ম্যাট্রিক্স (Matrices)

উচ্চ মাধ্যমিক গণিত সাজেশন ২০২৬ (সেমিস্টার ১)

A. নীচের প্রশ্নগুলি থেকে সঠিক উত্তর বেছে নাও: (60 MCQ)

1. একটি 3 × 4 ক্রমের ম্যাট্রিক্সে মোট পদের সংখ্যা কত?

  1. 3
  2. 4
  3. 7
  4. 12
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (d) 12
ব্যাখ্যা: একটি m × n ক্রমের ম্যাট্রিক্সে মোট পদের সংখ্যা হল m × n। এখানে, 3 × 4 = 12।

2. যদি একটি ম্যাট্রিক্স A প্রতিসম (symmetric) হয়, তবে কোনটি সঠিক?

  1. A = AT
  2. A = -AT
  3. A = A⁻¹
  4. A = I
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) A = AT
ব্যাখ্যা: প্রতিসম ম্যাট্রিক্সের সংজ্ঞা অনুযায়ী, ম্যাট্রিক্সটি তার পরিবর্ত ম্যাট্রিক্সের (transpose) সমান হয়।

3. দুটি ম্যাট্রিক্স A এবং B-এর গুণফল AB সংজ্ঞাত হবে যদি-

  1. A-এর সারির সংখ্যা B-এর সারির সংখ্যার সমান হয়
  2. A-এর স্তম্ভের সংখ্যা B-এর স্তম্ভের সংখ্যার সমান হয়
  3. A-এর স্তম্ভের সংখ্যা B-এর সারির সংখ্যার সমান হয়
  4. A-এর সারির সংখ্যা B-এর স্তম্ভের সংখ্যার সমান হয়
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) A-এর স্তম্ভের সংখ্যা B-এর সারির সংখ্যার সমান হয়
ব্যাখ্যা: এটি ম্যাট্রিক্সের গুণফলের মৌলিক শর্ত।

4. একটি একক ম্যাট্রিক্স (Identity matrix) হল একটি-

  1. শূন্য ম্যাট্রিক্স
  2. বর্গ ম্যাট্রিক্স
  3. কর্ণ ম্যাট্রিক্স যার কর্ণ বরাবর পদগুলি 1
  4. (b) এবং (c) উভয়ই
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (d) (b) এবং (c) উভয়ই
ব্যাখ্যা: একক ম্যাট্রিক্স একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স এবং একটি কর্ণ ম্যাট্রিক্স যার প্রধান কর্ণের সমস্ত পদ 1 এবং বাকি পদগুলি 0।

5. যদি A একটি বিপ্রতিসম (skew-symmetric) ম্যাট্রিক্স হয়, তবে এর প্রধান কর্ণের পদগুলি হবে-

  1. 1
  2. -1
  3. 0
  4. যেকোনো সংখ্যা
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) 0
ব্যাখ্যা: বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্সে, aij = -aji। কর্ণের পদের জন্য, i=j, সুতরাং aii = -aii => 2aii = 0 => aii = 0।

6. (AT)T = ?

  1. A
  2. AT
  3. A⁻¹
  4. I
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) A
ব্যাখ্যা: একটি ম্যাট্রিক্সের পরিবর্তের পরিবর্ত হল মূল ম্যাট্রিক্সটি।

7. যদি A একটি m×n ম্যাট্রিক্স হয়, তবে AT-এর ক্রম কী হবে?

  1. m×n
  2. n×m
  3. m×m
  4. n×n
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) n×m
ব্যাখ্যা: পরিবর্ত ম্যাট্রিক্সে সারি এবং স্তম্ভ পরস্পর স্থান পরিবর্তন করে।

8. দুটি ম্যাট্রিক্সের যোগফল সংজ্ঞাত হয় যদি-

  1. তারা বর্গ ম্যাট্রিক্স হয়
  2. তাদের ক্রম একই হয়
  3. তাদের determinant অশূন্য হয়
  4. তারা শূন্য ম্যাট্রিক্স হয়
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) তাদের ক্রম একই হয়
ব্যাখ্যা: এটি ম্যাট্রিক্সের যোগফলের মৌলিক শর্ত।

9. ম্যাট্রিক্সের গুণন সাধারণত-

  1. বিনিময়যোগ্য (Commutative)
  2. সংযোগযোগ্য (Associative)
  3. বন্টনযোগ্য (Distributive)
  4. (b) এবং (c) উভয়ই
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (d) (b) এবং (c) উভয়ই
ব্যাখ্যা: ম্যাট্রিক্স গুণন সংযোগ ও বন্টন সূত্র মেনে চলে কিন্তু সাধারণত বিনিময়যোগ্য নয় (AB ≠ BA)।

10. একটি বিপরীতযোগ্য (invertible) ম্যাট্রিক্স A-এর জন্য কোনটি সঠিক?

  1. det(A) = 0
  2. det(A) ≠ 0
  3. A একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স
  4. A একটি আয়তাকার ম্যাট্রিক্স
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) det(A) ≠ 0
ব্যাখ্যা: শুধুমাত্র নন-সিঙ্গুলার (non-singular) বর্গ ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্সের অস্তিত্ব থাকে, যার নির্ণায়কের মান অশূন্য।

11. (AB)⁻¹ = ?

  1. A⁻¹B⁻¹
  2. B⁻¹A⁻¹
  3. (BA)⁻¹
  4. A⁻¹+B⁻¹
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) B⁻¹A⁻¹
ব্যাখ্যা: এটি বিপরীত ম্যাট্রিক্সের একটি ধর্ম (Reversal Law)।

12. যদি A এবং B দুটি ম্যাট্রিক্স হয় যাতে AB=O হয়, তবে-

  1. A=O অথবা B=O হতেই হবে
  2. A=O এবং B=O উভয়ই হতে হবে
  3. A=O অথবা B=O না হলেও এটি সম্ভব
  4. এটি কখনোই সম্ভব নয়
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) A=O অথবা B=O না হলেও এটি সম্ভব
ব্যাখ্যা: ম্যাট্রিক্সের ক্ষেত্রে, দুটি অশূন্য ম্যাট্রিক্সের গুণফল একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স হতে পারে।

13. একটি কর্ণ ম্যাট্রিক্স (diagonal matrix) হল-

  1. একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স যার প্রধান কর্ণের বাইরের সমস্ত পদ শূন্য
  2. যেকোনো ম্যাট্রিক্স যার প্রধান কর্ণের বাইরের সমস্ত পদ শূন্য
  3. একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স
  4. একটি একক ম্যাট্রিক্স
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স যার প্রধান কর্ণের বাইরের সমস্ত পদ শূন্য

14. যদি A একটি 3×3 ক্রমের বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স হয়, তবে det(A) = ?

  1. 3
  2. 1
  3. 0
  4. -1
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) 0
ব্যাখ্যা: যেকোনো বিজোড় ক্রমের বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়কের মান সর্বদা শূন্য হয়।

15. (kA)T = ? (k একটি স্কেলার)

  1. k AT
  2. kT AT
  3. k A
  4. AT
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) k AT
ব্যাখ্যা: স্কেলার গুণনের পর পরিবর্ত নিলে, স্কেলারটি বাইরে চলে আসে।

16. A একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স হলে, A + AT সর্বদা একটি-

  1. প্রতিসম ম্যাট্রিক্স
  2. বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স
  3. শূন্য ম্যাট্রিক্স
  4. একক ম্যাট্রিক্স
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) প্রতিসম ম্যাট্রিক্স
ব্যাখ্যা: (A + AT)T = AT + (AT)T = AT + A = A + AT।

17. যদি A এবং B একই ক্রমের প্রতিসম ম্যাট্রিক্স হয়, তবে AB – BA হল একটি-

  1. প্রতিসম ম্যাট্রিক্স
  2. বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স
  3. শূন্য ম্যাট্রিক্স
  4. একক ম্যাট্রিক্স
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স
ব্যাখ্যা: (AB-BA)T = (AB)T-(BA)T = BTAT – ATBT = BA – AB = -(AB-BA)।

18. একটি স্কেলার ম্যাট্রিক্স হল একটি কর্ণ ম্যাট্রিক্স যার-

  1. কর্ণের পদগুলি ভিন্ন
  2. কর্ণের পদগুলি 1
  3. কর্ণের পদগুলি সমান
  4. কর্ণের পদগুলি 0
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) কর্ণের পদগুলি সমান

19. যদি A একটি বিপরীতযোগ্য ম্যাট্রিক্স হয়, তবে (A⁻¹)⁻¹ = ?

  1. A
  2. A⁻¹
  3. I
  4. A²
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) A
ব্যাখ্যা: একটি বিপরীত ম্যাট্রিক্সের বিপরীত হল মূল ম্যাট্রিক্সটি।

20. ম্যাট্রিক্স যোগ কোন সূত্রটি মেনে চলে না?

  1. বিনিময় সূত্র
  2. সংযোগ সূত্র
  3. গুণন সূত্র
  4. বন্টন সূত্র
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) গুণন সূত্র
ব্যাখ্যা: ম্যাট্রিক্স যোগের সাথে গুণন সূত্রের কোনো সম্পর্ক নেই। এটি বিনিময় ও সংযোগ সূত্র মেনে চলে।

21. একটি সারি ম্যাট্রিক্সে (row matrix) সারির সংখ্যা কত?

  1. 1
  2. 2
  3. m
  4. n
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) 1

22. যদি A একটি 3×2 ম্যাট্রিক্স এবং B একটি 2×4 ম্যাট্রিক্স হয়, তবে AB-এর ক্রম কী হবে?

  1. 3×4
  2. 4×3
  3. 2×2
  4. সংজ্ঞাত নয়
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) 3×4
ব্যাখ্যা: AB-এর ক্রম হবে (A-এর সারি) × (B-এর স্তম্ভ) = 3×4।

23. একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স A-কে প্রতিসম ও বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্সের যোগফল হিসেবে প্রকাশ করলে, প্রতিসম অংশটি কী?

  1. A+AT
  2. A-AT
  3. ½(A+AT)
  4. ½(A-AT)
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) ½(A+AT)

24. যদি A একটি একক ম্যাট্রিক্স I হয়, তবে A² = ?

  1. I
  2. 2I
  3. 0
  4. A
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (d) A (এবং (a) I)
ব্যাখ্যা: I² = I × I = I। যেহেতু A=I, তাই A²=A=I।

25. (A+B)T = ?

  1. AT + BT
  2. BT + AT
  3. ATBT
  4. (a) এবং (b) উভয়ই
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (d) (a) এবং (b) উভয়ই
ব্যাখ্যা: ম্যাট্রিক্স যোগ বিনিময়যোগ্য, তাই AT + BT = BT + AT।

26. একটি শূন্য ম্যাট্রিক্সের সকল পদ হল-

  1. 1
  2. -1
  3. 0
  4. যেকোনো সংখ্যা
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) 0

27. যদি A এবং B দুটি 2×2 ম্যাট্রিক্স হয়, তবে det(AB) = ?

  1. det(A) + det(B)
  2. det(A) – det(B)
  3. det(A)det(B)
  4. det(B)det(A)
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) det(A)det(B) এবং (d) det(B)det(A)
ব্যাখ্যা: নির্ণায়কের মান স্কেলার হওয়ায় det(A)det(B) = det(B)det(A)।

28. একটি ম্যাট্রিক্স কখন ঊর্ধ্ব ত্রিভুজাকার (upper triangular) হয়?

  1. যখন প্রধান কর্ণের উপরের সমস্ত পদ শূন্য
  2. যখন প্রধান কর্ণের নীচের সমস্ত পদ শূন্য
  3. যখন প্রধান কর্ণ ছাড়া সব পদ শূন্য
  4. যখন সব পদ শূন্য
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) যখন প্রধান কর্ণের নীচের সমস্ত পদ শূন্য

29. যদি A একটি 3×3 ম্যাট্রিক্স হয়, তবে det(kA) = ?

  1. k det(A)
  2. k² det(A)
  3. k³ det(A)
  4. 3k det(A)
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) k³ det(A)
ব্যাখ্যা: যদি A একটি n×n ম্যাট্রিক্স হয়, তবে det(kA) = kⁿdet(A)।

30. দুটি ম্যাট্রিক্স সমান হবে যদি-

  1. তাদের ক্রম সমান হয়
  2. তাদের অনুরূপ পদগুলি সমান হয়
  3. (a) এবং (b) উভয়ই
  4. তারা উভয়ই বর্গ ম্যাট্রিক্স হয়
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) (a) এবং (b) উভয়ই

31. যদি A একটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্স হয়, তবে A-AT = ?

  1. A
  2. 2A
  3. O (শূন্য ম্যাট্রিক্স)
  4. I
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) O (শূন্য ম্যাট্রিক্স)
ব্যাখ্যা: A=AT হলে, A-AT = A-A = O।

32. (AB)T = ?

  1. ATBT
  2. BTAT
  3. (BA)T
  4. AB
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) BTAT
ব্যাখ্যা: এটি পরিবর্ত ম্যাট্রিক্সের রিভার্সাল আইন।

33. একটি স্তম্ভ ম্যাট্রিক্সে (column matrix) স্তম্ভের সংখ্যা কত?

  1. 1
  2. 2
  3. m
  4. n
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) 1

34. A – AT সর্বদা একটি-

  1. প্রতিসম ম্যাট্রিক্স
  2. বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স
  3. শূন্য ম্যাট্রিক্স
  4. একক ম্যাট্রিক্স
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স
ব্যাখ্যা: (A – AT)T = AT – (AT)T = AT – A = -(A – AT)।

35. যদি A একটি অব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স হয় এবং AB = AC হয়, তবে?

  1. B=C
  2. B≠C
  3. B=A
  4. C=A
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) B=C
ব্যাখ্যা: A অব্যতিক্রমী হওয়ায় A⁻¹ এর অস্তিত্ব আছে। A⁻¹(AB) = A⁻¹(AC) => (A⁻¹A)B = (A⁻¹A)C => IB = IC => B=C।

36. ম্যাট্রিক্সের ধারণা কে প্রবর্তন করেন?

  1. আর্থার কেলি
  2. অয়লার
  3. গাউস
  4. নিউটন
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) আর্থার কেলি

37. একটি ম্যাট্রিক্স একই সাথে প্রতিসম ও বিপ্রতিসম হলে, সেটি হবে-

  1. একক ম্যাট্রিক্স
  2. কর্ণ ম্যাট্রিক্স
  3. শূন্য ম্যাট্রিক্স
  4. এটি সম্ভব নয়
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) শূন্য ম্যাট্রিক্স
ব্যাখ্যা: A=AT এবং A=-AT হলে, A=-A => 2A=O => A=O।

38. যদি A =

10
01
হয়, তবে An = ?

  1. nA
  2. A
  3. n²A
  4. 0
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) A
ব্যাখ্যা: A হল একক ম্যাট্রিক্স I। In = I = A।

39. ম্যাট্রিক্সের স্কেলার গুণন কোন সূত্রটি মেনে চলে?

  1. k(A+B) = kA+kB
  2. (k+l)A = kA+lA
  3. k(lA) = (kl)A
  4. উপরের সবগুলি
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (d) উপরের সবগুলি

40. যদি A এবং B দুটি ম্যাট্রিক্সের জন্য AB এবং BA উভয়ই সংজ্ঞাত হয়, তবে A এবং B হল-

  1. একই ক্রমের বর্গ ম্যাট্রিক্স
  2. সারি ম্যাট্রিক্স
  3. স্তম্ভ ম্যাট্রিক্স
  4. বলা সম্ভব নয়
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) একই ক্রমের বর্গ ম্যাট্রিক্স (যদি A-এর ক্রম m×n এবং B-এর ক্রম n×m হয়, তবে এটি সম্ভব)।

41. যদি A একটি 3×1 ম্যাট্রিক্স এবং B একটি 1×3 ম্যাট্রিক্স হয়, তবে BA-এর ক্রম কী?

  1. 1×1
  2. 3×3
  3. 1×3
  4. 3×1
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) 1×1

42. A =

1a
01
হলে, An = ?

  1. 1na
    01
  2. 1an
    01
  3. nna
    0n
  4. 1a
    01
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a)

1na
01

ব্যাখ্যা: গাণিতিক আরোহ নীতির সাহায্যে এটি প্রমাণ করা যায়।

43. (I-A)(I+A)=I-A² সম্পর্কটি কখন সত্য?

  1. সর্বদা
  2. কখনোই নয়
  3. যদি A=I হয়
  4. যদি A একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স হয়
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) সর্বদা
ব্যাখ্যা: (I-A)(I+A) = I²+IA-AI-A² = I+A-A-A² = I-A²।

44. A একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স হলে, A·adj(A) = ?

  1. |A|I
  2. |A|
  3. I
  4. A⁻¹
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) |A|I
ব্যাখ্যা: এটি বিপরীত ম্যাট্রিক্সের সংজ্ঞার একটি অংশ।

45. যদি A একটি 3×3 ম্যাট্রিক্স এবং det(A)=5 হয়, তবে det(adj(A)) = ?

  1. 5
  2. 1/5
  3. 25
  4. 125
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) 25
ব্যাখ্যা: det(adj(A)) = (det(A))n-1 = 53-1 = 5² = 25।

46. একটি ম্যাট্রিক্সকে অর্থোগোনাল (orthogonal) বলা হয় যদি-

  1. A=AT
  2. A=-AT
  3. AAT=I
  4. A²=A
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) AAT=I
ব্যাখ্যা: এর অর্থ A⁻¹ = AT।

47. A =

01
10
হলে, A² = ?

  1. A
  2. I
  3. O
  4. -A
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) I
ব্যাখ্যা:

01
10
×
01
10
 =
10
01
।

48. যদি A এবং B দুটি বিপরীতযোগ্য ম্যাট্রিক্স হয়, তবে AB কি বিপরীতযোগ্য?

  1. হ্যাঁ
  2. না
  3. বলা যায় না
  4. কেবলমাত্র A=B হলে
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) হ্যাঁ
ব্যাখ্যা: det(AB) = det(A)det(B) ≠ 0। তাই AB বিপরীতযোগ্য।

49. A =

12
34
হলে, A+AT = ?

  1. 25
    58
  2. 0-1
    10
  3. 24
    68
  4. 13
    24
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a)

25
58

ব্যাখ্যা: AT =
13
24
। যোগ করলে উত্তর পাওয়া যায়।

50. একটি আইডেমপোটেন্ট (Idempotent) ম্যাট্রিক্স A-এর জন্য কোনটি সঠিক?

  1. A²=A
  2. A²=I
  3. A²=O
  4. AT=A
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) A²=A

51. যদি A একটি 2×3 ম্যাট্রিক্স এবং B একটি 3×1 ম্যাট্রিক্স হয়, তবে (AB)T-এর ক্রম কী?

  1. 1×2
  2. 2×1
  3. 3×3
  4. 1×1
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) 1×2
ব্যাখ্যা: AB-এর ক্রম 2×1। (AB)T-এর ক্রম হবে 1×2।

52. কোন ম্যাট্রিক্সটি সর্বদা বর্গ ম্যাট্রিক্স হয়?

  1. শূন্য ম্যাট্রিক্স
  2. সারি ম্যাট্রিক্স
  3. বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স
  4. কোনোটিই নয়
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স
ব্যাখ্যা: প্রতিসম ও বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্সকে অবশ্যই বর্গ ম্যাট্রিক্স হতে হয়।

53. (ABC)⁻¹ = ?

  1. A⁻¹B⁻¹C⁻¹
  2. C⁻¹B⁻¹A⁻¹
  3. CBA
  4. B⁻¹A⁻¹C⁻¹
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) C⁻¹B⁻¹A⁻¹
ব্যাখ্যা: রিভার্সাল আইন।

54. যদি AB=A এবং BA=B হয়, তবে A এবং B উভয়ই হবে-

  1. আইডেমপোটেন্ট
  2. ইনভলিউটরি
  3. অর্থোগোনাল
  4. নিলপোটেন্ট
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) আইডেমপোটেন্ট
ব্যাখ্যা: A²=A(BA)=(AB)A=AA=A²। একইভাবে B²=B।

55. দুটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্সের গুণফল প্রতিসম হবে যদি-

  1. তারা বিনিময়যোগ্য হয় (AB=BA)
  2. তারা বিনিময়যোগ্য না হয়
  3. তারা শূন্য ম্যাট্রিক্স হয়
  4. তারা একক ম্যাট্রিক্স হয়
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) তারা বিনিময়যোগ্য হয় (AB=BA)
ব্যাখ্যা: (AB)T=BTAT=BA। প্রতিসম হতে হলে (AB)T=AB হতে হবে, অর্থাৎ BA=AB।

56. একটি ম্যাট্রিক্সের ট্রেস (Trace) বলতে বোঝায়-

  1. তার নির্ণায়কের মান
  2. তার প্রধান কর্ণের পদগুলির যোগফল
  3. তার পদের সংখ্যা
  4. তার ক্রম
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) তার প্রধান কর্ণের পদগুলির যোগফল

57. যদি A এবং B দুটি ম্যাট্রিক্স এমন হয় যে A+B এবং AB উভয়ই সংজ্ঞাত, তবে-

  1. A ও B ভিন্ন ক্রমের হতে পারে
  2. A ও B অবশ্যই একই ক্রমের বর্গ ম্যাট্রিক্স
  3. A ও B অবশ্যই সারি ম্যাট্রিক্স
  4. A ও B অবশ্যই স্তম্ভ ম্যাট্রিক্স
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) A ও B অবশ্যই একই ক্রমের বর্গ ম্যাট্রিক্স

58. একটি nilpoten ম্যাট্রিক্স A-এর জন্য কোনটি সত্য?

  1. Ak=O (k একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা)
  2. A²=A
  3. A²=I
  4. AT=A
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) Ak=O (k একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা)

59. ম্যাট্রিক্সের যোগ বিনিময়যোগ্য, অর্থাৎ-

  1. AB=BA
  2. A+B=B+A
  3. A(B+C)=AB+AC
  4. (A+B)+C=A+(B+C)
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) A+B=B+A

60. যদি I একক ম্যাট্রিক্স হয়, তবে I⁻¹ = ?

  1. I
  2. -I
  3. O
  4. এর অস্তিত্ব নেই
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) I
ব্যাখ্যা: I × I = I, তাই I-এর বিপরীত I নিজেই।

অনুচ্ছেদ ভিত্তিক প্রশ্ন

অনুচ্ছেদ – ১

একটি ম্যাট্রিক্স A-কে প্রতিসম (Symmetric) বলা হয় যদি AT = A হয় এবং বিপ্রতিসম (Skew-symmetric) বলা হয় যদি AT = -A হয়। যেকোনো বর্গ ম্যাট্রিক্স A-কে একটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্স P = ½(A+AT) এবং একটি বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স Q = ½(A-AT)-এর যোগফল হিসেবে প্রকাশ করা যায়, অর্থাৎ A = P + Q।

61. যদি A =

12
34
হয়, তবে প্রতিসম অংশ P কী হবে?

  1. 12.5
    2.54
  2. 0-0.5
    0.50
  3. 13
    24
  4. 25
    58
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a)

12.5
2.54

ব্যাখ্যা: AT=
13
24
। A+AT=
25
58
। P = ½(A+AT) =
12.5
2.54
।

62. A =

12
34
হলে, বিপ্রতিসম অংশ Q কী হবে?

  1. 12.5
    2.54
  2. 0-0.5
    0.50
  3. 0-1
    10
  4. 10
    01
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b)

0-0.5
0.50

ব্যাখ্যা: A-AT=
0-1
10
। Q = ½(A-AT) =
0-0.5
0.50
।

63. যদি A একটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্স হয়, তবে Q = ?

  1. A
  2. AT
  3. O (শূন্য ম্যাট্রিক্স)
  4. I
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) O (শূন্য ম্যাট্রিক্স)
ব্যাখ্যা: A=AT হলে, Q = ½(A-A) = O।

64. যদি A একটি বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স হয়, তবে P = ?

  1. A
  2. AT
  3. O (শূন্য ম্যাট্রিক্স)
  4. I
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) O (শূন্য ম্যাট্রিক্স)
ব্যাখ্যা: A=-AT হলে, P = ½(A+(-A)) = O।

65. P এবং Q ম্যাট্রিক্সের ট্রেস-এর মধ্যে সম্পর্ক কী? (Tr(A) = A-এর ট্রেস)

  1. Tr(P) = Tr(A), Tr(Q) = 0
  2. Tr(Q) = Tr(A), Tr(P) = 0
  3. Tr(P) = Tr(Q)
  4. Tr(P) + Tr(Q) = 0
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) Tr(P) = Tr(A), Tr(Q) = 0
ব্যাখ্যা: Q একটি বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স, তাই এর কর্ণের পদগুলি শূন্য, সুতরাং Tr(Q)=0। যেহেতু A=P+Q, তাই Tr(A)=Tr(P)+Tr(Q)=Tr(P)।

অনুচ্ছেদ – ২

দুটি ম্যাট্রিক্স A =

1-1
02
এবং B =
20
11
 দেওয়া আছে। ম্যাট্রিক্সের গুণন সাধারণত বিনিময়যোগ্য নয়, অর্থাৎ AB ≠ BA।

66. A + B = ?

  1. 3-1
    13
  2. 31
    -13
  3. 20
    02
  4. -1-1
    -11
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a)

3-1
13

ব্যাখ্যা: অনুরূপ পদগুলি যোগ করে: 1+2=3, -1+0=-1, 0+1=1, 2+1=3।

67. AB = ?

  1. 1-1
    22
  2. 2-2
    13
  3. 20
    02
  4. 11
    2-2
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a)

1-1
22

ব্যাখ্যা: AB11=1*2+(-1)*1=1, AB12=1*0+(-1)*1=-1, AB21=0*2+2*1=2, AB22=0*0+2*1=2।

68. BA = ?

  1. 1-1
    22
  2. 2-2
    11
  3. 20
    02
  4. 11
    2-2
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b)

2-2
11

ব্যাখ্যা: BA11=2*1+0*0=2, BA12=2*(-1)+0*2=-2, BA21=1*1+1*0=1, BA22=1*(-1)+1*2=1।

69. A² = ?

  1. 1-3
    04
  2. 11
    04
  3. 2-2
    04
  4. 1-1
    02
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a)

1-3
04

ব্যাখ্যা: A×A =
1-1
02
 ×
1-1
02
 =
1-3
04
।

70. উপরের গণনা থেকে কী সিদ্ধান্তে আসা যায়?

  1. AB = BA
  2. AB ≠ BA
  3. A² = A
  4. B² = B
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) AB ≠ BA
ব্যাখ্যা: AB এবং BA-এর মান তুলনা করে দেখা যাচ্ছে যে তারা সমান নয়, যা ম্যাট্রিক্স গুণনের অ-বিনিময়যোগ্যতা ধর্মকে প্রমাণ করে।

অনুচ্ছেদ – ৩

একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স A-কে বিপরীতযোগ্য (invertible) বলা হয় যদি এমন একটি ম্যাট্রিক্স B-এর অস্তিত্ব থাকে যাতে AB = BA = I হয়, যেখানে I হল একক ম্যাট্রিক্স। B-কে A-এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স বলা হয় এবং B = A⁻¹ লেখা হয়। একটি ম্যাট্রিক্সের বিপরীতের অস্তিত্ব থাকে যদি এবং কেবল যদি তার নির্ণায়কের মান অশূন্য হয়।

71. A =

21
42
ম্যাট্রিক্সটির বিপরীতের কি অস্তিত্ব আছে?

  1. হ্যাঁ
  2. না
  3. বলা সম্ভব নয়
  4. কিছু ক্ষেত্রে আছে
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (না)
ব্যাখ্যা: det(A) = 2×2 – 4×1 = 4-4 = 0। যেহেতু নির্ণায়কের মান শূন্য, এর বিপরীতের অস্তিত্ব নেই।

72. A =

31
21
হলে, A⁻¹ কী হবে?

  1. 1-1
    -23
  2. 12
    13
  3. 3-1
    -21
  4. 1-1
    2-3
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a)

1-1
-23

ব্যাখ্যা: A⁻¹ = (1/det(A)) adj(A)। det(A)=1। adj(A)=
1-1
-23
।

73. যদি A একটি বিপরীতযোগ্য ম্যাট্রিক্স হয়, তবে তার বিপরীত ম্যাট্রিক্সটি-

  1. একাধিক হতে পারে
  2. দুটি হতে পারে
  3. অনন্য (unique)
  4. অস্তিত্ব নাও থাকতে পারে
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) অনন্য (unique)
ব্যাখ্যা: এটি বিপরীত ম্যাট্রিক্সের একটি মৌলিক ধর্ম।

74. (A⁻¹)T = ?

  1. (AT)⁻¹
  2. A⁻¹
  3. AT
  4. A
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) (AT)⁻¹
ব্যাখ্যা: বিপরীত ম্যাট্রিক্সের পরিবর্ত এবং পরিবর্ত ম্যাট্রিক্সের বিপরীত একই হয়।

75. যদি A একটি 2×2 ম্যাট্রিক্স হয় এবং A⁻¹ =

12
34
হয়, তবে A = ?

  1. -21
    3/2-1/2
  2. 4-2
    -31
  3. 13
    24
  4. -2-1
    -3/2-1/2
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a)

-21
3/2-1/2

ব্যাখ্যা: A = (A⁻¹)⁻¹। B=A⁻¹ ধরলে, det(B)=-2। A = (1/-2)
4-2
-31
 =
-21
3/2-1/2
।

B. বাম স্তম্ভের (I) সঙ্গে ডান স্তম্ভের (II) সঠিক বিকল্পটি বেছে নাও: (10 MCQ)

স্তম্ভ-I (ম্যাট্রিক্সের প্রকার) স্তম্ভ-II (সংজ্ঞা/উদাহরণ)
(P) সারি ম্যাট্রিক্স (1) প্রধান কর্ণের নীচের পদগুলি শূন্য
(Q) স্তম্ভ ম্যাট্রিক্স (2) একটি মাত্র সারি আছে
(R) বর্গ ম্যাট্রিক্স (3) একটি মাত্র স্তম্ভ আছে
(S) ঊর্ধ্ব ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিক্স (4) সারি ও স্তম্ভের সংখ্যা সমান

76. সঠিক মিলটি হল:

  1. P-1, Q-2, R-3, S-4
  2. P-2, Q-3, R-4, S-1
  3. P-2, Q-1, R-4, S-3
  4. P-4, Q-3, R-2, S-1
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) P-2, Q-3, R-4, S-1
ব্যাখ্যা: প্রতিটি ম্যাট্রিক্সের প্রকারের সাথে তার সঠিক সংজ্ঞার মিল করা হয়েছে।

স্তম্ভ-I (ধর্ম) স্তম্ভ-II (গাণিতিক রূপ)
(P) প্রতিসম (1) A² = I
(Q) বিপ্রতিসম (2) AT = A
(R) ইনভলিউটরি (3) AT = A⁻¹
(S) অর্থোগোনাল (4) AT = -A

77. সঠিক মিলটি হল:

  1. P-3, Q-4, R-1, S-2
  2. P-2, Q-4, R-1, S-3
  3. P-1, Q-2, R-3, S-4
  4. P-4, Q-1, R-3, S-2
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) P-2, Q-4, R-1, S-3
ব্যাখ্যা: প্রতিটি বিশেষ ধর্মের সাথে তার সঠিক গাণিতিক শর্তের মিল করা হয়েছে।

স্তম্ভ-I (অপারেশন) স্তম্ভ-II (বৈশিষ্ট্য/সূত্র)
(P) A + B (1) BTAT
(Q) (A+B)T (2) বিনিময়যোগ্য
(R) AB (3) AT + BT
(S) (AB)T (4) সাধারণত অ-বিনিময়যোগ্য

78. সঠিক মিলটি হল:

  1. P-2, Q-3, R-4, S-1
  2. P-1, Q-2, R-3, S-4
  3. P-2, Q-3, R-1, S-4
  4. P-3, Q-1, R-2, S-4
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) P-2, Q-3, R-4, S-1
ব্যাখ্যা: প্রতিটি অপারেশনের সাথে তার সঠিক বৈশিষ্ট্য বা সূত্রের মিল করা হয়েছে।

স্তম্ভ-I (ম্যাট্রিক্স)স্তম্ভ-II (উদাহরণ)
(P) শূন্য ম্যাট্রিক্স(1)
10
01
(Q) একক ম্যাট্রিক্স(2)
23
34
(R) প্রতিসম ম্যাট্রিক্স(3)
00
00
(S) বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স(4)
0-5
50

79. সঠিক মিলটি হল:

  1. P-4, Q-1, R-2, S-3
  2. P-3, Q-1, R-2, S-4
  3. P-3, Q-1, R-4, S-2
  4. P-2, Q-1, R-4, S-3
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (b) P-3, Q-1, R-2, S-4
ব্যাখ্যা: প্রতিটি প্রকারের ম্যাট্রিক্সের সাথে তার সঠিক উদাহরণের মিল করা হয়েছে।

স্তম্ভ-I (A এবং B)স্তম্ভ-II ((A+B)²)
(P) A, B যেকোনো ম্যাট্রিক্স(1) A² + 2AB + B²
(Q) AB = BA হলে(2) A² + B²
(R) AB = -BA হলে(3) A² + AB + BA + B²
(S) A=I, B=A(4) 4A²

80. সঠিক মিলটি হল:

  1. P-1, Q-3, R-4, S-2
  2. P-4, Q-2, R-1, S-3
  3. P-3, Q-1, R-2, S-4
  4. P-2, Q-1, R-4, S-3
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) P-3, Q-1, R-2, S-4
ব্যাখ্যা: (A+B)² = (A+B)(A+B) = A²+AB+BA+B²। বিভিন্ন শর্তে এর সরলীকৃত রূপ দেওয়া হয়েছে।

স্তম্ভ-I (A)স্তম্ভ-II (A⁻¹)
(P)
ab
cd
(1) AT
(Q) অর্থোগোনাল ম্যাট্রিক্স(2) A
(R) ইনভলিউটরি ম্যাট্রিক্স(3) (1/(ad-bc))
d-b
-ca
(S) প্রতিসম ম্যাট্রিক্স(4) প্রতিসম

81. সঠিক মিলটি হল:

  1. P-3, Q-1, R-2, S-4
  2. P-1, Q-3, R-2, S-4
  3. P-3, Q-1, R-4, S-2
  4. P-2, Q-1, R-4, S-3
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) P-3, Q-1, R-2, S-4
ব্যাখ্যা: বিভিন্ন ধরনের ম্যাট্রিক্সের বিপরীতের বৈশিষ্ট্যের সাথে মিল করা হয়েছে।

স্তম্ভ-I (ক্রম)স্তম্ভ-II (ম্যাট্রিক্সের নাম)
(P) 3 × 1(1) বর্গ ম্যাট্রিক্স
(Q) 1 × 4(2) আয়তাকার ম্যাট্রিক্স
(R) 3 × 3(3) স্তম্ভ ম্যাট্রিক্স
(S) 2 × 3(4) সারি ম্যাট্রিক্স

82. সঠিক মিলটি হল:

  1. P-2, Q-4, R-1, S-3
  2. P-3, Q-4, R-2, S-1
  3. P-3, Q-4, R-1, S-2
  4. P-2, Q-1, R-3, S-4
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (c) P-3, Q-4, R-1, S-2
ব্যাখ্যা: প্রতিটি ক্রমের সাথে ম্যাট্রিক্সের সম্ভাব্য নামের মিল করা হয়েছে।

স্তম্ভ-I (ম্যাট্রিক্স)স্তম্ভ-II (নির্ণায়কের মান)
(P) একক ম্যাট্রিক্স(1) 0
(Q) শূন্য ম্যাট্রিক্স(2) 1
(R) বিপ্রতিসম (3×3)
(S) সিঙ্গুলার ম্যাট্রিক্স

83. সঠিক মিলটি হল:

  1. P-2, Q-1, R-1, S-1
  2. P-1, Q-3, R-2, S-4
  3. P-3, Q-1, R-2, S-4
  4. P-2, Q-1, R-3, S-4
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) P-2, Q-1, R-1, S-1
ব্যাখ্যা: প্রতিটি ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়কের মানের বৈশিষ্ট্যের সাথে মিল করা হয়েছে।

স্তম্ভ-I (A)স্তম্ভ-II (B)স্তম্ভ-III (AB=O?)
(P)
10
00
(1)
00
01
(i) হ্যাঁ
(Q)
11
11
(2)
1-1
-11
(ii) না
(R)
10
01
(3)
00
00
(S)
12
34
(4)
10
01

84. সঠিক মিলটি হল:

  1. P-1-i, Q-2-i, R-3-i, S-4-ii
  2. P-1, Q-3, R-2, S-4
  3. P-3, Q-1, R-2, S-4
  4. P-2, Q-1, R-3, S-4
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) P-1-i, Q-2-i, R-3-i, S-4-ii
ব্যাখ্যা: প্রতিটি জোড়া ম্যাট্রিক্সের গুণফল শূন্য ম্যাট্রিক্স (O) কিনা তা পরীক্ষা করা হয়েছে।

স্তম্ভ-I (যদি AB=AC)স্তম্ভ-II (সিদ্ধান্ত)
(P) A একটি বিপরীতযোগ্য ম্যাট্রিক্স(1) B=C হতেও পারে, নাও পারে
(Q) A একটি সিঙ্গুলার ম্যাট্রিক্স(2) B=C
(R) A একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স(3) B এবং C যেকোনো ম্যাট্রিক্স হতে পারে
(S) A একটি একক ম্যাট্রিক্স

85. সঠিক মিলটি হল:

  1. P-2, Q-1, R-3, S-2
  2. P-1, Q-3, R-2, S-4
  3. P-3, Q-1, R-2, S-4
  4. P-2, Q-1, R-3, S-4
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) P-2, Q-1, R-3, S-2
ব্যাখ্যা: A ম্যাট্রিক্সের প্রকৃতির উপর নির্ভর করে B=C সিদ্ধান্ত নেওয়া যায় কিনা তা দেখানো হয়েছে।

86. অতিরিক্ত স্তম্ভ মেলাও:

স্তম্ভ-I (ম্যাট্রিক্স)স্তম্ভ-II (ক্রম)
(P)
123
(1) 3×3
(Q)
1
2
3
(2) 1×3
(R)
12
34
(3) 3×1
(S)
123
456
789
(4) 2×2
  1. P-2, Q-3, R-4, S-1
  2. P-1, Q-3, R-2, S-4
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) P-2, Q-3, R-4, S-1

87. অতিরিক্ত স্তম্ভ মেলাও:

স্তম্ভ-I (A)স্তম্ভ-II (det(A))
(P)
12
34
(1) 0
(Q)
51
102
(2) 1
(R)
cosθ-sinθ
sinθcosθ
(3) ad-bc
(S)
ab
cd
(4) -2
  1. P-4, Q-1, R-2, S-3
  2. P-1, Q-3, R-2, S-4
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) P-4, Q-1, R-2, S-3

88. অতিরিক্ত স্তম্ভ মেলাও:

স্তম্ভ-I (A)স্তম্ভ-II (A একটি…)
(P)
50
05
(1) কর্ণ ম্যাট্রিক্স
(Q)
10
02
(2) একক ম্যাট্রিক্স
(R)
10
01
(3) শূন্য ম্যাট্রিক্স
(S)
00
00
(4) স্কেলার ম্যাট্রিক্স
  1. P-4, Q-1, R-2, S-3
  2. P-1, Q-3, R-2, S-4
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) P-4, Q-1, R-2, S-3

89. অতিরিক্ত স্তম্ভ মেলাও:

স্তম্ভ-I (A)স্তম্ভ-II (AT)
(P)
12
34
(1)
12
34
 (ভুল)
(Q)
13
24
(2)
13
24
(R)
123
(3)
1
2
3
(S)
56
67
(4)
56
67
  1. P-2, Q-2, R-3, S-4
  2. P-1, Q-3, R-2, S-4
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) P-2, Q-(1), R-3, S-4 (A=

12
34
হলে AT=
13
24
)।

90. অতিরিক্ত স্তম্ভ মেলাও:

স্তম্ভ-I (A, B)স্তম্ভ-II (A+B)
(P) A=
11
11
, B=I		(1)
21
12
(Q) A=
12
34
, B=AT		(2)
00
00
(R) A=
01
-10
, B=-A		(3)
25
58
(S) A=
12
34
, B=A		(4)
24
68
  1. P-1, Q-3, R-2, S-4
  2. P-1, Q-3, R-2, S-4
উত্তর দেখুন

সঠিক উত্তর: (a) P-1, Q-3, R-2, S-4

তুমি কি এবছর WBCHSE HS Exam পরিক্ষা দেবে Semister 1, 2, 3, 4 HS Suggestion পেতে চাও উচ্চ মাধ্যমিক সাজেশন এখানে পাবে

Related Posts

Leave a Comment

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Scroll to Top