৩. একটি মই দেওয়ালে এমনভাবে লাগানো আছে যে মইয়ের শীর্ষবিন্দু দেওয়ালকে স্পর্শ করে আছে এবং মইটি ভূমির সঙ্গে 60° কোণ উৎপন্ন করেছে। মইয়ের পাদদেশ দেওয়াল থেকে 5 মিটার দূরে থাকলে, মইটির দৈর্ঘ্য কত?
সমাধান:
কোনো বস্তুর দিকে এগিয়ে গেলে অর্থাৎ ভূমি কমলে, tanθ = লম্ব/ভূমি অনুযায়ী tanθ-এর মান বাড়ে। সুতরাং কোণ θ-এর মানও বাড়ে। সঠিক উত্তর: (খ) বাড়ে
৬. A বিন্দু থেকে B বিন্দুর উন্নতি কোণ 60° হলে, B বিন্দু থেকে A বিন্দুর অবনতি কোণ কত?
(ক) 30°
(খ) 45°
(গ) 60°
(ঘ) 90°
সমাধান:
দুটি বিন্দুর মধ্যে উন্নতি কোণ ও অবনতি কোণ পরস্পরের একান্তর কোণ হওয়ায় সর্বদা সমান হয়। সঠিক উত্তর: (গ) 60°
৭. সূর্যের উন্নতি কোণ 30° থেকে বেড়ে 60° হলে, একটি খুঁটির ছায়ার দৈর্ঘ্য—
(ক) বাড়ে
(খ) কমে
(গ) একই থাকে
(ঘ) বলা যায় না
সমাধান:
ছায়ার দৈর্ঘ্য = উচ্চতা/tanθ। উন্নতি কোণ θ বাড়লে, tanθ বাড়ে। ফলে ছায়ার দৈর্ঘ্য কমে। সঠিক উত্তর: (খ) কমে
৮. একটি ঘুড়ির উন্নতি কোণ 60° এবং সুতোর দৈর্ঘ্য 40 মিটার হলে, ঘুড়িটির উচ্চতা কত?
(ক) 20 মিটার
(খ) 40 মিটার
(গ) 20√3 মিটার
(ঘ) 40√3 মিটার
সমাধান:
sin60° = উচ্চতা/সুতোর দৈর্ঘ্য (অতিভুজ)।
√3/2 = উচ্চতা/40 => উচ্চতা = (40√3)/2 = 20√3 মিটার। সঠিক উত্তর: (গ) 20√3 মিটার
৯. একটি গাছের পাদদেশ থেকে 20 মিটার দূরে অবস্থিত কোনো বিন্দু থেকে গাছের চূড়ার উন্নতি কোণ 30° হলে গাছটির উচ্চতা কত?
(ক) 20 মিটার
(খ) 20√3 মিটার
(গ) 20/√3 মিটার
(ঘ) 10 মিটার
সমাধান:
tan30° = উচ্চতা/ভূমি => 1/√3 = উচ্চতা/20।
উচ্চতা = 20/√3 মিটার। সঠিক উত্তর: (গ) 20/√3 মিটার
১০. একটি নদীর পাড়ে দাঁড়িয়ে একজন লোক দেখল যে, সোজাসুজি অপর পাড়ে একটি গাছের উন্নতি কোণ 60°। পাড় থেকে 40 মিটার পিছিয়ে গেলে কোণটি 30° হয়। গাছটির উচ্চতা কত?
(ক) 10√3 মিটার
(খ) 20√3 মিটার
(গ) 30√3 মিটার
(ঘ) 40√3 মিটার
সমাধান:
ধরি উচ্চতা h এবং নদীর চওড়া x।
tan60°=h/x => h=x√3।
tan30°=h/(x+40) => 1/√3=h/(x+40) => x+40=h√3।
x+40=(x√3)√3 = 3x => 2x=40 => x=20।
উচ্চতা h = 20√3 মিটার। সঠিক উত্তর: (খ) 20√3 মিটার
১১. ভূমির সমান্তরাল রেখার ওপরের কোনো বিন্দু দেখার জন্য যে কোণ তৈরি হয়, তাকে বলে—
(ক) উন্নতি কোণ
(খ) অবনতি কোণ
(গ) সমকোণ
(ঘ) সরলকোণ
সমাধান:ভূমির সমান্তরাল রেখার উপরের বিন্দু দেখতে চোখকে উপরে তুলতে হয়, তাই উৎপন্ন কোণ উন্নতি কোণ। সঠিক উত্তর: (ক) উন্নতি কোণ
১২. 9 মিটার উঁচু একটি poste থেকে 9√3 মিটার দূরের একটি বিন্দু থেকে posteটির চূড়ার উন্নতি কোণ হবে—
৪. 10 মিটার উঁচু একটি বাড়ির ছাদ থেকে একটি টাওয়ারের চূড়ার উন্নতি কোণ 45° এবং পাদদেশের অবনতি কোণ 30°। টাওয়ারটির উচ্চতা কত?
সমাধান:ধরি দূরত্ব d। tan30°=10/d => d=10√3। টাওয়ারের উপরের অংশের উচ্চতা h’ হলে, tan45°=h’/d => h’=d=10√3। টাওয়ারের মোট উচ্চতা = 10+h’ = 10+10√3 = 10(1+√3) মিটার। উত্তর: 10(1+√3) মিটার।
৫. ঝড়ে একটি গাছ মচকে গিয়ে তার অগ্রভাগ মাটি স্পর্শ করে ভূমির সঙ্গে 30° কোণ উৎপন্ন করেছে। গাছের গোড়া থেকে যেখানে অগ্রভাগ মাটি স্পর্শ করেছে তার দূরত্ব 8√3 মিটার হলে, গাছটি কত উঁচুতে মচকেছিল?
সমাধান:ধরি h উচ্চতায় মচকেছিল। tan30°=h/(8√3) => 1/√3 = h/(8√3) => h=8 মিটার। উত্তর: গাছটি 8 মিটার উঁচুতে মচকেছিল।
৬. একটি চিমনির সঙ্গে একই সমতলে অবস্থিত একটি বিন্দু থেকে চিমনির চূড়ার উন্নতি কোণ 60°। সেই বিন্দু থেকে 24 মিটার পিছিয়ে গেলে উন্নতি কোণ 30° হয়। চিমনিটির উচ্চতা কত?
৭. একটি লাইটহাউস থেকে তার সঙ্গে একই সরলরেখায় অবস্থিত দুটি জাহাজের অবনতি কোণ 60° ও 45°। যদি কাছের জাহাজটি 150 মিটার দূরে থাকে, তবে দূরের জাহাজটি কত দূরে আছে?
১৩. একটি স্তম্ভের উচ্চতা 27 মিটার। এর ছায়ার দৈর্ঘ্য 9√3 মিটার হলে, সূর্যের উন্নতি কোণ কত?
সমাধান:tanθ=27/(9√3)=3/√3=√3। θ=60°। উত্তর: 60°।
১৪. একটি postesর ছায়ার দৈর্ঘ্য তার উচ্চতার সমান হলে, সূর্যের উন্নতি কোণ কত?
সমাধান:tanθ=h/h=1। θ=45°। উত্তর: 45°।
১৫. মাঠের মাঝখানে দাঁড়িয়ে মোহিত একটি উড়ন্ত পাখিকে প্রথমে উত্তরে 30° উন্নতি কোণে এবং 2 মিনিট পরে দক্ষিণে 60° উন্নতি কোণে দেখতে পেল। পাখিটি যদি একই সরলরেখায় 50√3 মিটার উঁচুতে উড়ে থাকে, তবে তার গতিবেগ কিমি/ঘন্টায় নির্ণয় করো।
১৬. একটি পাঁচতলা বাড়ির ছাদের কোনো বিন্দু থেকে দেখলে মনুমেন্টের চূড়ার উন্নতি কোণ ও গোড়ার অবনতি কোণ যথাক্রমে 60° ও 30°। বাড়ির উচ্চতা 16 মিটার হলে, মনুমেন্টের উচ্চতা কত?
সমাধান:দূরত্ব d। tan30°=16/d => d=16√3। মনুমেন্টের উপরের অংশ h’। tan60°=h’/d => h’=d√3=(16√3)√3=48। মোট উচ্চতা=16+h’=16+48=64 মিটার। উত্তর: 64 মিটার।
১৭. একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য 10 সেমি এবং একটি কোণ 60° হলে, অপর বাহু দুটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
সমাধান:লম্ব=10sin60°=10(√3/2)=5√3 সেমি। ভূমি=10cos60°=10(1/2)=5 সেমি। উত্তর: 5 সেমি ও 5√3 সেমি।
১৮. একটি postesর দৈর্ঘ্য এবং তার ছায়ার দৈর্ঘ্যের অনুপাত 1:√3। উন্নতি কোণ কত?
সমাধান:tanθ=1/√3। θ=30°। উত্তর: 30°।
১৯. একটি মোবাইল টাওয়ারের সঙ্গে একই সরলরেখায় অবস্থিত দুটি বিন্দু থেকে টাওয়ারের চূড়ার উন্নতি কোণ যথাক্রমে 60° ও 45°। বিন্দু দুটির মধ্যে দূরত্ব 20 মিটার হলে, টাওয়ারের উচ্চতা কত?
২০. একটি লাইটহাউসের top থেকে দুটি জাহাজের অবনতি কোণ 45° ও 30°। যদি জাহাজদুটি লাইটহাউসের একই দিকে থাকে এবং তাদের মধ্যে দূরত্ব 200 মিটার হয়, তবে লাইটহাউসের উচ্চতা কত?
১. 180 মিটার চওড়া একটি রাস্তার দুপাশে সমান উচ্চতার দুটি বাড়ি আছে। রাস্তার মাঝখান থেকে বাড়ি দুটির চূড়ার উন্নতি কোণ যথাক্রমে 60° ও 30° হলে, বাড়ি দুটির উচ্চতা নির্ণয় করো।
সমাধান:ধরি বাড়ি দুটির উচ্চতা h মিটার। ধরি রাস্তার মাঝখানের বিন্দু থেকে একটি বাড়ির দূরত্ব x মিটার। অপর বাড়ির দূরত্ব (180-x) মিটার। প্রথম ক্ষেত্রে, tan60° = h/x => h = x√3 …(i) দ্বিতীয় ক্ষেত্রে, tan30° = h/(180-x) => 1/√3 = h/(180-x) => h√3 = 180-x …(ii) সমীকরণ (i) থেকে h-এর মান (ii)-তে বসিয়ে পাই, (x√3)√3 = 180-x => 3x = 180-x => 4x=180 => x=45 মিটার। বাড়ি দুটির উচ্চতা, h = x√3 = 45√3 মিটার। উত্তর: বাড়ি দুটির উচ্চতা 45√3 মিটার।
২. ঝড়ে একটি গাছ এমনভাবে ভেঙে গেল যে তার অবিচ্ছিন্ন অংশটি দণ্ডায়মান অংশের সঙ্গে 30° কোণ উৎপন্ন করে এবং তার অগ্রভাগ মাটি স্পর্শ করে গাছটির গোড়া থেকে 10√3 মিটার দূরে। গাছটির সম্পূর্ণ উচ্চতা কত ছিল?
সমাধান:ধরি গাছটি h মিটার উঁচুতে ভেঙেছে এবং দণ্ডায়মান অংশ AB, ভাঙা অংশ BC’। ΔABC-তে, ∠BAC=90°, AC=10√3। কোণটি দণ্ডায়মান অংশের সঙ্গে 30° অর্থাৎ ∠ABC’=30°। তাহলে ভূমির সঙ্গে কোণ ∠AC’B = 90°-30° = 60°। tan60° = AB/AC = h/(10√3) => √3 = h/(10√3) => h = 30 মিটার। ভাঙা অংশের দৈর্ঘ্য (অতিভুজ) BC’ = √(AB²+AC’²) = √(30²+(10√3)²)=√(900+300)=√1200=20√3 মিটার। গাছের সম্পূর্ণ উচ্চতা = দণ্ডায়মান অংশ + ভাঙা অংশ = 30 + 20√3 মিটার। উত্তর: গাছটির সম্পূর্ণ উচ্চতা 30 + 20√3 মিটার।
৩. একটি উড়োজাহাজ থেকে রাস্তার পরপর দুটি কিলোমিটার ফলকের অবনতি কোণ যথাক্রমে 60° ও 30° হলে, উড়োজাহাজটির উচ্চতা নির্ণয় করো, যখন (i) ফলক দুটি উড়োজাহাজের বিপরীত দিকে অবস্থিত (ii) ফলক দুটি উড়োজাহাজের একই দিকে অবস্থিত।
সমাধান:ধরি উচ্চতা h কিমি। ফলক দুটির মধ্যে দূরত্ব 1 কিমি। (i) বিপরীত দিকে: ধরি উড়োজাহাজের নীচের বিন্দু থেকে ফলক দুটির দূরত্ব x ও (1-x) কিমি। tan60°=h/x => x=h/√3। tan30°=h/(1-x) => 1-x=h√3। 1-h/√3 = h√3 => 1 = h√3+h/√3 = h(√3+1/√3)=h(4/√3)। h=√3/4 কিমি। (ii) একই দিকে: ধরি দূরত্ব x ও x+1 কিমি। tan60°=h/x => x=h/√3। tan30°=h/(x+1) => x+1=h√3। h/√3+1=h√3 => 1=h(√3-1/√3)=h(2/√3)। h=√3/2 কিমি। উত্তর: (i) √3/4 কিমি (ii) √3/2 কিমি।
৪. 126 ডেসিমি উঁচু একটি postes মাটি থেকে কিছু উঁচুতে মচকে যাওয়ায় তার অগ্রভাগ গোড়া থেকে 42 ডেসিমি দূরে মাটি স্পর্শ করেছে। postesটি কত উঁচুতে মচকেছিল এবং তার অগ্রভাগ ভূমির সঙ্গে কত কোণ করেছিল?
৫. একটি তিনতলা বাড়ির ছাদে 3.3 মিটার দৈর্ঘ্যের একটি পতাকা আছে। রাস্তার কোনো এক স্থান থেকে দেখলে পতাকাটির চূড়া ও পাদদেশের উন্নতি কোণ যথাক্রমে 50° ও 45° হয়। তিনতলা বাড়িটির উচ্চতা নির্ণয় করো (tan50° = 1.192 ধরে)।
সমাধান:ধরি বাড়ির উচ্চতা h এবং দূরত্ব d। tan45°=h/d => h=d। tan50°=(h+3.3)/d => 1.192=(h+3.3)/h। 1.192h = h+3.3 => 0.192h = 3.3 => h=3.3/0.192 ≈ 17.1875 মিটার। উত্তর: বাড়িটির উচ্চতা প্রায় 17.19 মিটার।
৬. দুটি স্তম্ভের উচ্চতা যথাক্রমে 180 মিটার ও 60 মিটার। দ্বিতীয় স্তম্ভটির গোড়া থেকে প্রথমটির চূড়ার উন্নতি কোণ 60° হলে, প্রথমটির গোড়া থেকে দ্বিতীয়টির চূড়ার উন্নতি কোণ কত?
৭. 9√3 মিটার উঁচু একটি তিনতলা বাড়ির ছাদ থেকে দেখলে 30√3 মিটার দূরে অবস্থিত একটি কারখানার চিমনির উন্নতি কোণ 30° হয়। চিমনিটির উচ্চতা নির্ণয় করো।
সমাধান:বাড়ির উচ্চতা = 9√3 মি, দূরত্ব = 30√3 মি। চিমনির উপরের অংশের উচ্চতা h’ হলে, tan30° = h’/(30√3) => 1/√3 = h’/(30√3) => h’=30 মিটার। চিমনির মোট উচ্চতা = বাড়ির উচ্চতা + h’ = 9√3 + 30 মিটার। উত্তর: চিমনির উচ্চতা (30 + 9√3) মিটার।
৮. সূর্যের উন্নতি কোণ 45° থেকে বৃদ্ধি পেয়ে 60° হলে, একটি খুঁটির ছায়ার দৈর্ঘ্য 3 মিটার কমে যায়। খুঁটিটির উচ্চতা নির্ণয় করো।
সমাধান:ধরি উচ্চতা h এবং প্রাথমিক ছায়া x। tan45°=h/x => h=x। tan60°=h/(x-3) => √3=h/(h-3) => h√3-3√3=h => h(√3-1)=3√3 => h=3√3/(√3-1) = (3√3(√3+1))/2 = (9+3√3)/2 মিটার। উত্তর: খুঁটির উচ্চতা (9+3√3)/2 মিটার।
৯. একটি নদীর উপর একটি সেতু আছে। সেতুর একটি বিন্দু থেকে নদীর দুই পাড়ের অবনতি কোণ যথাক্রমে 30° ও 45°। যদি সেতুটি পাড় থেকে 3 মিটার উঁচুতে থাকে, তবে নদীর চওড়া কত?
সমাধান:ধরি উচ্চতা h=3 মিটার। নদীর এক অংশ d₁, অপর অংশ d₂। tan45°=h/d₁ => 1=3/d₁ => d₁=3 মিটার। tan30°=h/d₂ => 1/√3=3/d₂ => d₂=3√3 মিটার। নদীর চওড়া = d₁+d₂ = 3+3√3 = 3(1+√3) মিটার। উত্তর: নদীর চওড়া 3(1+√3) মিটার।
১০. দুটি বাড়ির মাঝের দূরত্ব 12 মিটার। প্রথম বাড়ির ছাদ থেকে দ্বিতীয় বাড়ির চূড়ার উন্নতি কোণ 30° এবং দ্বিতীয় বাড়ির ছাদ থেকে প্রথম বাড়ির পাদদেশের অবনতি কোণ 60°। দ্বিতীয় বাড়িটির উচ্চতা নির্ণয় করো।
সমাধান:ধরি প্রথম বাড়ির উচ্চতা h₁ এবং দ্বিতীয় বাড়ির উচ্চতা h₂। দূরত্ব d=12। দ্বিতীয় বাড়ির ছাদ থেকে প্রথম বাড়ির পাদদেশের অবনতি কোণ 60°। tan60°=h₂/d => √3=h₂/12 => h₂=12√3 মিটার। দ্বিতীয় বাড়ির উচ্চতা প্রথম বাড়ির চেয়ে বেশি। প্রথম বাড়ির ছাদ থেকে দ্বিতীয় বাড়ির চূড়ার উন্নতি কোণ 30°। tan30° = (h₂-h₁)/d => 1/√3 = (12√3-h₁)/12 => 12 = √3(12√3-h₁) = 36-h₁√3 => h₁√3 = 24 => h₁=24/√3=8√3 মিটার। উত্তর: দ্বিতীয় বাড়িটির উচ্চতা 12√3 মিটার। (প্রথম বাড়ির উচ্চতাও চাওয়া হতে পারত, তা হল 8√3 মিটার)।
Class 10 Math ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের প্রয়োগ: উচ্চতা ও দূরত্ব Question Answer MCQ,অতি-সংক্ষিপ্ত, ও রচনাধর্মী প্রশ্ন উত্তর : class 10 ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের প্রয়োগ: উচ্চতা ও দূরত্ব প্রশ্ন উত্তর
