সীমা এবং অবকলন (Limits and Derivatives)

Limits and Derivatives – Suggestion 2026

A. নীচের প্রশ্নগুলি থেকে সঠিক উত্তর বেছে নাও (MCQ)

বিভাগ ১: সীমা (Limits)

1. lim x→2 (x2 – 4) / (x – 2) এর মান কত?

  1. 2
  2. 4
  3. 0
  4. অসংজ্ঞাত (undefined)
উত্তর দেখাও
সঠিক উত্তর: (b) 4
ব্যাখ্যা: এখানে x=2 বসালে 0/0 আকার আসে। তাই,
lim x→2 (x2 – 4) / (x – 2)
= lim x→2 (x – 2)(x + 2) / (x – 2)
= lim x→2 (x + 2) [যেহেতু x → 2, x ≠ 2, তাই (x – 2) ≠ 0]
= 2 + 2 = 4

2. lim x→0 (sin 3x) / x এর মান কত?

  1. 1
  2. 0
  3. 3
  4. 1/3
উত্তর দেখাও
সঠিক উত্তর: (c) 3
ব্যাখ্যা: আমরা জানি lim θ→0 (sin θ) / θ = 1।
lim x→0 (sin 3x) / x
= lim x→0 (sin 3x) / (3x) * 3
ধরি, y = 3x। যখন x → 0, তখন y → 0।
= 3 * lim y→0 (sin y) / y
= 3 * 1 = 3

3. lim x→∞ (2x2 + 3x + 1) / (3x2 + x + 2) এর মান কত?

  1. 2/3
  2. 3/2
  3. 1/2
  4. ∞
উত্তর দেখাও
সঠিক উত্তর: (a) 2/3
ব্যাখ্যা: যখন x → ∞, তখন আমরা লব ও হরকে x-এর সর্বোচ্চ ঘাত (এখানে x2) দিয়ে ভাগ করি।
lim x→∞ (2 + 3/x + 1/x2) / (3 + 1/x + 2/x2)
যেহেতু x → ∞, 1/x → 0 এবং 1/x2 → 0।
= (2 + 0 + 0) / (3 + 0 + 0) = 2/3

4. lim x→0 (e2x – 1) / x এর মান কত?

  1. 1
  2. 2
  3. e
  4. 0
উত্তর দেখাও
সঠিক উত্তর: (b) 2
ব্যাখ্যা: আমরা জানি lim y→0 (ey – 1) / y = 1।
lim x→0 (e2x – 1) / x
= lim x→0 (e2x – 1) / (2x) * 2
ধরি, z = 2x। যখন x → 0, তখন z → 0।
= 2 * lim z→0 (ez – 1) / z
= 2 * 1 = 2

5. lim x→a (xn – an) / (x – a) এর সূত্রটি কী?

  1. n * an
  2. an-1
  3. n * an-1
  4. n * xn-1
উত্তর দেখাও
সঠিক উত্তর: (c) n * an-1
ব্যাখ্যা: এটি সীমার একটি আদর্শ সূত্র।

6. lim x→0 (1 – cos x) / x2 এর মান কত?

  1. 1
  2. 2
  3. 1/2
  4. 0
উত্তর দেখাও
সঠিক উত্তর: (c) 1/2
ব্যাখ্যা: lim x→0 (1 – cos x) / x2
= lim x→0 (2 sin2(x/2)) / x2
= lim x→0 2 * (sin(x/2) / x)2
= lim x→0 2 * (sin(x/2) / (x/2) * 1/2)2
= 2 * (1 * 1/2)2 = 2 * (1/4) = 1/2

7. যদি f(x) = |x| হয়, তাহলে lim x→0 f(x) এর মান-

  1. 0
  2. 1
  3. -1
  4. অস্তিত্ব নেই (does not exist)
উত্তর দেখাও
সঠিক উত্তর: (a) 0
ব্যাখ্যা: বামপক্ষের সীমা (LHL) = lim x→0- (-x) = 0। ডানপক্ষের সীমা (RHL) = lim x→0+ (x) = 0। যেহেতু LHL = RHL, সীমার অস্তিত্ব আছে এবং তার মান 0।

8. lim x→0 (tan x) / x এর মান কত?

  1. 0
  2. 1
  3. ∞
  4. অস্তিত্ব নেই
উত্তর দেখাও
সঠিক উত্তর: (b) 1
ব্যাখ্যা: lim x→0 (tan x) / x
= lim x→0 (sin x / cos x) / x
= lim x→0 (sin x / x) * (1 / cos x)
= 1 * (1 / cos 0) = 1 * (1/1) = 1

9. lim x→0 log(1 + x) / x এর মান কত?

  1. e
  2. 1
  3. 0
  4. -1
উত্তর দেখাও
সঠিক উত্তর: (b) 1
ব্যাখ্যা: এটি সীমার একটি আদর্শ সূত্র।

10. lim x→π/2 (sec x – tan x) এর মান কত?

  1. 0
  2. 1
  3. -1
  4. 1/2
উত্তর দেখাও
সঠিক উত্তর: (a) 0
ব্যাখ্যা: lim x→π/2 (1/cos x – sin x/cos x)
= lim x→π/2 (1 – sin x) / cos x
x = π/2 + h ধরি, যেখানে h→0।
= lim h→0 (1 – sin(π/2 + h)) / cos(π/2 + h)
= lim h→0 (1 – cos h) / (-sin h)
= lim h→0 (2 sin2(h/2)) / (-2 sin(h/2)cos(h/2))
= lim h→0 -tan(h/2) = 0

11. lim x→1 (x10 – 1) / (x – 1) এর মান কত?

  1. 1
  2. 10
  3. 9
  4. অসংজ্ঞাত
উত্তর দেখাও
সঠিক উত্তর: (b) 10
ব্যাখ্যা: lim x→a (xn – an) / (x – a) = n * an-1 সূত্র ব্যবহার করে,
এখানে n=10, a=1। সুতরাং, মান হবে 10 * 110-1 = 10 * 1 = 10।

12. lim x→0 (ax – 1) / x এর মান কত?

  1. a
  2. 1
  3. loge a
  4. loga e
উত্তর দেখাও
সঠিক উত্তর: (c) loge a
ব্যাখ্যা: এটি সীমার একটি আদর্শ সূত্র।

13. lim x→0 x / √(1+x) – 1 এর মান কী?

  1. 0
  2. 1
  3. 2
  4. 1/2
উত্তর দেখাও
সঠিক উত্তর: (c) 2
ব্যাখ্যা: করণী নিরসন করে,
lim x→0 x (√(1+x) + 1) / ((√(1+x) – 1)(√(1+x) + 1))
= lim x→0 x (√(1+x) + 1) / (1+x – 1)
= lim x→0 x (√(1+x) + 1) / x
= lim x→0 (√(1+x) + 1) = √(1+0) + 1 = 1 + 1 = 2।

14. যদি lim x→c f(x) = L হয়, তাহলে এর অর্থ কী?

  1. f(c) = L
  2. f(x) এর মান L এর খুব কাছাকাছি যখন x এর মান c এর খুব কাছাকাছি
  3. f(x) এর মান c তে L এর সমান বা বড়
  4. f(c) এর অস্তিত্ব নেই
উত্তর দেখাও
সঠিক উত্তর: (b) f(x) এর মান L এর খুব কাছাকাছি যখন x এর মান c এর খুব কাছাকাছি
ব্যাখ্যা: এটি সীমার ধারণার মূল সংজ্ঞা। f(c) এর মান L এর সমান হতেও পারে বা নাও হতে পারে।

15. lim x→3 (x2 – 9) / (x3 – 27) এর মান কত?

  1. 2/9
  2. 1/3
  3. 2/3
  4. 1/9
উত্তর দেখাও
সঠিক উত্তর: (a) 2/9
ব্যাখ্যা: লব ও হরকে (x-3) দিয়ে ভাগ করে lim x→a (xn-an)/(x-a) সূত্র প্রয়োগ করে,
= (lim x→3 (x2-32)/(x-3)) / (lim x→3 (x3-33)/(x-3))
= (2 * 32-1) / (3 * 33-1) = (2 * 3) / (3 * 32) = 6 / 27 = 2/9।

16. lim x→0 sin(ax)/sin(bx) এর মান কত?

  1. a/b
  2. b/a
  3. 1
  4. 0
উত্তর দেখাও
সঠিক উত্তর: (a) a/b
ব্যাখ্যা: = lim x→0 (sin(ax)/ax * ax) / (sin(bx)/bx * bx)
= (1 * ax) / (1 * bx) = a/b।

17. lim x→0 (1 + x)1/x এর মান কত?

  1. 1
  2. 0
  3. e
  4. ∞
উত্তর দেখাও
সঠিক উত্তর: (c) e
ব্যাখ্যা: এটি সীমার একটি আদর্শ সূত্র যা e-এর সংজ্ঞা দেয়।

18. f(x) = [x] (greatest integer function) হলে, lim x→2 f(x) এর মান কী?

  1. 2
  2. 1
  3. 3
  4. অস্তিত্ব নেই
উত্তর দেখাও
সঠিক উত্তর: (d) অস্তিত্ব নেই
ব্যাখ্যা: LHL = lim x→2- [x] = 1। RHL = lim x→2+ [x] = 2। যেহেতু LHL ≠ RHL, সীমার অস্তিত্ব নেই।

19. lim x→0 (sin x°)/x এর মান কত?

  1. 1
  2. π/180
  3. 180/π
  4. 0
উত্তর দেখাও
সঠিক উত্তর: (b) π/180
ব্যাখ্যা: x° = (πx/180) রেডিয়ান।
= lim x→0 sin(πx/180)/x
= lim x→0 (sin(πx/180)/(πx/180)) * (π/180) = 1 * (π/180) = π/180।

20. lim x→∞ (1 + 1/x)x এর মান কত?

  1. 1
  2. e
  3. 0
  4. ∞
উত্তর দেখাও
সঠিক উত্তর: (b) e
ব্যাখ্যা: এটিও সীমার একটি আদর্শ সূত্র যা e-এর সংজ্ঞা দেয়।

21. lim x→-1 (x3 + 1) / (x + 1) এর মান কত?

  1. -3
  2. 3
  3. 1
  4. -1
উত্তর দেখাও
সঠিক উত্তর: (b) 3
ব্যাখ্যা: = lim x→-1 (x+1)(x2-x+1) / (x+1)
= lim x→-1 (x2-x+1) = (-1)2 – (-1) + 1 = 1 + 1 + 1 = 3।

22. f(x) = x2 + 2x + 1 হলে, lim h→0 (f(1+h)-f(1))/h এর মান কত?

  1. 2
  2. 3
  3. 4
  4. 5
উত্তর দেখাও
সঠিক উত্তর: (c) 4
ব্যাখ্যা: এটি f'(1) এর সংজ্ঞা। f'(x) = 2x + 2। সুতরাং f'(1) = 2(1) + 2 = 4।

23. lim x→0 |x|/x এর মান কী?

  1. 1
  2. -1
  3. 0
  4. অস্তিত্ব নেই
উত্তর দেখাও
সঠিক উত্তর: (d) অস্তিত্ব নেই
ব্যাখ্যা: LHL = lim x→0- (-x)/x = -1। RHL = lim x→0+ x/x = 1। যেহেতু LHL ≠ RHL, সীমার অস্তিত্ব নেই।

24. lim x→0 x sin(1/x) এর মান কত?

  1. 1
  2. 0
  3. ∞
  4. অস্তিত্ব নেই
উত্তর দেখাও
সঠিক উত্তর: (b) 0
ব্যাখ্যা: Sandwich Theorem অনুযায়ী, যেহেতু -1 ≤ sin(1/x) ≤ 1, তাই -x ≤ x sin(1/x) ≤ x (for x > 0)। যখন x→0, -x→0 এবং x→0। সুতরাং, lim x→0 x sin(1/x) = 0।

25. lim x→e (log x – 1) / (x – e) এর মান কত?

  1. e
  2. 1
  3. 1/e
  4. 0
উত্তর দেখাও
সঠিক উত্তর: (c) 1/e
ব্যাখ্যা: এটি (log x) এর ডেরিভেটিভের সংজ্ঞা x=e তে। (log x)’ = 1/x। x=e তে এর মান 1/e। অথবা L’Hopital’s rule ব্যবহার করে, lim x→e (1/x) / 1 = 1/e।

26. lim x→0 (1-cos 2x)/x এর মান কত?

  1. 0
  2. 1
  3. 2
  4. অস্তিত্ব নেই
উত্তর দেখাও
সঠিক উত্তর: (a) 0
ব্যাখ্যা: = lim x→0 (2 sin2x)/x = lim x→0 2 * (sin x/x) * sin x = 2 * 1 * sin 0 = 0।

27. lim x→∞ (√x2+1 – x) এর মান কত?

  1. 0
  2. 1
  3. 1/2
  4. ∞
উত্তর দেখাও
সঠিক উত্তর: (a) 0
ব্যাখ্যা: করণী নিরসন করে,
= lim x→∞ (x2+1 – x2) / (√x2+1 + x)
= lim x→∞ 1 / (√x2+1 + x) = 1/∞ = 0।

28. lim x→0 (3x – 2x)/x এর মান কত?

  1. log(3/2)
  2. log(6)
  3. 1
  4. log(1.5)
উত্তর দেখাও
সঠিক উত্তর: (a) log(3/2)
ব্যাখ্যা: = lim x→0 (3x – 1 – (2x – 1))/x
= lim x→0 (3x-1)/x – lim x→0 (2x-1)/x
= log 3 – log 2 = log(3/2)।

29. lim x→0 (1+2x)1/x এর মান কত?

  1. e
  2. e2
  3. 2e
  4. √e
উত্তর দেখাও
সঠিক উত্তর: (b) e2
ব্যাখ্যা: = lim x→0 [(1+2x)1/(2x)]2। ধরি y=2x, যখন x→0, y→0।
= [lim y→0 (1+y)1/y]2 = e2।

30. একটি ফাংশনের সীমা থাকার জন্য কী প্রয়োজন?

  1. ফাংশনটিকে ওই বিন্দুতে সংজ্ঞাত হতে হবে
  2. বামপক্ষের সীমা (LHL) এবং ডানপক্ষের সীমা (RHL) সমান হতে হবে
  3. ফাংশনটিকে ওই বিন্দুতে সন্তত (continuous) হতে হবে
  4. ফাংশনটিকে ওই বিন্দুতে অবকলনযোগ্য (differentiable) হতে হবে
উত্তর দেখাও
সঠিক উত্তর: (b) বামপক্ষের সীমা (LHL) এবং ডানপক্ষের সীমা (RHL) সমান হতে হবে
ব্যাখ্যা: সীমার অস্তিত্বের জন্য এটিই প্রাথমিক এবং অপরিহার্য শর্ত। LHL = RHL = একটি সসীম মান।

বিভাগ ২: অবকলন (Derivatives)

31. যদি f(x) = x3 হয়, তাহলে f'(x) কত?

  1. 3x
  2. 3x2
  3. x2
  4. 3
উত্তর দেখাও
সঠিক উত্তর: (b) 3x2
ব্যাখ্যা: d/dx (xn) = n * xn-1 সূত্র ব্যবহার করে,
d/dx (x3) = 3 * x3-1 = 3x2।

32. d/dx (sin x) এর মান কত?

  1. cos x
  2. -sin x
  3. -cos x
  4. tan x
উত্তর দেখাও
সঠিক উত্তর: (a) cos x
ব্যাখ্যা: এটি ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের অবকলনের একটি আদর্শ সূত্র।

33. যদি f(x) = 5x + 3 হয়, তাহলে f'(2) কত?

  1. 5
  2. 13
  3. 2
  4. 3
উত্তর দেখাও
সঠিক উত্তর: (a) 5
ব্যাখ্যা: f(x) = 5x + 3
f'(x) = d/dx (5x) + d/dx (3) = 5 * 1 + 0 = 5।
যেহেতু f'(x) একটি ধ্রুবক, তাই f'(2) এর মানও 5 হবে।

34. দুটি ফাংশনের গুণফলের অবকলন (Product Rule), (uv)’ = ?

  1. u’v’
  2. u’v – uv’
  3. u’v + uv’
  4. (u’v + uv’) / v2
উত্তর দেখাও
সঠিক উত্তর: (c) u’v + uv’
ব্যাখ্যা: এটি Product Rule বা গুণফলের সূত্র: (uv)’ = u’v + uv’।

35. d/dx (cos x) এর মান কত?

  1. sin x
  2. -cos x
  3. -sin x
  4. cot x
উত্তর দেখাও
সঠিক উত্তর: (c) -sin x
ব্যাখ্যা: এটি ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের অবকলনের একটি আদর্শ সূত্র।

36. দুটি ফাংশনের ভাগফলের অবকলন (Quotient Rule), (u/v)’ = ?

  1. (u’v – uv’) / v2
  2. (uv’ – u’v) / v2
  3. u’v’ / v2
  4. u’v + uv’
উত্তর দেখাও
সঠিক উত্তর: (a) (u’v – uv’) / v2
ব্যাখ্যা: এটি Quotient Rule বা ভাগফলের সূত্র।

37. যদি y = x sin x হয়, তাহলে dy/dx কত?

  1. cos x
  2. sin x – x cos x
  3. sin x + x cos x
  4. x cos x
উত্তর দেখাও
সঠিক উত্তর: (c) sin x + x cos x
ব্যাখ্যা: Product Rule ব্যবহার করে,
dy/dx = (d/dx(x)) * sin x + x * (d/dx(sin x))
= 1 * sin x + x * cos x = sin x + x cos x

38. একটি বক্ররেখার (curve) কোনো বিন্দুতে স্পর্শকের (tangent) নতি (slope) হল ওই বিন্দুতে ফাংশনটির-

  1. সীমা (limit)
  2. অবকলন (derivative)
  3. অখণ্ড (integral)
  4. মান (value)
উত্তর দেখাও
সঠিক উত্তর: (b) অবকলন (derivative)
ব্যাখ্যা: এটি অবকলনের জ্যামিতিক তাৎপর্য। dy/dx = tan θ = নতি।

39. d/dx (tan x) এর মান কত?

  1. cot x
  2. sec2 x
  3. -sec2 x
  4. cosec2 x
উত্তর দেখাও
সঠিক উত্তর: (b) sec2 x
ব্যাখ্যা: d/dx (sin x / cos x) = (cos x * cos x – sin x * (-sin x)) / cos2x
= (cos2x + sin2x) / cos2x = 1 / cos2x = sec2x

40. যদি s(t) সরণের (distance) ফাংশন হয়, তাহলে তাৎক্ষণিক বেগ (instantaneous velocity) হল-

  1. s(t)
  2. s'(t)
  3. s”(t)
  4. ∫s(t) dt
উত্তর দেখাও
সঠিক উত্তর: (b) s'(t)
ব্যাখ্যা: সরণের পরিবর্তনের হার হল বেগ। অর্থাৎ, v(t) = ds/dt = s'(t)।

41. d/dx (5) এর মান কত?

  1. 5
  2. 1
  3. 0
  4. x
উত্তর দেখাও
সঠিক উত্তর: (c) 0
ব্যাখ্যা: কোনো ধ্রুবক (constant) সংখ্যার অবকলন সর্বদা শূন্য হয়।

42. যদি f(x) = x2 – 2x হয়, তাহলে কোন বিন্দুতে স্পর্শকের নতি শূন্য হবে?

  1. x = 0
  2. x = 2
  3. x = 1
  4. x = -1
উত্তর দেখাও
সঠিক উত্তর: (c) x = 1
ব্যাখ্যা: স্পর্শকের নতি হল f'(x)। f'(x) = 2x – 2। নতি শূন্য হলে, 2x – 2 = 0 ⇒ 2x = 2 ⇒ x = 1।

43. d/dx (sec x) এর মান কত?

  1. -sec x tan x
  2. sec x tan x
  3. sec2 x
  4. -cosec x cot x
উত্তর দেখাও
সঠিক উত্তর: (b) sec x tan x
ব্যাখ্যা: এটি ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের অবকলনের একটি আদর্শ সূত্র।

44. প্রথম নীতির (first principle) সাহায্যে অবকলন নির্ণয়ের সূত্রটি কী?

  1. lim h→0 (f(x+h) + f(x))/h
  2. lim h→0 (f(x+h) – f(x))/h
  3. lim h→0 (f(x) – f(x-h))/h
  4. (f(b) – f(a)) / (b – a)
উত্তর দেখাও
সঠিক উত্তর: (b) lim h→0 (f(x+h) – f(x))/h
ব্যাখ্যা: এটিই অবকলনের সংজ্ঞা বা প্রথম নীতির সূত্র।

45. যদি y = sin(2x) হয়, তাহলে dy/dx কত? (Chain Rule)

  1. cos(2x)
  2. 2cos(2x)
  3. -2cos(2x)
  4. sin(2x)
উত্তর দেখাও
সঠিক উত্তর: (b) 2cos(2x)
ব্যাখ্যা: Chain Rule অনুযায়ী, d/dx(sin(2x)) = cos(2x) * d/dx(2x) = cos(2x) * 2 = 2cos(2x)। (যদিও Chain Rule সিলেবাসের পরবর্তী অংশে থাকে, এটি সাধারণ প্রশ্ন হিসেবে আসতে পারে)।

46. d/dx (x/sin x) এর মান কত?

  1. (sin x – x cos x) / sin2x
  2. (x cos x – sin x) / sin2x
  3. 1/cos x
  4. (sin x + x cos x) / sin2x
উত্তর দেখাও
সঠিক উত্তর: (a) (sin x – x cos x) / sin2x
ব্যাখ্যা: Quotient Rule ব্যবহার করে, d/dx (u/v) = (u’v – uv’)/v2। এখানে u=x, v=sin x।
= (1 * sin x – x * cos x) / (sin x)2 = (sin x – x cos x) / sin2x।

47. d/dx (cot x) এর মান কত?

  1. -sec2x
  2. cosec2x
  3. -cosec2x
  4. -cot x tan x
উত্তর দেখাও
সঠিক উত্তর: (c) -cosec2x
ব্যাখ্যা: এটি ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের অবকলনের একটি আদর্শ সূত্র।

48. যদি f(x) = 2x3 – 9x2 + 12x + 1 হয়, তাহলে f”(x) কত?

  1. 6x2 – 18x + 12
  2. 12x – 18
  3. 12
  4. 6x – 18
উত্তর দেখাও
সঠিক উত্তর: (b) 12x – 18
ব্যাখ্যা: f'(x) = 6x2 – 18x + 12। f”(x) = d/dx(f'(x)) = 12x – 18। (f”(x) হল দ্বিতীয় ক্রমের অবকলন)।

49. d/dx (x-1) এর মান কত?

  1. -x-2
  2. x-2
  3. -1
  4. -x0
উত্তর দেখাও
সঠিক উত্তর: (a) -x-2
ব্যাখ্যা: n * xn-1 সূত্র ব্যবহার করে, -1 * x-1-1 = -1 * x-2 = -x-2।

50. যদি একটি ফাংশন কোনো বিন্দুতে অবকলনযোগ্য (differentiable) হয়, তাহলে ওই বিন্দুতে ফাংশনটি অবশ্যই-

  1. অসন্তত (discontinuous) হবে
  2. সন্তত (continuous) হবে
  3. সীমা থাকবে না
  4. ধনাত্মক হবে
উত্তর দেখাও
সঠিক উত্তর: (b) সন্তত (continuous) হবে
ব্যাখ্যা: এটি অবকলনযোগ্যতার একটি অপরিহার্য শর্ত। অবকলনযোগ্য হলে সন্তত হতেই হবে, কিন্তু সন্তত হলে অবকলনযোগ্য নাও হতে পারে (যেমন |x| ফাংশনটি x=0 তে)।

51. d/dx(cosec x) এর মান কী?

  1. cosec x cot x
  2. -cosec x cot x
  3. cosec2 x
  4. -cosec2 x
উত্তর দেখাও
সঠিক উত্তর: (b) -cosec x cot x
ব্যাখ্যা: এটি ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের অবকলনের একটি আদর্শ সূত্র।

52. y = (x+1)(x-1) হলে, dy/dx কত?

  1. 2x
  2. x2
  3. 1
  4. 2
উত্তর দেখাও
সঠিক উত্তর: (a) 2x
ব্যাখ্যা: y = x2 – 1। dy/dx = 2x – 0 = 2x।

53. যদি f(x) = sin x + cos x হয়, তাহলে f'(π/4) এর মান কত?

  1. √2
  2. -√2
  3. 0
  4. 1
উত্তর দেখাও
সঠিক উত্তর: (c) 0
ব্যাখ্যা: f'(x) = cos x – sin x। f'(π/4) = cos(π/4) – sin(π/4) = 1/√2 – 1/√2 = 0।

54. lim x→0 (x / (1 – √(1-x))) এর মান কত?

  1. -2
  2. 2
  3. 1/2
  4. -1/2
উত্তর দেখাও
সঠিক উত্তর: (b) 2
ব্যাখ্যা: করণী নিরসন করে, lim x→0 x(1 + √(1-x)) / (1 – (1-x))
= lim x→0 x(1 + √(1-x)) / x
= lim x→0 (1 + √(1-x)) = 1 + √(1-0) = 1 + 1 = 2।

55. d/dx (ex) এর মান কত?

  1. ex
  2. x * ex-1
  3. log x
  4. 1
উত্তর দেখাও
সঠিক উত্তর: (a) ex
ব্যাখ্যা: ex ফাংশনটির অবকলন ex নিজেই।

56. d/dx (loge x) এর মান কত?

  1. x
  2. 1/x
  3. log x
  4. ex
উত্তর দেখাও
সঠিক উত্তর: (b) 1/x
ব্যাখ্যা: এটি লগারিদমিক ফাংশনের অবকলনের একটি আদর্শ সূত্র।

57. যদি y = 1/x হয়, তাহলে y’ কত?

  1. 1
  2. -1/x2
  3. 1/x2
  4. log x
উত্তর দেখাও
সঠিক উত্তর: (b) -1/x2
ব্যাখ্যা: y = x-1। y’ = -1 * x-1-1 = -x-2 = -1/x2।

58. lim x→0 (ex – e-x)/x এর মান কত?

  1. 0
  2. 1
  3. 2
  4. e
উত্তর দেখাও
সঠিক উত্তর: (c) 2
ব্যাখ্যা: = lim x→0 (ex – 1 – (e-x – 1))/x
= lim x→0 (ex-1)/x – lim x→0 (e-x-1)/x
= 1 – lim y→0 (ey-1)/(-y) [যেখানে y = -x]
= 1 – (-1) = 2।

59. অবকলন (Derivative) হল কীসের পরিবর্তনের হার?

  1. y-এর সাপেক্ষে x-এর
  2. x-এর সাপেক্ষে y-এর
  3. y-এর সাপেক্ষে ধ্রুবকের
  4. x-এর সাপেক্ষে ধ্রুবকের
উত্তর দেখাও
সঠিক উত্তর: (b) x-এর সাপেক্ষে y-এর
ব্যাখ্যা: dy/dx নির্দেশ করে স্বাধীন চলক x-এর পরিবর্তনের সাপেক্ষে অধীন চলক y-এর পরিবর্তনের হার।

60. যদি f(x) = c (ধ্রুবক) হয়, তাহলে f'(x) এর মান কত?

  1. c
  2. 1
  3. 0
  4. x
উত্তর দেখাও
সঠিক উত্তর: (c) 0
ব্যাখ্যা: কোনো ধ্রুবক ফাংশনের পরিবর্তনের হার শূন্য। তাই এর অবকলন সর্বদা শূন্য হয়।

অনুচ্ছেদ ভিত্তিক প্রশ্ন

অনুচ্ছেদ ১

একটি কণার সরণ (displacement) s (মিটারে) সময় t (সেকেন্ডে) এর উপর s(t) = t3 – 6t2 + 9t + 1 সূত্রানুযায়ী নির্ভরশীল। এই অনুচ্ছেদের উপর ভিত্তি করে নীচের প্রশ্নগুলির উত্তর দাও।

61. t = 2 সেকেন্ডে কণাটির বেগ (velocity) কত?

  1. -3 m/s
  2. 3 m/s
  3. 0 m/s
  4. -6 m/s
উত্তর দেখাও
সঠিক উত্তর: (a) -3 m/s
ব্যাখ্যা: বেগ v(t) = s'(t) = d/dt (t3 – 6t2 + 9t + 1) = 3t2 – 12t + 9।
t = 2 সেকেন্ডে, v(2) = 3(2)2 – 12(2) + 9 = 3(4) – 24 + 9 = 12 – 24 + 9 = -3 m/s।

62. কণাটির ত্বরণ (acceleration) a(t) এর সমীকরণ কী?

  1. 3t2 – 12t
  2. 6t – 12
  3. 6t
  4. 12t – 6
উত্তর দেখাও
সঠিক উত্তর: (b) 6t – 12
ব্যাখ্যা: ত্বরণ a(t) = v'(t) = d/dt (3t2 – 12t + 9) = 6t – 12।

63. কোন সময়ে কণাটির বেগ শূন্য হবে?

  1. t=1 এবং t=3
  2. t=2 এবং t=3
  3. t=1 এবং t=2
  4. t=0 এবং t=1
উত্তর দেখাও
সঠিক উত্তর: (a) t=1 এবং t=3
ব্যাখ্যা: বেগ শূন্য হলে, v(t) = 0।
3t2 – 12t + 9 = 0
t2 – 4t + 3 = 0
(t – 1)(t – 3) = 0
সুতরাং, t = 1 এবং t = 3 সেকেন্ডে বেগ শূন্য হবে।

64. t = 1 সেকেন্ডে কণাটির ত্বরণ কত?

  1. 6 m/s2
  2. -6 m/s2
  3. 0 m/s2
  4. -12 m/s2
উত্তর দেখাও
সঠিক উত্তর: (b) -6 m/s2
ব্যাখ্যা: ত্বরণের সমীকরণ হল a(t) = 6t – 12।
t = 1 সেকেন্ডে, a(1) = 6(1) – 12 = 6 – 12 = -6 m/s2।

65. কোন সময়ে কণাটির ত্বরণ শূন্য হবে?

  1. t=1 s
  2. t=2 s
  3. t=3 s
  4. t=0 s
উত্তর দেখাও
সঠিক উত্তর: (b) t=2 s
ব্যাখ্যা: ত্বরণ শূন্য হলে, a(t) = 0।
6t – 12 = 0
6t = 12
t = 2 সেকেন্ড।

66. কণাটি কখন দিক পরিবর্তন করে?

  1. যখন ত্বরণ শূন্য হয়
  2. যখন বেগ শূন্য হয়
  3. যখন সরণ শূন্য হয়
  4. যখন ত্বরণ সর্বোচ্চ হয়
উত্তর দেখাও
সঠিক উত্তর: (b) যখন বেগ শূন্য হয়
ব্যাখ্যা: যখন বেগ শূন্য হয় এবং চিহ্ন পরিবর্তন করে, তখন কণাটি তার গতির দিক পরিবর্তন করে। এই ক্ষেত্রে, t=1 এবং t=3 সেকেন্ডে এটি ঘটে।

67. t=0 সেকেন্ডে কণাটির প্রাথমিক সরণ কত ছিল?

  1. 0 m
  2. 1 m
  3. 9 m
  4. -6 m
উত্তর দেখাও
সঠিক উত্তর: (b) 1 m
ব্যাখ্যা: s(t) = t3 – 6t2 + 9t + 1।
s(0) = 0 – 0 + 0 + 1 = 1 m।

68. t=0 সেকেন্ডে কণাটির প্রাথমিক বেগ কত ছিল?

  1. 0 m/s
  2. 1 m/s
  3. 9 m/s
  4. -12 m/s
উত্তর দেখাও
সঠিক উত্তর: (c) 9 m/s
ব্যাখ্যা: v(t) = 3t2 – 12t + 9।
v(0) = 0 – 0 + 9 = 9 m/s।

69. 0 থেকে 2 সেকেন্ডের মধ্যে গড় বেগ (average velocity) কত?

  1. 1 m/s
  2. 2 m/s
  3. 3 m/s
  4. 4 m/s
উত্তর দেখাও
সঠিক উত্তর: (a) 1 m/s
ব্যাখ্যা: গড় বেগ = (মোট সরণ) / (মোট সময়) = (s(2) – s(0)) / (2 – 0)।
s(2) = 23 – 6(2)2 + 9(2) + 1 = 8 – 24 + 18 + 1 = 3 m।
s(0) = 1 m।
গড় বেগ = (3 – 1) / 2 = 2 / 2 = 1 m/s।

70. t=3 সেকেন্ডে কণাটির সরণ কত?

  1. 0 m
  2. 1 m
  3. 2 m
  4. -1 m
উত্তর দেখাও
সঠিক উত্তর: (b) 1 m
ব্যাখ্যা: s(3) = 33 – 6(3)2 + 9(3) + 1 = 27 – 54 + 27 + 1 = 1 m।

অনুচ্ছেদ ২

f(x) এবং g(x) দুটি অবকলনযোগ্য ফাংশন। f(2) = 3, f'(2) = -1, g(2) = 5 এবং g'(2) = 2 দেওয়া আছে। h(x) = f(x)g(x) এবং k(x) = f(x)/g(x)। এই তথ্যের উপর ভিত্তি করে নীচের প্রশ্নগুলির উত্তর দাও।

71. h'(x) নির্ণয়ের জন্য কোন সূত্রটি ব্যবহার করা হবে?

  1. যোগের সূত্র (Sum Rule)
  2. গুণের সূত্র (Product Rule)
  3. ভাগের সূত্র (Quotient Rule)
  4. শৃঙ্খল নিয়ম (Chain Rule)
উত্তর দেখাও
সঠিক উত্তর: (b) গুণের সূত্র (Product Rule)
ব্যাখ্যা: যেহেতু h(x) দুটি ফাংশনের গুণফল, তাই এর অবকলন নির্ণয়ের জন্য Product Rule (h'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)) ব্যবহার করতে হবে।

72. h'(2) এর মান কত?

  1. 1
  2. -5
  3. -1
  4. -9
উত্তর দেখাও
সঠিক উত্তর: (a) 1
ব্যাখ্যা: h'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)।
h'(2) = f'(2)g(2) + f(2)g'(2)
= (-1)(5) + (3)(2) = -5 + 6 = 1।

73. k'(x) নির্ণয়ের জন্য কোন সূত্রটি ব্যবহার করা হবে?

  1. যোগের সূত্র (Sum Rule)
  2. গুণের সূত্র (Product Rule)
  3. ভাগের সূত্র (Quotient Rule)
  4. শৃঙ্খল নিয়ম (Chain Rule)
উত্তর দেখাও
সঠিক উত্তর: (c) ভাগের সূত্র (Quotient Rule)
ব্যাখ্যা: যেহেতু k(x) দুটি ফাংশনের ভাগফল, তাই এর অবকলন নির্ণয়ের জন্য Quotient Rule (k'(x) = [f'(x)g(x) – f(x)g'(x)] / [g(x)]2) ব্যবহার করতে হবে।

74. k'(2) এর মান কত?

  1. -11/25
  2. 11/25
  3. -1/5
  4. 1/25
উত্তর দেখাও
সঠিক উত্তর: (a) -11/25
ব্যাখ্যা: k'(x) = [f'(x)g(x) – f(x)g'(x)] / [g(x)]2।
k'(2) = [f'(2)g(2) – f(2)g'(2)] / [g(2)]2
= [(-1)(5) – (3)(2)] / (5)2
= [-5 – 6] / 25 = -11/25।

75. যদি p(x) = 3f(x) – 2g(x) হয়, তাহলে p'(2) এর মান কত?

  1. -7
  2. -1
  3. 7
  4. -3
উত্তর দেখাও
সঠিক উত্তর: (a) -7
ব্যাখ্যা: p'(x) = 3f'(x) – 2g'(x)।
p'(2) = 3f'(2) – 2g'(2)
= 3(-1) – 2(2) = -3 – 4 = -7।

76. y = h(x) বক্ররেখার x = 2 বিন্দুতে স্পর্শকের নতি (slope) কত?

  1. 15
  2. -2
  3. 1
  4. 6
উত্তর দেখাও
সঠিক উত্তর: (c) 1
ব্যাখ্যা: স্পর্শকের নতি হল h'(2) এর মান, যা আমরা প্রশ্ন 72-এ নির্ণয় করেছি। মানটি হল 1।

77. y = k(x) বক্ররেখার x = 2 বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ কী হবে?

  1. 25y + 11x = 1
  2. 25y – 11x = 1
  3. y – 3/5 = (-11/25)(x – 2)
  4. y + 3/5 = (11/25)(x – 2)
উত্তর দেখাও
সঠিক উত্তর: (c) y – 3/5 = (-11/25)(x – 2)
ব্যাখ্যা: স্পর্শকের সমীকরণ হল y – y1 = m(x – x1)।
এখানে x1=2। y1 = k(2) = f(2)/g(2) = 3/5। নতি m = k'(2) = -11/25।
সুতরাং সমীকরণটি হল y – 3/5 = (-11/25)(x – 2)।

78. যদি q(x) = (f(x))2 হয়, তাহলে q'(2) এর মান কত? (Chain Rule)

  1. -6
  2. 9
  3. -3
  4. 6
উত্তর দেখাও
সঠিক উত্তর: (a) -6
ব্যাখ্যা: q'(x) = 2f(x) * f'(x)।
q'(2) = 2f(2) * f'(2) = 2(3) * (-1) = -6।

79. যদি r(x) = f(x) + g(x) হয়, তাহলে r'(2) এর মান কত?

  1. 1
  2. 8
  3. -3
  4. 3
উত্তর দেখাও
সঠিক উত্তর: (a) 1
ব্যাখ্যা: r'(x) = f'(x) + g'(x)।
r'(2) = f'(2) + g'(2) = -1 + 2 = 1।

80. x = 2 বিন্দুতে কোন ফাংশনের স্পর্শকের নতি ঋণাত্মক?

  1. h(x)
  2. k(x)
  3. r(x)
  4. g(x)
উত্তর দেখাও
সঠিক উত্তর: (b) k(x)
ব্যাখ্যা: h'(2) = 1 (ধনাত্মক), r'(2) = 1 (ধনাত্মক), g'(2) = 2 (ধনাত্মক)। শুধুমাত্র k'(2) = -11/25 (ঋণাত্মক)।

B. বাম স্তম্ভের সঙ্গে ডান স্তম্ভ মেলাও (MCQ)

প্রশ্ন (81-90): বাম স্তম্ভের প্রতিটি রাশির সঙ্গে ডান স্তম্ভের সঠিক মানটি মেলাও এবং নীচের বিকল্পগুলি থেকে সঠিক ক্রমটি বেছে নাও।

বাম স্তম্ভ (রাশি)ডান স্তম্ভ (মান)
(i) d/dx (x5)(A) -sin x
(ii) lim x→0 (sin 5x) / x(B) 2
(iii) d/dx (cos x)(C) 1/2
(iv) lim x→0 (e2x-1)/x(D) cos x
(v) d/dx (2x+3)(E) 5x4
(vi) lim x→4 (x-4)/(√x-2)(F) 5
(vii) d/dx (sin x)(G) e
(viii) lim x→0 (1-cos x)/x2(H) 2
(ix) d/dx (ex + 2)(I) 4
(x) lim x→∞ (1+1/x)x(J) ex

সঠিক ক্রমটি হল:

  1. (i)-E, (ii)-F, (iii)-A, (iv)-B, (v)-H, (vi)-I, (vii)-D, (viii)-C, (ix)-J, (x)-G
  2. (i)-E, (ii)-F, (iii)-A, (iv)-H, (v)-B, (vi)-I, (vii)-D, (viii)-C, (ix)-J, (x)-G
  3. (i)-F, (ii)-E, (iii)-A, (iv)-B, (v)-H, (vi)-I, (vii)-D, (viii)-C, (ix)-J, (x)-G
  4. (i)-E, (ii)-F, (iii)-D, (iv)-B, (v)-H, (vi)-I, (vii)-A, (viii)-C, (ix)-J, (x)-G
উত্তর দেখাও
সঠিক উত্তর: (b) (i)-E, (ii)-F, (iii)-A, (iv)-H, (v)-B, (vi)-I, (vii)-D, (viii)-C, (ix)-J, (x)-G

ব্যাখ্যা:
  • (i) d/dx (x5) = 5x4। (E)
  • (ii) lim x→0 (sin 5x) / x = lim x→0 5*(sin 5x / 5x) = 5 * 1 = 5। (F)
  • (iii) d/dx (cos x) = -sin x। (A)
  • (iv) lim x→0 (e2x-1)/x = lim x→0 2*(e2x-1)/2x = 2 * 1 = 2। (H)
  • (v) d/dx (2x+3) = 2 + 0 = 2। (B)
  • (vi) lim x→4 (x-4)/(√x-2) = lim x→4 (√x-2)(√x+2)/(√x-2) = lim x→4 (√x+2) = √4+2 = 2+2=4। (I)
  • (vii) d/dx (sin x) = cos x। (D)
  • (viii) lim x→0 (1-cos x)/x2 = 1/2 (আদর্শ সূত্র)। (C)
  • (ix) d/dx (ex + 2) = ex + 0 = ex। (J)
  • (x) lim x→∞ (1+1/x)x = e (আদর্শ সূত্র)। (G)
সুতরাং, সঠিক ক্রম হল: (i)-E, (ii)-F, (iii)-A, (iv)-H, (v)-B, (vi)-I, (vii)-D, (viii)-C, (ix)-J, (x)-G।

Related Posts

Leave a Comment

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Scroll to Top