ক) বহুবিকল্পভিত্তিক প্রশ্নাবলী (MCQ) – মান ১ (১৫টি)
১. একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধ r এবং উচ্চতা h হলে, বক্রতলের ক্ষেত্রফল হবে—
(ক) πr²h
(খ) 2πrh
(গ) 2πr(r+h)
(ঘ) πrh
উত্তর দেখাও
সমাধান:
লম্ব বৃত্তাকার চোঙের বক্রতলের বা পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফলের সূত্র হল 2πrh বর্গএকক।সঠিক উত্তর: (খ) 2πrh
২. দুটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের উচ্চতার অনুপাত 1:2 এবং ভূমির পরিধির অনুপাত 3:4 হলে, তাদের আয়তনের অনুপাত কত?
(ক) 9:32
(খ) 9:16
(গ) 3:8
(ঘ) 9:8
উত্তর দেখাও
সমাধান:
h₁/h₂ = 1/2। পরিধির অনুপাত 2πr₁/2πr₂ = r₁/r₂ = 3/4।সঠিক উত্তর: (ক) 9:32
৩. একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের আয়তন এবং বক্রতলের ক্ষেত্রফলের সাংখ্যমান সমান হলে, চোঙটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য কত?
(ক) 1 একক
(খ) 2 একক
(গ) 4 একক
(ঘ) π একক
উত্তর দেখাও
সমাধান:
πr²h = 2πrh।সঠিক উত্তর: (খ) 2 একক
৪. একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য অর্ধেক এবং উচ্চতা দ্বিগুণ করা হলে, আয়তন পূর্বের আয়তনের—
(ক) সমান থাকবে
(খ) দ্বিগুণ হবে
(গ) অর্ধেক হবে
(ঘ) চারগুণ হবে
উত্তর দেখাও
সমাধান:
পূর্বের আয়তন V = πr²h।সঠিক উত্তর: (গ) অর্ধেক হবে
৫. একটি ফাঁপা চোঙের বহির্ব্যাস ও অন্তর্ব্যাস যথাক্রমে 10 সেমি ও 6 সেমি এবং উচ্চতা 7 সেমি হলে, চোঙটিতে ধাতুর পরিমাণ (আয়তন) কত?
(ক) 352 ঘনসেমি
(খ) 440 ঘনসেমি
(গ) 176 ঘনসেমি
(ঘ) 220 ঘনসেমি
উত্তর দেখাও
সমাধান:
বহির্ব্যাসার্ধ R = 10/2 = 5 সেমি, অন্তর্ব্যাসার্ধ r = 6/2 = 3 সেমি। h=7 সেমি।সঠিক উত্তর: (ক) 352 ঘনসেমি
৬. একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ভূমির ক্ষেত্রফল 25π বর্গসেমি এবং উচ্চতা 10 সেমি হলে, চোঙটির আয়তন কত?
(ক) 250 ঘনসেমি
(খ) 250π ঘনসেমি
(গ) 50π ঘনসেমি
(ঘ) 500π ঘনসেমি
উত্তর দেখাও
সমাধান:
আয়তন = ভূমির ক্ষেত্রফল × উচ্চতা = 25π × 10 = 250π ঘনসেমি।সঠিক উত্তর: (খ) 250π ঘনসেমি
৭. একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ভূমির ব্যাসার্ধ r একক এবং উচ্চতা 2r একক হলে, চোঙটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল কত?
(ক) 4πr² বর্গএকক
(খ) 6πr² বর্গএকক
(গ) 8πr² বর্গএকক
(ঘ) 2πr² বর্গএকক
উত্তর দেখাও
সমাধান:
উচ্চতা h = 2r।সঠিক উত্তর: (খ) 6πr² বর্গএকক
৮. একটি নিরেট চোঙকে গলিয়ে একই ব্যাসার্ধের একটি নিরেট গোলক তৈরি করা হলে, চোঙ ও গোলকের উচ্চতা ও ব্যাসের সম্পর্ক কী হবে?
(ক) উচ্চতা=ব্যাস
(খ) উচ্চতা=ব্যাসার্ধ
(গ) উচ্চতা=(2/3)×ব্যাস
(ঘ) উচ্চতা=(4/3)×ব্যাস
উত্তর দেখাও
সমাধান:
চোঙের আয়তন = গোলকের আয়তন।সঠিক উত্তর: (গ) উচ্চতা=(2/3)×ব্যাস
৯. একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের তল সংখ্যা হল—
(ক) 1টি
(খ) 2টি
(গ) 3টি
(ঘ) 4টি
উত্তর দেখাও
সমাধান:
একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের দুটি সমতল (ভূমির তল) এবং একটি বক্রতল থাকে। মোট 3টি তল।সঠিক উত্তর: (গ) 3টি
১০. একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের বক্রতলের ক্ষেত্রফল A এবং ভূমির ব্যাসার্ধ r হলে, চোঙটির আয়তন হবে—
(ক) Ar
(খ) Ar/2
(গ) 2Ar
(ঘ) Arh
উত্তর দেখাও
সমাধান:
A = 2πrh => h = A/(2πr)।সঠিক উত্তর: (খ) Ar/2
১১. দুটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধের অনুপাত 2:3 এবং উচ্চতার অনুপাত 5:3 হলে, তাদের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?
(ক) 2:3 (খ) 10:9 (গ) 5:3 (ঘ) 4:9 উত্তর দেখাও সমাধান: r₁/r₂=2/3, h₁/h₂=5/3।সঠিক উত্তর: (খ) 10:9
১২. একটি চোঙের ভূমির পরিধি 44 সেমি এবং উচ্চতা 10 সেমি। চোঙটির পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল কত?
(ক) 220 বর্গসেমি (খ) 440 বর্গসেমি (গ) 880 বর্গসেমি (ঘ) 110 বর্গসেমি উত্তর দেখাও সমাধান: পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল = ভূমির পরিধি × উচ্চতা = 44 × 10 = 440 বর্গসেমি।সঠিক উত্তর: (খ) 440 বর্গসেমি
১৩. একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের উচ্চতা 14 সেমি এবং বক্রতলের ক্ষেত্রফল 264 বর্গসেমি হলে, চোঙটির আয়তন কত?
(ক) 396 ঘনসেমি (খ) 264 ঘনসেমি (গ) 198 ঘনসেমি (ঘ) 528 ঘনসেমি উত্তর দেখাও সমাধান: 2πrh=264 => 2×(22/7)×r×14=264 => 88r=264 => r=3 সেমি।সঠিক উত্তর: (ক) 396 ঘনসেমি
১৪. একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের উচ্চতা ও ভূমির ব্যাসার্ধ সমান হলে, তার আয়তন ও সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?
(ক) r:3 (খ) r:2 (গ) 3:r (ঘ) 2:r উত্তর দেখাও সমাধান: h=r। আয়তন V=πr²h=πr³।সঠিক উত্তর: প্রদত্ত প্রশ্নে ত্রুটি আছে।
১৫. একটি নিরেট অর্ধগোলক ও একটি নিরেট চোঙের ভূমির ব্যাসার্ধ ও উচ্চতা সমান হলে, তাদের আয়তনের অনুপাত হবে—
(ক) 1:2 (খ) 2:3 (গ) 3:2 (ঘ) 1:3 উত্তর দেখাও সমাধান: অর্ধগোলকের উচ্চতা তার ব্যাসার্ধের সমান, h=r।সঠিক উত্তর: (খ) 2:3
খ) অতি-সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্নাবলী (VSA) – মান ১ (২০টি)
(i) শূন্যস্থান পূরণ করো (১০টি)
১. একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ভূমির ব্যাসার্ধ r একক ও উচ্চতা h একক হলে, আয়তন ________ ঘনএকক।
উত্তর দেখাও উত্তর: πr²h
২. একটি নিরেট চোঙের বক্রতলের সংখ্যা ________টি।
উত্তর দেখাও উত্তর: 1
৩. একটি আয়তক্ষেত্রাকার কাগজকে তার যেকোনো একটি বাহুকে অক্ষ করে ঘোরালে যে ঘনবস্তু তৈরি হয়, তা হল ________।
উত্তর দেখাও উত্তর: লম্ব বৃত্তাকার চোঙ
৪. একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের দুটি তল ________ এবং একটি তল বক্রতল।
উত্তর দেখাও উত্তর: সমতল (বা বৃত্তাকার)
৫. একটি ফাঁপা চোঙের বাইরের ও ভিতরের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে R ও r এবং উচ্চতা h হলে, আয়তন হল ________।
উত্তর দেখাও উত্তর: π(R²-r²)h
৬. একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের উচ্চতা অপরিবর্তিত রেখে ব্যাসার্ধ দ্বিগুণ করলে, আয়তন ________ গুণ হবে।
উত্তর দেখাও সমাধান: V’=π(2r)²h = 4(πr²h)=4V।উত্তর: 4
৭. একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধ r ও উচ্চতা h হলে, সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল হল ________।
উত্তর দেখাও উত্তর: 2πr(h+r)
৮. একটি লম্ব বৃত্তাকার ড্রামের ব্যাসার্ধ 40 সেমি এবং উচ্চতা 1 মিটার হলে, ড্রামে ________ লিটার জল ধরবে (π≈22/7)।
উত্তর দেখাও সমাধান: r=4ডেসিমি, h=10ডেসিমি। আয়তন=πr²h=(22/7)×4²×10≈502.8 ঘনডেসিমি।উত্তর: প্রায় 502.8
৯. দুটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের আয়তন সমান এবং তাদের উচ্চতার অনুপাত 1:2 হলে, ব্যাসার্ধের অনুপাত হবে ________।
উত্তর দেখাও সমাধান: πr₁²h₁=πr₂²h₂ => (r₁/r₂)²=h₂/h₁=2/1 => r₁/r₂=√2:1।উত্তর: √2:1
১০. একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের অক্ষটি ভূমির ব্যাসার্ধের সঙ্গে ________ কোণে থাকে।
উত্তর দেখাও উত্তর: 90°
(ii) সত্য অথবা মিথ্যা লেখো (১০টি)
১. একটি চোঙের ভূমির ব্যাসার্ধ দ্বিগুণ ও উচ্চতা অর্ধেক করলে আয়তন দ্বিগুণ হয়।
উত্তর দেখাও যুক্তি: V’=π(2r)²(h/2)=π(4r²)(h/2)=2(πr²h)=2V।উত্তর: সত্য
২. একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের বক্রতলের ক্ষেত্রফল ভূমির ক্ষেত্রফলের দ্বিগুণ হতে পারে।
উত্তর দেখাও যুক্তি: 2πrh = 2(πr²) => h=r। এটি সম্ভব।উত্তর: সত্য
৩. একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধ, উচ্চতা এবং তির্যক উচ্চতা থাকে।
উত্তর দেখাও যুক্তি: চোঙের তির্যক উচ্চতা থাকে না, শঙ্কুর থাকে।উত্তর: মিথ্যা
৪. দুটি চোঙের উচ্চতা সমান হলে, তাদের আয়তনের অনুপাত ভূমির ব্যাসার্ধের বর্গের অনুপাতের সমান হয়।
উত্তর দেখাও যুক্তি: V₁/V₂ = (πr₁²h)/(πr₂²h) = r₁²/r₂²।উত্তর: সত্য
৫. একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ভূমির পরিধি ও উচ্চতা সমান হলে, পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল ভূমির ক্ষেত্রফলের 4π গুণ হবে।
উত্তর দেখাও যুক্তি: 2πr=h। পার্শ্বতল=2πrh=h²। ভূমি=πr²=π(h/2π)²=h²/(4π)।উত্তর: সত্য
৬. একটি পেনসিল একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের উদাহরণ।
উত্তর দেখাও যুক্তি: সাধারণভাবে একটি নতুন, না-কাটা পেনসিলের আকৃতি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের মতো।উত্তর: সত্য
৭. একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের শীর্ষবিন্দুর সংখ্যা একটি।
উত্তর দেখাও যুক্তি: চোঙের কোনো শীর্ষবিন্দু নেই।উত্তর: মিথ্যা
৮. একটি চোঙের ভূমির ব্যাস 3 সেমি এবং উচ্চতা 4 সেমি হলে, চোঙটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 18.5π বর্গসেমি।
উত্তর দেখাও যুক্তি: r=1.5, h=4। ক্ষেত্রফল=2πr(h+r)=2π(1.5)(4+1.5)=3π(5.5)=16.5π।উত্তর: মিথ্যা
৯. একটি চোঙের আয়তন তার বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অর্ধেক গুণ ব্যাসার্ধের সমান।
উত্তর দেখাও যুক্তি: V = (Ar)/2। উক্তিটি সঠিক।উত্তর: সত্য
১০. একটি ঘরের মধ্যে সর্বাধিক যত পরিমাণ বায়ু থাকতে পারে, তা হল ঘরটির আয়তন।
উত্তর দেখাও যুক্তি: গ্যাসের ধর্ম অনুযায়ী, গ্যাস পাত্রের সম্পূর্ণ আয়তন দখল করে।উত্তর: সত্য
গ) সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্নাবলী – মান ২ (২০টি)
১. একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ভূমির ব্যাসার্ধ 7 সেমি এবং উচ্চতা 10 সেমি। চোঙটির আয়তন ও সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
উত্তর দেখাও সমাধান: আয়তন V = πr²h = (22/7)×7²×10 = 22×7×10 = 1540 ঘনসেমি।উত্তর: আয়তন 1540 ঘনসেমি, ক্ষেত্রফল 748 বর্গসেমি।
২. একটি চোঙের উচ্চতা 14 সেমি এবং বক্রতলের ক্ষেত্রফল 264 বর্গসেমি। চোঙটির ভূমির ব্যাসার্ধ কত?
উত্তর দেখাও সমাধান: 2πrh = 264 => 2×(22/7)×r×14 = 264 => 88r=264 => r=3 সেমি।উত্তর: ব্যাসার্ধ 3 সেমি।
৩. দুটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের উচ্চতার অনুপাত 2:3 এবং ভূমির ব্যাসার্ধের অনুপাত 5:4 হলে, তাদের আয়তনের অনুপাত কত?
উত্তর দেখাও সমাধান: V₁/V₂ = (r₁/r₂)² × (h₁/h₂) = (5/4)² × (2/3) = (25/16) × (2/3) = 25/24।উত্তর: আয়তনের অনুপাত 25:24।
৪. একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের আয়তন 462 ঘনমিটার এবং ভূমির ব্যাস 7 মিটার। চোঙটির উচ্চতা নির্ণয় করো।
উত্তর দেখাও সমাধান: ব্যাস=7মি, ব্যাসার্ধ r=3.5মি।উত্তর: উচ্চতা 12 মিটার।
৫. একটি লম্ব বৃত্তাকার স্তম্ভের বক্রতলের ক্ষেত্রফল 264 বর্গমিটার এবং আয়তন 924 ঘনমিটার। স্তম্ভটির ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
উত্তর দেখাও সমাধান: V/A = (πr²h)/(2πrh) = r/2।উত্তর: ব্যাসার্ধ 7 মিটার।
৬. একটি চোঙের ভূমির পরিধি 88 সেমি এবং উচ্চতা 5 সেমি। চোঙটির আয়তন কত?
উত্তর দেখাও সমাধান: 2πr=88 => 2×(22/7)×r=88 => r=14 সেমি।উত্তর: 3080 ঘনসেমি।
৭. একটি নিরেট চোঙের উচ্চতা ও ভূমির ব্যাস সমান। যদি চোঙটির আয়তন 539 ঘনসেমি হয়, তবে তার উচ্চতা কত?
উত্তর দেখাও সমাধান: h=2r। V=πr²h=πr²(2r)=2πr³।উত্তর: 7 সেমি।
৮. একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙাকৃতি স্তম্ভের ভূমির ব্যাসের দৈর্ঘ্য 3 মিটার এবং উচ্চতা 14 মিটার। প্রতি বর্গমিটারে 25 টাকা হিসাবে স্তম্ভটির পার্শ্বতল রং করতে কত খরচ হবে?
উত্তর দেখাও সমাধান: r=1.5মি, h=14মি। পার্শ্বতল=2πrh=2×(22/7)×1.5×14=132 বর্গমি।উত্তর: 3300 টাকা।
৯. একটি চোঙের উচ্চতা তার ভূমির ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ। যদি উচ্চতা 6 সেমি হত, তবে চোঙটির আয়তন কত হত?
উত্তর দেখাও সমাধান: যদি h=6 সেমি হত, তবে r=h/2=3 সেমি।উত্তর: প্রায় 169.71 ঘনসেমি।
১০. একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 50% হ্রাস করা হল এবং উচ্চতা 50% বৃদ্ধি করা হল। চোঙটির আয়তনের শতকরা কত পরিবর্তন হবে?
উত্তর দেখাও সমাধান: r’=r-0.5r=0.5r। h’=h+0.5h=1.5h।উত্তর: 62.5% হ্রাস পাবে।
১১. 1 সেমি পুরু সিসার পাত দিয়ে তৈরি একটি ফাঁপা চোঙের উচ্চতা 10 সেমি এবং বহির্ব্যাসের দৈর্ঘ্য 12 সেমি। চোঙটি তৈরি করতে কত ঘনসেমি সিসা লেগেছে?
উত্তর দেখাও সমাধান: R=12/2=6 সেমি। r=6-1=5 সেমি। h=10 সেমি।উত্তর: 110π ঘনসেমি।
১২. সমান ঘনত্বের দুটি লম্ব বৃত্তাকার কাঠের গুঁড়ির বক্রতলের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 5:6 এবং তাদের ব্যাসার্ধের অনুপাত 5:7। তাদের ওজনের অনুপাত নির্ণয় করো।
উত্তর দেখাও সমাধান: (2πr₁h₁)/(2πr₂h₂)=5/6 => (r₁h₁)/(r₂h₂)=5/6। r₁/r₂=5/7।উত্তর: 25:42।
১৩. একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধ r এবং উচ্চতা h। চোঙটির আয়তন V হলে h-এর মান V ও r দ্বারা প্রকাশ করো।
উত্তর দেখাও সমাধান: V=πr²h => h=V/(πr²)।উত্তর: h=V/(πr²)।
১৪. একটি চোঙাকৃতি পাত্রের ভূমির পরিধি 22 ডেসিমি এবং উচ্চতা 5 ডেসিমি। পাত্রটিতে কত লিটার জল ধরবে?
উত্তর দেখাও সমাধান: 2πr=22 => 2(22/7)r=22 => r=3.5 ডেসিমি।উত্তর: 192.5 লিটার।
১৫. একটি নিরেট লোহার দণ্ডের ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 32 সেমি এবং দৈর্ঘ্য 35 সেমি। দণ্ডটি গলিয়ে 8 সেমি ব্যাসার্ধ ও 28 সেমি উচ্চতার কতগুলি নিরেট শঙ্কু তৈরি করা যাবে?
উত্তর দেখাও সমাধান: এটি শঙ্কু অধ্যায়ের প্রশ্ন।উত্তর: 180টি।
১৬. একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের উচ্চতা 7 সেমি এবং সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 440 বর্গসেমি। চোঙটির ভূমির ব্যাস কত?
উত্তর দেখাও সমাধান: 2πr(h+r)=440 => 2(22/7)r(7+r)=440 => r(7+r)=70।
১৭. একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ব্যাসার্ধ 3 সেমি ও উচ্চতা 4 সেমি। চোঙটির মধ্যে সর্ববৃহৎ যে নিরেট গোলক রাখা যাবে তার ব্যাসার্ধ কত?
উত্তর দেখাও সমাধান: গোলকের ব্যাস চোঙের ব্যাস (6 সেমি) এবং উচ্চতা (4 সেমি) -এর মধ্যে যেটি ছোট, তার সমান বা কম হবে।উত্তর: 2 সেমি।
১৮. একটি চোঙ ও শঙ্কুর ভূমির ব্যাসার্ধ ও উচ্চতা সমান। তাদের আয়তনের অনুপাত কত?
উত্তর দেখাও সমাধান: চোঙের আয়তন:শঙ্কুর আয়তন = πr²h : (1/3)πr²h = 1 : 1/3 = 3:1।উত্তর: 3:1।
১৯. একটি চোঙের ভূমির ব্যাসার্ধ ও উচ্চতার অনুপাত 2:3। যদি এর আয়তন 1617 ঘনসেমি হয়, তবে এর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
উত্তর দেখাও সমাধান: r=2x, h=3x। V=π(2x)²(3x)=12πx³=1617।উত্তর: 770 বর্গসেমি।
২০. একটি চোঙের বক্রতলের ক্ষেত্রফল C, ভূমির ব্যাসার্ধ r এবং আয়তন V হলে, C, r ও V-এর মধ্যে সম্পর্কটি কী?
উত্তর দেখাও সমাধান: C=2πrh, V=πr²h।উত্তর: Cr = 2V।
ঘ) রচনাধর্মী প্রশ্নাবলী – মান ৪ (১০টি)
১. 2.8 ডেসিমি অন্তর্ব্যাসবিশিষ্ট এবং 7.5 ডেসিমি লম্বা একটি জ্বালানি গ্যাস সিলিন্ডারে 15.015 কেজি গ্যাস থাকলে, প্রতি ঘনডেসিমি গ্যাসের ওজন কত গ্রাম?
উত্তর দেখাও সমাধান: সিলিন্ডারের অন্তর্ব্যাসার্ধ r = 2.8/2 = 1.4 ডেসিমি।উত্তর: প্রতি ঘনডেসিমি গ্যাসের ওজন 325 গ্রাম।
২. একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙাকৃতি ট্যাঙ্কের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 231 বর্গমিটার এবং বক্রতলের ক্ষেত্রফল সমগ্রতলের ক্ষেত্রফলের 2/3 অংশ। ট্যাঙ্কটির আয়তন নির্ণয় করো।
উত্তর দেখাও সমাধান: বক্রতলের ক্ষেত্রফল (2πrh) = (2/3) × 231 = 154 বর্গমিটার।উত্তর: ট্যাঙ্কটির আয়তন 269.5 ঘনমিটার।
৩. 7 সেমি ব্যাসের একটি লম্বা গ্যাস জারে কিছু জল আছে। ওই জলে যদি 5.6 সেমি ব্যাসের 5 সেমি লম্বা একটি নিরেট লোহার চোঙ ডোবানো হয়, তবে জলতল কতটুকু উপরে উঠবে?
উত্তর দেখাও সমাধান: জলতল ততটুকুই উঠবে যাতে অপসারিত জলের আয়তন ডোবানো চোঙের আয়তনের সমান হয়।উত্তর: জলতল 3.2 সেমি উপরে উঠবে।
৪. একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের উচ্চতা তার ভূমির ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ। যদি উচ্চতা 6 গুণ হত, তবে চোঙটির আয়তন 539 ঘনডেসিমি বেশি হত। চোঙটির উচ্চতা কত?
উত্তর দেখাও সমাধান: প্রাথমিক ভাবে, h=2r। আয়তন V₁ = πr²h = πr²(2r) = 2πr³।উত্তর: চোঙটির উচ্চতা 7 ডেসিমি।
৫. 14 সেমি ব্যাসের একটি পাইপযুক্ত পাম্পসেট মিনিটে 2500 মিটার জল সেচ করতে পারে। ওই পাম্পটি 1 ঘণ্টায় কত কিলোলিটার জল সেচ করবে? (1 লিটার = 1 ঘনডেসিমি)
উত্তর দেখাও সমাধান: এখানে পাইপ থেকে নির্গত জলের গতিবেগ দেওয়া আছে, যা চোঙের উচ্চতার কাজ করবে।উত্তর: পাম্পটি 1 ঘণ্টায় 2310 কিলোলিটার জল সেচ করবে।
৬. একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙাকৃতি পাত্রে কিছু জল আছে। 3 সেমি ও 4 সেমি ব্যাসের দুটি নিরেট গোলক ওই জলে সম্পূর্ণ ডোবানোর ফলে পাত্রে জলতল 5 সেমি বৃদ্ধি পেল। পাত্রটির ভূমির ব্যাসের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
উত্তর দেখাও সমাধান: এটি গোলক অধ্যায়ের সঙ্গে সম্পর্কিত।
৭. একটি ফাঁপা চোঙের বহির্ব্যাসার্ধ 8 সেমি এবং অন্তর্ব্যাসার্ধ 6 সেমি। চোঙটির উচ্চতা 36 সেমি। চোঙটি গলিয়ে 6 সেমি ব্যাসার্ধের কতগুলি নিরেট চোঙ তৈরি করা যাবে যাদের উচ্চতা 12 সেমি হবে?
উত্তর দেখাও সমাধান: ফাঁপা চোঙের আয়তন = π(R²-r²)h = π(8²-6²)×36 = π(64-36)×36 = π(28)×36 ঘনসেমি।উত্তর: প্রদত্ত প্রশ্নে ত্রুটি আছে।
৮. সমান ব্যাস ও সমান উচ্চতাবিশিষ্ট একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার চোঙ, একটি নিরেট লম্ব বৃত্তাকার শঙ্কু এবং একটি নিরেট গোলকের আয়তনের অনুপাত নির্ণয় করো।
উত্তর দেখাও সমাধান: শর্ত অনুযায়ী, চোঙ ও শঙ্কুর উচ্চতা h = গোলকের ব্যাস = 2r।উত্তর: আয়তনের অনুপাত 3:1:2।
৯. একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙের উচ্চতা 14 সেমি এবং পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল 264 বর্গসেমি। চোঙটির আয়তন ও সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
উত্তর দেখাও সমাধান: পার্শ্বতল 2πrh = 264 => 2×(22/7)×r×14 = 264 => 88r=264 => r=3 সেমি।উত্তর: আয়তন 396 ঘনসেমি, সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল প্রায় 320.57 বর্গসেমি।
১০. একটি লম্ব বৃত্তাকার ড্রামের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 14 সেমি এবং উচ্চতা 20 সেমি। ড্রামটির ভিতরে সর্ববৃহৎ যে বর্গাকার প্রস্থচ্ছেদবিশিষ্ট কাঠের লগ রাখা যাবে, তার আয়তন কত?
উত্তর দেখাও সমাধান: সর্ববৃহৎ বর্গাকার প্রস্থচ্ছেদটি চোঙের ভূমির বৃত্তে অন্তর্লিখিত হবে।উত্তর: লগটির আয়তন 7840 ঘনসেমি।
