সমাধান:
এখানে পদসংখ্যা n=6 (যুগ্ম)।
মধ্যমা = [(n/2) তম পদ + (n/2+1) তম পদ]/2 = [3য় পদ + 4র্থ পদ]/2।
11 = (10+12)/2 = 22/2 = 11। (প্রশ্নে ত্রুটি আছে, x মধ্যমা নির্ণয়ে ব্যবহৃত হচ্ছে না)।
যদি তথ্যগুলি হত 6, 8, 10, x, 14, 16, তবে মধ্যমা = (10+x)/2 = 11 => 10+x=22 => x=12। সঠিক উত্তর: প্রদত্ত প্রশ্নে ত্রুটি আছে। প্রশ্নটি संशोधित হলে উত্তর (খ) 12 হতে পারে।
৩. প্রথম 10টি স্বাভাবিক সংখ্যার যৌগিক গড় হল—
(ক) 5
(খ) 5.5
(গ) 6
(ঘ) 10
সমাধান:
প্রথম n-টি স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল = n(n+1)/2।
যোগফল = 10(11)/2 = 55।
গড় = যোগফল/পদসংখ্যা = 55/10 = 5.5। সঠিক উত্তর: (খ) 5.5
৪. ওজাইভ (Ogive) আঁকার জন্য y-অক্ষ বরাবর নেওয়া হয়—
(ক) পরিসংখ্যা
(খ) শ্রেণি সীমানা
(গ) ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা
(ঘ) শ্রেণি দৈর্ঘ্য
সমাধান:
ওজাইভ হল ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যার লেখচিত্র, যেখানে x-অক্ষ বরাবর শ্রেণির উচ্চসীমা (ক্ষুদ্রতর সূচক ওজাইভ) বা নিম্নসীমা (বৃহত্তর সূচক ওজাইভ) এবং y-অক্ষ বরাবর ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা নেওয়া হয়। সঠিক উত্তর: (গ) ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা
৫. গড়, মধ্যমা ও সংখ্যাগুরুমান হল কেন্দ্রীয় প্রবণতার—
(ক) সূত্র
(খ) চল
(গ) পরিমাপক
(ঘ) ধ্রুবক
সমাধান:
এগুলি কেন্দ্রীয় প্রবণতা বা Central Tendency-র বিভিন্ন পরিমাপক বা মাপক। সঠিক উত্তর: (গ) পরিমাপক
সমাধান:
শ্রেণি দৈর্ঘ্য = উচ্চসীমা – নিম্নসীমা = 20 – 10 = 10। সঠিক উত্তর: (ক) 10
১১. সংখ্যাগুরুমান নির্ণয় করা যায় যে লেখচিত্রের সাহায্যে, তা হল—
(ক) ওজাইভ
(খ) পরিসংখ্যা বহুভুজ
(গ) আয়তলেখ
(ঘ) পাই চিত্র
সমাধান:আয়তলেখের সর্বোচ্চ স্তম্ভটির উপরের দুই কোণ থেকে বিপরীত স্তম্ভগুলির সংলগ্ন কোণে রেখা টেনে তাদের ছেদবিন্দু থেকে ভূমির উপর লম্ব টানলে সংখ্যাগুরুমান পাওয়া যায়। সঠিক উত্তর: (গ) আয়তলেখ
সমাধান:এখানে 16, 15, 17 প্রত্যেকটি 2 বার করে আছে। সংখ্যাগুরুমান 15 হতে গেলে, 15 কে সর্বাধিকবার থাকতে হবে। তাই x-এর মান অবশ্যই 15 হতে হবে। সঠিক উত্তর: (খ) 15
১৩. uᵢ = (xᵢ – a)/h হলে, Σfᵢuᵢ -কে বলা হয়—
(ক) গড়
(খ) কল্পিত গড়
(গ) বিচ্যুতি
(ঘ) মোট বিচ্যুতি
সমাধান:uᵢ হল কল্পিত গড় (a) থেকে বিচ্যুতিকে শ্রেণি দৈর্ঘ্য (h) দিয়ে ভাগফল। Σfᵢuᵢ হল পরিসংখ্যা ও এই অনুপাতের গুণফলের সমষ্টি। এটি গড় নির্ণয়ের ক্রমবিচ্যুতি পদ্ধতির একটি অংশ। সঠিক উত্তর: এই অপশনগুলির মধ্যে সরাসরি কোনোটিই সঠিক নয়। তবে এটি ক্রমবিচ্যুতি পদ্ধতির একটি গুরুত্বপূর্ণ ধাপ।
১৪. একটি পরিসংখ্যা বিভাজনে, মধ্যমা শ্রেণীর ঠিক আগের শ্রেণীর ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা ও পরিসংখ্যা যথাক্রমে 15 ও 7। মধ্যমা শ্রেণীর পরিসংখ্যা 10 এবং মোট পরিসংখ্যা 50। মধ্যমা নির্ণয়ের সূত্রে F-এর মান কত?
(ক) 7
(খ) 10
(গ) 15
(ঘ) 50
সমাধান:মধ্যমা নির্ণয়ের সূত্রে, F হল মধ্যমা শ্রেণীর ঠিক আগের শ্রেণীর ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা। এখানে তার মান 15। সঠিক উত্তর: (গ) 15
১৫. সংখ্যাগুরুমান = 3 × মধ্যমা – 2 × ________।
(ক) কল্পিত গড়
(খ) যৌগিক গড়
(গ) পরিসংখ্যা
(ঘ) কোনোটিই নয়
সমাধান:এটি গড়, মধ্যমা ও সংখ্যাগুরুমানের মধ্যে একটি পরীক্ষালব্ধ সম্পর্ক। সূত্রটি হল: সংখ্যাগুরুমান = 3 × মধ্যমা – 2 × যৌগিক গড়। সঠিক উত্তর: (খ) যৌগিক গড়
খ) অতি-সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্নাবলী (VSA) – মান ১ (২০টি)
(i) শূন্যস্থান পূরণ করো (১০টি)
১. যৌগিক গড়, মধ্যমা ও সংখ্যাগুরুমান হল কেন্দ্রীয় প্রবণতার ________।
সমাধান:ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা: 4, 11, 16, 18। মোট পরিসংখ্যা N=18। N/2=9। 9 এর ঠিক বেশি ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা হল 11, যার संगत শ্রেণী 10-20। উত্তর: মধ্যমা শ্রেণীটি হল 10-20।
৪. ক্রমবিচ্যুতি পদ্ধতিতে গড় নির্ণয়ের সূত্রটি লেখ এবং প্রতিটি প্রতীকের অর্থ উল্লেখ করো।
সমাধান:সূত্র: x̄ = a + h × (Σfᵢuᵢ / Σfᵢ)। যেখানে, x̄=যৌগিক গড়, a=কল্পিত গড়, h=শ্রেণি দৈর্ঘ্য, fᵢ=i-তম শ্রেণির পরিসংখ্যা, uᵢ=(xᵢ-a)/h হল i-তম শ্রেণির ক্রমবিচ্যুতি। উত্তর: সূত্র ও ব্যাখ্যা উপরে দেওয়া হল।
সমাধান:পরিসংখ্যা বিভাজনের ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যার লেখচিত্রকে ওজাইভ বলে। এটি দুই প্রকার – ক্ষুদ্রতর সূচক ওজাইভ এবং বৃহত্তর সূচক ওজাইভ। এর সাহায্যে মধ্যমা নির্ণয় করা যায়। উত্তর: উপরে সংজ্ঞায়িত করা হল।
৪. নীচের পরিসংখ্যা বিভাজনের একটি ‘ক্ষুদ্রতর সূচক’ ওজাইভ অঙ্কন করো এবং লেখচিত্র থেকে মধ্যমা নির্ণয় করো।
শ্রেণি
100-120
120-140
140-160
160-180
180-200
ছাত্র সংখ্যা
12
14
8
6
10
সমাধান:ছক প্রস্তুতি:
শ্রেণি
উচ্চসীমা
পরিসংখ্যা
ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা
100-120
120
12
12
120-140
140
14
26
140-160
160
8
34
160-180
180
6
40
180-200
200
10
50
অঙ্কন পদ্ধতি: ছক কাগজে x-অক্ষ বরাবর শ্রেণির উচ্চসীমা (120, 140,…) এবং y-অক্ষ বরাবর ক্রমযৌগিক পরিসংখ্যা (12, 26,…) স্থাপন করে বিন্দুগুলি (120, 12), (140, 26), (160, 34), (180, 40), (200, 50) যোগ করে ক্ষুদ্রতর সূচক ওজাইভ পাওয়া যাবে। মধ্যমা নির্ণয়: N=50, N/2=25। y-অক্ষ বরাবর 25 বিন্দু থেকে x-অক্ষের সমান্তরাল রেখা অঙ্কন করতে হবে যা ওজাইভকে একটি বিন্দুতে ছেদ করবে। সেই ছেদবিন্দু থেকে x-অক্ষের উপর লম্ব টানলে যে মান পাওয়া যাবে, সেটিই নির্ণেয় মধ্যমা। (লেখচিত্র অনুযায়ী এর মান প্রায় 139.3 হবে)। উত্তর: অঙ্কন ও পদ্ধতি উপরে দেওয়া হল।
৫. প্রত্যক্ষ পদ্ধতিতে নীচের তথ্যের গড় নির্ণয় করো:
শ্রেণি
10-30
30-50
50-70
70-90
90-110
পরিসংখ্যা
8
12
10
6
4
সমাধান:
শ্রেণি
পরিসংখ্যা(fᵢ)
মধ্যমান(xᵢ)
fᵢxᵢ
10-30
8
20
160
30-50
12
40
480
50-70
10
60
600
70-90
6
80
480
90-110
4
100
400
মোট
Σfᵢ=40
Σfᵢxᵢ=2120
গড় = Σfᵢxᵢ/Σfᵢ = 2120/40 = 53। উত্তর: গড় 53।
৬. একটি প্রবেশিকা পরীক্ষায় 150 জন পরীক্ষার্থীর প্রাপ্ত নম্বরের পরিসংখ্যা বিভাজন ছক থেকে সংখ্যাগুরুমান নির্ণয় করো:
