ত্রিকোণমিতিক অপেক্ষক (Trigonometric Functions)

সঠিক উত্তর: (b) 180°
ব্যাখ্যা: রেডিয়ান এবং ডিগ্রির মধ্যে মূল সম্পর্কটি হল π রেডিয়ান = 180°।

সঠিক উত্তর: (b) 1
ব্যাখ্যা: এটি ত্রিকোণমিতির একটি মৌলিক অভেদ, যা একক বৃত্ত থেকে বা পিথাগোরাসের উপপাদ্য থেকে প্রমাণ করা যায়।

সঠিক উত্তর: (c) tan এবং cot
ব্যাখ্যা: “All Silver Tea Cups” নিয়ম অনুযায়ী, তৃতীয় পাদে (Tea) শুধুমাত্র tan এবং তার অনোন্যক cot ধনাত্মক হয়।

সঠিক উত্তর: (a) sinA cosB + cosA sinB
ব্যাখ্যা: এটি sin(A+B)-এর যোগফলের সূত্র।

সঠিক উত্তর: (c) 2sinAcosA
ব্যাখ্যা: sin(A+B) সূত্রে B=A বসিয়ে পাই sin(2A) = sinAcosA + cosAsinA = 2sinAcosA।

সঠিক উত্তর: (a) cosθ
ব্যাখ্যা: cos অপেক্ষকটি একটি যুগ্ম অপেক্ষক (even function), তাই cos(-θ) = cosθ।

সঠিক উত্তর: (b) nπ + (-1)ⁿ (π/6)
ব্যাখ্যা: sinθ = sinα-এর সাধারণ সমাধান হল θ = nπ + (-1)ⁿα। এখানে sin(π/6) = 1/2, তাই α = π/6।

সঠিক উত্তর: (c) 2π
ব্যাখ্যা: sin(x+2π) = sinx, তাই sinx-এর পর্যায়কাল হল 2π।

সঠিক উত্তর: (c) sinθ
ব্যাখ্যা: এটি পূরক কোণের একটি সম্পর্ক। cos(90°-θ) প্রথম পাদে অবস্থিত এবং cos পরিবর্তিত হয়ে sin হয়।

সঠিক উত্তর: (b) 5π/12
ব্যাখ্যা: 180° = π রেডিয়ান, সুতরাং 1° = π/180 রেডিয়ান। 75° = 75 × (π/180) = 5π/12 রেডিয়ান।

সঠিক উত্তর: (b) (-∞, ∞) বা R
ব্যাখ্যা: tanx অপেক্ষকের মান যেকোনো বাস্তব সংখ্যা হতে পারে।

সঠিক উত্তর: (d) 1 + 2cos²A
ব্যাখ্যা: cos2A-এর সূত্রগুলি হল cos²A-sin²A, 2cos²A-1, এবং 1-2sin²A।

সঠিক উত্তর: (a) 2sin((C+D)/2)cos((C-D)/2)
ব্যাখ্যা: এটি যোগফলকে গুণফলে রূপান্তরের সূত্র।

সঠিক উত্তর: (b) nπ – π/4
ব্যাখ্যা: tanθ = tanα-এর সমাধান θ = nπ + α। এখানে tan(-π/4) = -1, তাই α = -π/4।

সঠিক উত্তর: (a) x
ব্যাখ্যা: একক বৃত্তে, x = cosθ এবং y = sinθ।

সঠিক উত্তর: (b) 4cos³A – 3cosA
ব্যাখ্যা: এটি cos3A-এর গুণিতক কোণের সূত্র।

সঠিক উত্তর: (b) -sinθ
ব্যাখ্যা: (180°+θ) তৃতীয় পাদে অবস্থিত, যেখানে sin ঋণাত্মক এবং sin অপরিবর্তিত থাকে।

সঠিক উত্তর: (a) sin(A+B) + sin(A-B)
ব্যাখ্যা: এটি গুণফলকে যোগফলে রূপান্তরের সূত্র।

সঠিক উত্তর: (b) (-∞, ∞) বা R
ব্যাখ্যা: cosx অপেক্ষকটি সকল বাস্তব সংখ্যার জন্য সংজ্ঞায়িত।

সঠিক উত্তর: (a) √2 – 1
ব্যাখ্যা: tan(2A) = 2tanA/(1-tan²A) সূত্রে A=22.5° বসিয়ে tan45°=1 ব্যবহার করে সমাধান করলে এটি পাওয়া যায়।

সঠিক উত্তর: (b) 2nπ ± α
ব্যাখ্যা: এটি cos অপেক্ষকের সাধারণ সমাধানের সূত্র।

সঠিক উত্তর: (b) (tanA – tanB)/(1 + tanA tanB)
ব্যাখ্যা: এটি tan(A-B)-এর বিয়োগফলের সূত্র।

সঠিক উত্তর: (b) 1
ব্যাখ্যা: এটি একটি মৌলিক ত্রিকোণমিতিক অভেদ।

সঠিক উত্তর: (a) 57.3°
ব্যাখ্যা: 1 রেডিয়ান = 180°/π ≈ 180/3.1416 ≈ 57.3°।

সঠিক উত্তর: (b) (-∞, -1] ∪ [1, ∞)
ব্যাখ্যা: যেহেতু cosx-এর মান -1 থেকে 1, তাই secx = 1/cosx -এর মান -1 এর কম (বা সমান) বা 1 এর বেশি (বা সমান) হবে।

সঠিক উত্তর: (a) sin²x – sin²y
ব্যাখ্যা: (sin x cos y + cos x sin y)(sin x cos y – cos x sin y) = sin²x cos²y – cos²x sin²y = sin²x(1-sin²y) – (1-sin²x)sin²y = sin²x – sin²x sin²y – sin²y + sin²x sin²y = sin²x – sin²y।

সঠিক উত্তর: (d) -cosθ
ব্যাখ্যা: (270°-θ) তৃতীয় পাদে অবস্থিত, যেখানে sin ঋণাত্মক। 270° (90°×3) হওয়ায় sin পরিবর্তিত হয়ে cos হবে।

সঠিক উত্তর: (a) 0
ব্যাখ্যা: cos100°+cos20° = 2cos60°cos40° = 2(1/2)cos40°=cos40°। cos140° = cos(180°-40°)=-cos40°। সুতরাং, যোগফল cos40°-cos40°=0।

সঠিক উত্তর: (a) 24/7
ব্যাখ্যা: sinA=3/5 হলে, cosA=4/5 এবং tanA=3/4। tan2A = 2tanA/(1-tan²A) = 2(3/4)/(1-(3/4)²) = (3/2)/(7/16) = 24/7।

সঠিক উত্তর: (a) nπ ± π/4
ব্যাখ্যা: cos²θ = 1/2 = (1/√2)² = cos²(π/4)। cos²θ=cos²α এর সমাধান θ = nπ ± α।

সঠিক উত্তর: (a) প্রথম
ব্যাখ্যা: -300° = -360° + 60°। অর্থাৎ এটি 60°-এর সমতুল্য, যা প্রথম পাদে অবস্থিত।

সঠিক উত্তর: (c) x = nπ
ব্যাখ্যা: tanx = 0 হয় যখন sinx = 0, অর্থাৎ x = nπ (n ∈ Z)।

সঠিক উত্তর: (a) cos²A – sin²B
ব্যাখ্যা: (cosAcosB – sinAsinB)(cosAcosB + sinAsinB) = cos²Acos²B – sin²Asin²B = cos²A(1-sin²B) – (1-cos²A)sin²B = cos²A – cos²Asin²B – sin²B + cos²Asin²B = cos²A – sin²B।

সঠিক উত্তর: (a) 1/√2
ব্যাখ্যা: sin(60+45)+cos(60+45) = (sin60cos45+cos60sin45) + (cos60cos45-sin60sin45) = √2(sin60+cos60)cos45 – … = √2 cos(105°-45°) = √2cos60° = √2(1/2) = 1/√2।

সঠিক উত্তর: (b) √3/2
ব্যাখ্যা: এটি cos(2A)-এর সূত্র, যেখানে A=15°। সুতরাং, cos(2×15°) = cos30° = √3/2।

সঠিক উত্তর: (b) π/3, 4π/3
ব্যাখ্যা: tan প্রথম ও তৃতীয় পাদে ধনাত্মক। tan(π/3)=√3 এবং tan(π+π/3)=tan(4π/3)=√3।

সঠিক উত্তর: (b) 144°
ব্যাখ্যা: θ = s/r = 4π/5 রেডিয়ান। ডিগ্রিতে, θ = (4π/5) × (180/π)° = 144°।

সঠিক উত্তর: (b) 1
ব্যাখ্যা: sinx-এর প্রসার হল [-1, 1], তাই এর সর্বোচ্চ মান 1।

সঠিক উত্তর: (b) 1/2
ব্যাখ্যা: 2sinAsinB = cos(A-B) – cos(A+B) = cos(75-15) – cos(75+15) = cos60° – cos90° = 1/2 – 0 = 1/2।

সঠিক উত্তর: (a) 3sinA – 4sin³A
ব্যাখ্যা: এটি sin3A-এর গুণিতক কোণের সূত্র।

সঠিক উত্তর: (b) 75°
ব্যাখ্যা: θ = |(11/2)m – 30h| = |(11/2)×30 – 30×3| = |165 – 90| = 75°।

সঠিক উত্তর: (b) -tanθ
ব্যাখ্যা: (180°-θ) দ্বিতীয় পাদে অবস্থিত, যেখানে tan ঋণাত্মক এবং tan অপরিবর্তিত থাকে।

সঠিক উত্তর: (a) হ্যাঁ
ব্যাখ্যা: এটি cos2A = 1 – 2sin²A সূত্র থেকে প্রাপ্ত একটি মৌলিক অভেদ।

সঠিক উত্তর: (b) 2π/3, 4π/3
ব্যাখ্যা: cos দ্বিতীয় ও তৃতীয় পাদে ঋণাত্মক। cos(π-π/3)=cos(2π/3) এবং cos(π+π/3)=cos(4π/3)।

সঠিক উত্তর: (b) π
ব্যাখ্যা: tanx এবং cotx-এর পর্যায়কাল π।

সঠিক উত্তর: (b) x = nπ + (-1)ⁿy
ব্যাখ্যা: এটি sinθ = sinα সমীকরণের সাধারণ সমাধানের সূত্র।

সঠিক উত্তর: (c) x = (2n+1)π/2
ব্যাখ্যা: cosx শূন্য হয় যখন x হল π/2-এর বিজোড় গুণিতক।

সঠিক উত্তর: (a) (√5-1)/4

সঠিক উত্তর: (a) (3tanA – tan³A)/(1 – 3tan²A)

সঠিক উত্তর: (c) 1/2
ব্যাখ্যা: sin150° = sin(180°-30°) = sin30° = 1/2।

সঠিক উত্তর: (b) -1
ব্যাখ্যা: cosx-এর প্রসার [-1, 1]।

সঠিক উত্তর: (a) tan((A+B)/2)
ব্যাখ্যা: 2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2) / 2cos((A+B)/2)cos((A-B)/2) = tan((A+B)/2)।

সঠিক উত্তর: (a) A=60°, B=30°
ব্যাখ্যা: A+B=90°, A-B=30°। সমাধান করে পাই A=60°, B=30°।

সঠিক উত্তর: (c) 3
ব্যাখ্যা: y=Asin(Bx+C)-এর বিস্তার হল |A|।

সঠিক উত্তর: (b) 2π/3
ব্যাখ্যা: প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণ = ((n-2)×180)/n = (4×180)/6 = 120° = 2π/3 রেডিয়ান।

সঠিক উত্তর: (b) 45°
ব্যাখ্যা: উভয়দিকে 1/√2 দিয়ে গুণ করলে, (1/√2)sinθ + (1/√2)cosθ = 1 => cos45°sinθ+sin45°cosθ=1 => sin(θ+45°)=1 => θ+45°=90° => θ=45°।

সঠিক উত্তর: (d) চতুর্থ
ব্যাখ্যা: -1 রেডিয়ান ≈ -57.3°। এটি চতুর্থ পাদে অবস্থিত।

সঠিক উত্তর: (c) 1
ব্যাখ্যা: tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) = (1/2+1/3)/(1 – 1/2×1/3) = (5/6)/(5/6) = 1।

সঠিক উত্তর: (a) nπ ± π/6
ব্যাখ্যা: sin²θ = (1/2)² = sin²(π/6)। sin²θ = sin²α-এর সমাধান হল θ = nπ ± α।

সঠিক উত্তর: (b) ঋণাত্মক
ব্যাখ্যা: 150° কোণটি দ্বিতীয় পাদে অবস্থিত, যেখানে শুধুমাত্র sin এবং cosec ধনাত্মক। তাই cos(150°) ঋণাত্মক।

সঠিক উত্তর: (b) ঋণাত্মক
ব্যাখ্যা: 300° কোণটি চতুর্থ পাদে অবস্থিত, যেখানে cos এবং sec ধনাত্মক। তাই tan(300°) ঋণাত্মক। tan(300°) = tan(360°-60°) = -tan60° = -√3।

সঠিক উত্তর: (a) ধনাত্মক
ব্যাখ্যা: -210° = -180° – 30°, যা দ্বিতীয় পাদে অবস্থিত। sin(-210°) = -sin(210°) = -sin(180+30) = -(-sin30) = sin30=1/2, যা ধনাত্মক।

সঠিক উত্তর: (b) -4/5
ব্যাখ্যা: sin²x = 1 – cos²x = 1 – (-3/5)² = 16/25। sinx = ±4/5। যেহেতু x তৃতীয় পাদে, sinx ঋণাত্মক হবে।

সঠিক উত্তর: (b) -√2
ব্যাখ্যা: 225° তৃতীয় পাদে। sec(225°) = sec(180+45) = -sec45° = -√2।

সঠিক উত্তর: (a) nπ ± π/4
ব্যাখ্যা: sin²x = 1/2 = (1/√2)² = sin²(π/4)। sin²θ = sin²α-এর সমাধান হল θ = nπ ± α।

সঠিক উত্তর: (a) θ = (2n+1)π/4
ব্যাখ্যা: 2θ = (2n+1)π/2। সুতরাং, θ = (2n+1)π/4।

সঠিক উত্তর: (a) x = nπ/3 + π/12
ব্যাখ্যা: tan(3x) = tan(π/4)। 3x = nπ + π/4। সুতরাং, x = nπ/3 + π/12।

সঠিক উত্তর: (d) nπ + (-1)ⁿ⁺¹ (π/3)
ব্যাখ্যা: sinx = -sin(π/3) = sin(-π/3)। α=-π/3 বসিয়ে পাই nπ+(-1)ⁿ(-π/3)। অথবা sinx = sin(π+π/3)=sin(4π/3)। α=4π/3 বসালেও একই সমাধান পাওয়া যায়।

সঠিক উত্তর: (a) -1, 0
ব্যাখ্যা: 1+tan²(2x) = 1 – tan(2x) => tan²(2x) + tan(2x) = 0 => tan(2x)(tan(2x)+1)=0। সুতরাং tan(2x)=0 বা tan(2x)=-1।

সঠিক উত্তর: (b) 2π/3
ব্যাখ্যা: পর্যায়কাল = 2π/|B| = 2π/3।

সঠিক উত্তর: (b) π/4 একক ডানে সরে গেছে
ব্যাখ্যা: দশা সরণ = -C/B = -(-π/4)/1 = π/4 (ধনাত্মক, তাই ডানে)।

সঠিক উত্তর: (c) 2π
ব্যাখ্যা: পর্যায়কাল = π/|B| = π/(1/2) = 2π।

সঠিক উত্তর: (b) π/4, 5π/4
ব্যাখ্যা: tanx = 1। tan প্রথম ও তৃতীয় পাদে ধনাত্মক।

সঠিক উত্তর: (d) 5
ব্যাখ্যা: Asinx + Bcosx-এর সর্বোচ্চ মান হল √(A²+B²) = √((-3)²+4²) = √25 = 5।

সঠিক উত্তর: (b) P-4, Q-3, R-1, S-2
ব্যাখ্যা: প্রতিটি সূত্রের সঠিক রাশিমালার সাথে মিল করা হয়েছে।

সঠিক উত্তর: (a) P-2, Q-3, R-4, S-1
ব্যাখ্যা: প্রতিটি কোণের সঠিক মানের সাথে মিল করা হয়েছে।

সঠিক উত্তর: (b) P-2, Q-1, R-2, S-3
ব্যাখ্যা: প্রতিটি অপেক্ষকের সঠিক প্রসারের সাথে মিল করা হয়েছে।

সঠিক উত্তর: (a) P-3, Q-1, R-2, S-4
ব্যাখ্যা: প্রতিটি সাধারণ সমাধানের সঠিক সমীকরণের সাথে মিল করা হয়েছে।

সঠিক উত্তর: (b) P-4, Q-3, R-1, S-2
ব্যাখ্যা: প্রতিটি ডিগ্রীকে তার সমতুল্য রেডিয়ানের সাথে মিল করা হয়েছে।

সঠিক উত্তর: (a) P-2, Q-3, R-4, S-1
ব্যাখ্যা: প্রতিটি অভেদের সঠিক ফলাফলের সাথে মিল করা হয়েছে।

সঠিক উত্তর: (b) P-3, Q-4, R-1, S-2
ব্যাখ্যা: প্রতিটি যোগফল/বিয়োগফলের সূত্রের সঠিক গুণফল রূপের সাথে মিল করা হয়েছে।

সঠিক উত্তর: (a) P-2, Q-1, R-4, S-3
ব্যাখ্যা: প্রতিটি গুণিতক কোণের সূত্রকে tan-এর মাধ্যমে সঠিক রূপে প্রকাশ করা হয়েছে।

সঠিক উত্তর: (a) P-2, Q-1, R-2, S-2
ব্যাখ্যা: sin, tan, cot অযুগ্ম (f(-x)=-f(x)) এবং cos যুগ্ম (f(-x)=f(x))।

সঠিক উত্তর: (b) P-1, Q-3, R-2, S-4
ব্যাখ্যা: প্রতিটি মানের সাথে তার সংশ্লিষ্ট কোণের মিল করা হয়েছে।