10°-cos10°
sin80°cos80°
-এর মান কত?

  1. 0
  2. 1
  3. -1
  4. 1/2
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) 1
ব্যাখ্যা: sin10°cos80° + cos10°sin80° = sin(10°+80°) = sin90° = 1।

51. |An| = ?

  1. n|A|
  2. |A|n
  3. |A|+n
  4. |A|-n
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) |A|n

52. একটি 1×1 ম্যাট্রিক্স [a]-এর নির্ণায়কের মান কত?

  1. 1
  2. 0
  3. a
  4. -a
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) a

53. সমীকরণতন্ত্র x+y+z=6, x-y+z=2, 2x+y-z=1 এর ক্ষেত্রে det(A) কত?

  1. -2
  2. -4
  3. -6
  4. 0
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) -6
ব্যাখ্যা: |A| = 1(1-1)-1(-1-2)+1(1+2) = 0+3+3 = 6. প্রশ্নে ভুল আছে।

54. যদি নির্ণায়কের একটি সারি অন্য একটি সারির k গুণ হয়, তবে নির্ণায়কের মান কত?

  1. k
  2. 1
  3. 0
  4. -k
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) 0

55. অ্যাডজয়েন্ট ম্যাট্রিক্স হল-

  1. মাইনর ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোজ
  2. কোফ্যাক্টর ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোজ
  3. কোফ্যাক্টর ম্যাট্রিক্স
  4. মাইনর ম্যাট্রিক্স
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) কোফ্যাক্টর ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোজ

56. A একটি 2×2 ম্যাট্রিক্স এবং |A|=3 হলে, |5A| = ?

  1. 15
  2. 25
  3. 50
  4. 75
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (d) 75
ব্যাখ্যা: |5A| = 5²|A| = 25 × 3 = 75।

57. |A|=0 হলে, A⁻¹-এর-

  1. অস্তিত্ব আছে
  2. অস্তিত্ব নেই
  3. মান শূন্য
  4. মান এক
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) অস্তিত্ব নেই

58.

1021836
134
1736
-এর মান কত?

  1. 0
  2. 1
  3. 6
  4. 102
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) 0
ব্যাখ্যা: R₁ = 6 × R₃। যেহেতু দুটি সারি সমানুপাতিক, মান শূন্য।

59. একটি ম্যাট্রিক্স এবং তার বিপরীত ম্যাট্রিক্সের গুণফল হল-

  1. শূন্য ম্যাট্রিক্স
  2. একক ম্যাট্রিক্স
  3. স্কেলার ম্যাট্রিক্স
  4. মূল ম্যাট্রিক্স
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) একক ম্যাট্রিক্স

60. নির্ণায়ক মূলত কোনটির সাথে সম্পর্কিত?

  1. যেকোনো ম্যাট্রিক্স
  2. শুধুমাত্র বর্গ ম্যাট্রিক্স
  3. ভেক্টর
  4. অপেক্ষক
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) শুধুমাত্র বর্গ ম্যাট্রিক্স

অনুচ্ছেদ ভিত্তিক প্রশ্ন

অনুচ্ছেদ – ১

একটি 3×3 ম্যাট্রিক্স A-এর নির্ণায়ক |A| এবং এর অ্যাডজয়েন্ট adj(A) দেওয়া আছে। আমরা জানি যে A(adj A) = (adj A)A = |A|I এবং A⁻¹ = (1/|A|)adj(A)। এছাড়াও |adj A| = |A|n-1, যেখানে n হল ম্যাট্রিক্সের ক্রম।

61. যদি |A| = 4 হয়, তবে |adj A| = ?

  1. 4
  2. 8
  3. 16
  4. 64
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) 16
ব্যাখ্যা: |adj A| = |A|3-1 = 4² = 16।

62. যদি A একটি নন-সিঙ্গুলার ম্যাট্রিক্স হয়, তবে adj(adj A) = ?

  1. |A|A
  2. |A|n-2A
  3. |A|n-1A
  4. A
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) |A|n-2A
ব্যাখ্যা: এটি অ্যাডজয়েন্টের একটি ধর্ম। n=3 হলে, |A|A হবে।

63. যদি A একটি 3×3 ম্যাট্রিক্স এবং |A| = -2 হয়, তবে |-2A| = ?

  1. -4
  2. 8
  3. -16
  4. 16
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) -16
ব্যাখ্যা: |-2A| = (-2)³|A| = -8 × (-2) = 16। প্রশ্নে ভুল আছে। উত্তর হবে 16।

64. যদি A একটি সিঙ্গুলার ম্যাট্রিক্স হয়, তবে A(adj A) = ?

  1. I
  2. O (শূন্য ম্যাট্রিক্স)
  3. A
  4. A²
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) O (শূন্য ম্যাট্রিক্স)
ব্যাখ্যা: |A|=0 হলে, A(adj A) = 0 × I = O।

65. A⁻¹-এর নির্ণায়কের মান কত, যদি |A|=5 হয়?

  1. 5
  2. -5
  3. 1/5
  4. 0
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) 1/5
ব্যাখ্যা: |A⁻¹| = 1/|A| = 1/5।

অনুচ্ছেদ – ২

একটি রৈখিক সমীকরণতন্ত্র AX=B-এর সমাধান ম্যাট্রিক্স পদ্ধতি বা Cramer-এর নিয়ম দ্বারা করা যায়। যদি সহগ ম্যাট্রিক্স A-এর নির্ণায়ক |A|≠0 হয়, তবে সিস্টেমটির একটি অনন্য সমাধান থাকে, এবং সিস্টেমটিকে সঙ্গতিপূর্ণ (consistent) বলা হয়। যদি |A|=0 এবং (adj A)B ≠ O হয়, তবে কোনো সমাধান থাকে না এবং সিস্টেমটি অসঙ্গতিপূর্ণ (inconsistent)। যদি |A|=0 এবং (adj A)B = O হয়, তবে অসংখ্য সমাধান থাকে।

66. x+y=3 এবং 2x+3y=7 সমীকরণতন্ত্রের ক্ষেত্রে |A|-এর মান কত?

  1. 1
  2. -1
  3. 5
  4. 0
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) 1
ব্যাখ্যা: |A| =

11
23
= 3-2 = 1।

67. x+y=3 এবং 2x+3y=7 সমীকরণতন্ত্রের সমাধান কীরূপ?

  1. অনন্য সমাধান
  2. অসংখ্য সমাধান
  3. কোনো সমাধান নেই
  4. বলা সম্ভব নয়
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) অনন্য সমাধান
ব্যাখ্যা: যেহেতু |A|=1≠0, সিস্টেমটির একটি অনন্য সমাধান আছে।

68. x+2y=3 এবং 2x+4y=5 সমীকরণতন্ত্রের ক্ষেত্রে |A|-এর মান কত?

  1. 0
  2. 1
  3. 2
  4. -2
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) 0
ব্যাখ্যা: |A| =

12
24
= 4-4 = 0।

69. x+2y=3 এবং 2x+4y=5 সমীকরণতন্ত্রের সমাধান কীরূপ?

  1. অনন্য সমাধান
  2. অসংখ্য সমাধান
  3. কোনো সমাধান নেই
  4. বলা সম্ভব নয়
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) কোনো সমাধান নেই
ব্যাখ্যা: |A|=0। adj(A) =

4-2
-21
। (adj A)B =
4-2
-21
3
5
 =
2
-1
 ≠ O। তাই কোনো সমাধান নেই।

70. Ax=B সমীকরণতন্ত্রের সমাধান হল X = ?

  1. AB
  2. BA
  3. A⁻¹B
  4. B⁻¹A
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) A⁻¹B
ব্যাখ্যা: এটি ম্যাট্রিক্স পদ্ধতিতে সমাধানের সূত্র।

অনুচ্ছেদ – ৩

নির্ণায়কের ধর্ম ব্যবহার করে গণনা সহজ করা যায়। যেমন, Ri → Ri + kRj বা Ci → Ci + kCj প্রয়োগ করলে নির্ণায়কের মান অপরিবর্তিত থাকে। যদি কোনো নির্ণায়কের একটি সারি বা স্তম্ভকে দুটি পদের যোগফল হিসেবে প্রকাশ করা যায়, তবে নির্ণায়কটিকে দুটি নির্ণায়কের যোগফল হিসেবে প্রকাশ করা যায়।

71. নির্ণায়ক

a-bb-cc-a
b-cc-aa-b
c-aa-bb-c
-এর মান কত?

  1. a+b+c
  2. 0
  3. (a-b)(b-c)(c-a)
  4. 1
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) 0
ব্যাখ্যা: C₁ → C₁ + C₂ + C₃ করলে, প্রথম স্তম্ভের প্রতিটি পদ (a-b)+(b-c)+(c-a)=0 হয়ে যায়।

72. একটি নির্ণায়কের দুটি সারি অভিন্ন হলে, R₁ → R₁ – R₂ প্রয়োগ করলে কী হবে?

  1. নির্ণায়কের মান শূন্য হবে
  2. একটি সারি শূন্য হয়ে যাবে
  3. (a) এবং (b) উভয়ই
  4. নির্ণায়কের মান দ্বিগুণ হবে
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) (a) এবং (b) উভয়ই
ব্যাখ্যা: R₁-এর প্রতিটি পদ শূন্য হয়ে যাবে, ফলে নির্ণায়কের মানও শূন্য হবে।

73. det(AB) = det(A)det(B) – এই ধর্মটি কখন প্রযোজ্য?

  1. যদি A ও B বর্গ ম্যাট্রিক্স হয়
  2. যদি A ও B একই ক্রমের বর্গ ম্যাট্রিক্স হয়
  3. যদি A ও B প্রতিসম হয়
  4. সর্বদা
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) যদি A ও B একই ক্রমের বর্গ ম্যাট্রিক্স হয়

74.

111
abc
a²b²c²
-এর উৎপাদক কোনটি?

  1. a+b
  2. a-b
  3. a+b+c
  4. a²+b²
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) a-b
ব্যাখ্যা: এটি ভ্যান্ডারমন্ড নির্ণায়ক। এর মান (a-b)(b-c)(c-a)। সুতরাং, (a-b) একটি উৎপাদক।

75.

x+yy+zz+x
zxy
111
-এর মান কত?

  1. x+y+z
  2. 0
  3. 1
  4. xyz
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) 0
ব্যাখ্যা: R₁ → R₁ + R₂ করলে, প্রথম সারির প্রতিটি পদ হবে x+y+z। এটি সাধারণ উৎপাদক হিসেবে বাইরে নিলে, প্রথম ও তৃতীয় সারি সমানুপাতিক হয়ে যায়।

B. বাম স্তম্ভের (I) সঙ্গে ডান স্তম্ভের (II) সঠিক বিকল্পটি বেছে নাও: (10 MCQ)

স্তম্ভ-I (ম্যাট্রিক্স A) স্তম্ভ-II (|A|)
(P) একক ম্যাট্রিক্স (1) 0
(Q) শূন্য ম্যাট্রিক্স (2) 1
(R) সিঙ্গুলার ম্যাট্রিক্স
(S) বিপ্রতিসম (3×3)

76. সঠিক মিলটি হল:

  1. P-1, Q-2, R-1, S-2
  2. P-2, Q-1, R-1, S-1
  3. P-2, Q-1, R-2, S-1
  4. P-4, Q-3, R-2, S-1
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) P-2, Q-1, R-1, S-1
ব্যাখ্যা: একক ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক 1, বাকি তিনটিরই 0।

স্তম্ভ-I (ধর্ম) স্তম্ভ-II (গাণিতিক রূপ)
(P) |AT| (1) |A|ⁿ⁻¹
(Q) |A⁻¹| (2) |A|
(R) |adj A| (3) kⁿ|A|
(S) |kA| (4) 1/|A|

77. সঠিক মিলটি হল:

  1. P-3, Q-4, R-1, S-2
  2. P-2, Q-4, R-1, S-3
  3. P-1, Q-2, R-3, S-4
  4. P-4, Q-1, R-3, S-2
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) P-2, Q-4, R-1, S-3
ব্যাখ্যা: নির্ণায়কের বিভিন্ন ধর্মের সাথে তাদের গাণিতিক সূত্রের মিল করা হয়েছে।

স্তম্ভ-I (সমীকরণতন্ত্র) স্তম্ভ-II (সমাধানের প্রকৃতি)
(P) |A| ≠ 0 (1) কোনো সমাধান নেই
(Q) |A| = 0 এবং (adj A)B ≠ O (2) অনন্য সমাধান
(R) |A| = 0 এবং (adj A)B = O (3) তুচ্ছ সমাধান
(S) AX=O এবং |A|≠0 (4) অসংখ্য সমাধান

78. সঠিক মিলটি হল:

  1. P-2, Q-1, R-4, S-3
  2. P-1, Q-2, R-3, S-4
  3. P-2, Q-3, R-1, S-4
  4. P-3, Q-1, R-2, S-4
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) P-2, Q-1, R-4, S-3
ব্যাখ্যা: রৈখিক সমীকরণতন্ত্রের সমাধানের শর্তগুলির সাথে তাদের প্রকৃতির মিল করা হয়েছে।

স্তম্ভ-I (ম্যাট্রিক্স A)স্তম্ভ-II (A⁻¹)
(P)
10
01
(1) অস্তিত্ব নেই
(Q)
11
11
(2)
10
01
(R)
cosθ-sinθ
sinθcosθ
(3)
1-1
-12
(S)
21
11
(4)
cosθsinθ
-sinθcosθ

79. সঠিক মিলটি হল:

  1. P-2, Q-1, R-4, S-3
  2. P-1, Q-3, R-2, S-4
  3. P-3, Q-1, R-2, S-4
  4. P-2, Q-1, R-3, S-4
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) P-2, Q-1, R-4, S-3
ব্যাখ্যা: প্রতিটি ম্যাট্রিক্সের সঠিক বিপরীত ম্যাট্রিক্সের সাথে মিল করা হয়েছে। Q-এর নির্ণায়ক 0, তাই বিপরীতের অস্তিত্ব নেই।

স্তম্ভ-I (A)স্তম্ভ-II (adj A)
(P) প্রতিসম(1) প্রতিসম
(Q) বিপ্রতিসম(2) বিপ্রতিসম (n বিজোড় হলে), প্রতিসম (n জোড় হলে)
(R) কর্ণ(3) কর্ণ
(S) ঊর্ধ্ব ত্রিভুজাকার(4) নিম্ন ত্রিভুজাকার

80. সঠিক মিলটি হল:

  1. P-1, Q-2, R-3, S-4
  2. P-1, Q-3, R-2, S-4
  3. P-3, Q-1, R-2, S-4
  4. P-2, Q-1, R-4, S-3
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) P-1, Q-2, R-3, S-4
ব্যাখ্যা: প্রতিটি ধরনের ম্যাট্রিক্সের অ্যাডজয়েন্টের প্রকৃতির সাথে মিল করা হয়েছে।

স্তম্ভ-I (নির্ণায়ক)স্তম্ভ-II (মান)
(P)
111
11+x1
111+y
(1) 0
(Q)
0cb
-c0a
-b-a0
(2) 1
(R)
1logyx
logxy1
(S)
139
1416
1525
(3) 2
(4) xy

81. সঠিক মিলটি হল:

  1. P-4, Q-1, R-1, S-3
  2. P-1, Q-3, R-2, S-4
  3. P-3, Q-1, R-2, S-4
  4. P-2, Q-1, R-3, S-4
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) P-4, Q-1, R-1, S-3
ব্যাখ্যা: R-এর মান 1-1=0। S-এর মান (4-3)(5-4)(5-3)=2।

স্তম্ভ-I (পদ)স্তম্ভ-II (সংজ্ঞা)
(P) মাইনর(1) (-1)i+j × মাইনর
(Q) কোফ্যাক্টর(2) কোফ্যাক্টর ম্যাট্রিক্সের পরিবর্ত
(R) অ্যাডজয়েন্ট(3) নির্ণায়কের মান ≠ 0
(S) নন-সিঙ্গুলার(4) সারি ও স্তম্ভ বাদ দিয়ে প্রাপ্ত নির্ণায়ক

82. সঠিক মিলটি হল:

  1. P-4, Q-1, R-2, S-3
  2. P-1, Q-3, R-2, S-4
  3. P-3, Q-1, R-2, S-4
  4. P-2, Q-1, R-3, S-4
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) P-4, Q-1, R-2, S-3

স্তম্ভ-I (অপারেশন)স্তম্ভ-II (নির্ণায়কের মানের পরিবর্তন)
(P) Ri ↔ Rj(1) মান অপরিবর্তিত থাকে
(Q) Ri → kRi(2) মান শূন্য হয়
(R) Ri → Ri + kRj(3) চিহ্ন পরিবর্তিত হয়
(S) Ri = Rj(4) মান k গুণ হয়

83. সঠিক মিলটি হল:

  1. P-2, Q-4, R-1, S-3
  2. P-3, Q-4, R-1, S-2
  3. P-3, Q-1, R-2, S-4
  4. P-2, Q-1, R-3, S-4
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) P-3, Q-4, R-1, S-2

স্তম্ভ-I (A)স্তম্ভ-II (|A|)
(P) অর্থোগোনাল(1) 0
(Q) বিপ্রতিসম (বিজোড় ক্রম)(2) 1
(R) আইডেমপোটেন্ট (I ছাড়া)(3) ±1
(S) ইনভলিউটরি

84. সঠিক মিলটি হল:

  1. P-3, Q-1, R-1, S-3
  2. P-1, Q-3, R-2, S-4
  3. P-3, Q-1, R-2, S-4
  4. P-2, Q-1, R-3, S-4
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) P-3, Q-1, R-1, S-3 (আইডেমপোটেন্ট A²=A => |A|=0 বা 1; ইনভলিউটরি A²=I => |A|=±1)।

স্তম্ভ-I (সমীকরণতন্ত্র)স্তম্ভ-II (শর্ত)
(P) সঙ্গতিপূর্ণ(1) কোনো সমাধান নেই
(Q) অসঙ্গতিপূর্ণ(2) কমপক্ষে একটি সমাধান আছে
(R) অনন্য সমাধান(3) |A|≠0
(S) অসংখ্য সমাধান(4) |A|=0 এবং (adj A)B=O

85. সঠিক মিলটি হল:

  1. P-2, Q-1, R-3, S-4
  2. P-1, Q-3, R-2, S-4
  3. P-3, Q-1, R-2, S-4
  4. P-2, Q-1, R-4, S-3
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) P-2, Q-1, R-3, S-4

স্তম্ভ-I (ম্যাট্রিক্স)স্তম্ভ-II (ট্রেস)
(P)
12
34
(1) 0
(Q)
10
01
(2) 5
(R)
01
-10
(3) 6
(S)
123
456
780
(4) 2

86. সঠিক মিলটি হল:

  1. P-2, Q-4, R-1, S-3
  2. P-1, Q-3, R-2, S-4
  3. P-3, Q-1, R-2, S-4
  4. P-2, Q-1, R-3, S-4
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) P-2, Q-4, R-1, S-3

স্তম্ভ-I (A)স্তম্ভ-II (A-1)
(P) [5](1) [-1/5]
(Q) [-5](2) [1/5]
(R) I(3) I
(S) A²=I (A≠I)(4) A

87. সঠিক মিলটি হল:

  1. P-2, Q-1, R-3, S-4
  2. P-1, Q-3, R-2, S-4
  3. P-3, Q-1, R-2, S-4
  4. P-2, Q-1, R-4, S-3
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) P-2, Q-1, R-3, S-4

স্তম্ভ-I (x-এর মান)স্তম্ভ-II (নির্ণায়ক
x3
24
)
(P) x=1(1) 0
(Q) x=2(2) -2
(R) x=1.5(3) 2
(S) x=0(4) -6

88. সঠিক মিলটি হল:

  1. P-2, Q-3, R-1, S-4
  2. P-1, Q-3, R-2, S-4
  3. P-3, Q-1, R-2, S-4
  4. P-2, Q-1, R-3, S-4
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) P-2, Q-3, R-1, S-4

স্তম্ভ-I (পদ)স্তম্ভ-II (A=
123
456
789
)
(P) M₁₁(1) -6
(Q) C₁₁(2) -3
(R) M₁₂(3) -3
(S) C₁₂(4) 6

89. সঠিক মিলটি হল:

  1. P-2, Q-4, R-1, S-3
  2. P-3, Q-1, R-2, S-4
  3. P-2, Q-2, R-1, S-4
  4. P-2, Q-1, R-3, S-4
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: M₁₁=45-48=-3; C₁₁=-3; M₁₂=36-42=-6; C₁₂=-(-6)=6। বিকল্প (b) সঠিক।

স্তম্ভ-I (ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল)স্তম্ভ-II (শীর্ষবিন্দু)
(P) 1.5(1) (0,0), (1,0), (0,1)
(Q) 0(2) (1,1), (2,2), (3,3)
(R) 0.5(3) (2,-3), (-1,-1), (2,4)
(S) 10.5(4) (1,0), (6,0), (4,3)

90. সঠিক মিলটি হল:

  1. P-2, Q-4, R-1, S-3
  2. P-4, Q-2, R-1, S-3
  3. P-3, Q-1, R-2, S-4
  4. P-2, Q-1, R-3, S-4
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) P-4, Q-2, R-1, S-3

তুমি কি এবছর WBCHSE HS Exam পরিক্ষা দেবে Semister 1, 2, 3, 4 HS Suggestion পেতে চাও উচ্চ মাধ্যমিক সাজেশন এখানে পাবে

Related Posts

Leave a Comment

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Scroll to Top