ক) বহুবিকল্পভিত্তিক প্রশ্নাবলী (MCQ) – মান ১ (২০টি)
১. x ∝ y এবং y = 8 যখন x = 2, তাহলে y = 16 হলে x-এর মান কত?
(ক) 2
(খ) 4
(গ) 6
(ঘ) 8
সমাধান:
x ∝ y => x = ky (k হল অশূন্য ভেদ ধ্রুবক)।
x = 2, y = 8 হলে, 2 = k × 8 => k = 2/8 = 1/4।
সমীকরণটি হল x = (1/4)y।
এখন, y = 16 হলে, x = (1/4) × 16 = 4। সঠিক উত্তর: (খ) 4
২. যদি x, y-এর সঙ্গে ব্যস্ত ভেদে থাকে এবং y = 5 যখন x = 3, তাহলে y = 3 হলে x-এর মান কত?
(ক) 3
(খ) 4
(গ) 5
(ঘ) 6
সমাধান:
x ∝ 1/y => xy = k (k হল অশূন্য ভেদ ধ্রুবক)।
x = 3, y = 5 হলে, k = 3 × 5 = 15।
সমীকরণটি হল xy = 15।
এখন, y = 3 হলে, x × 3 = 15 => x = 15/3 = 5। সঠিক উত্তর: (গ) 5
৩. x ∝ y এবং y ∝ z হলে, নীচের কোনটি সঠিক?
(ক) x ∝ 1/z
(খ) x ∝ z
(গ) x² ∝ z
(ঘ) x ∝ z²
সমাধান:
x ∝ y => x = k₁y। y ∝ z => y = k₂z।
x = k₁y = k₁(k₂z) = (k₁k₂)z।
যেহেতু k₁k₂ একটি অশূন্য ধ্রুবক, তাই x ∝ z। সঠিক উত্তর: (খ) x ∝ z
৪. যদি y – z ∝ 1/(x), z – x ∝ 1/(y) এবং x – y ∝ 1/(z) হয়, তাহলে ভেদ ধ্রুবক তিনটির যোগফল কত?
(ক) 1
(খ) -1
(গ) 0
(ঘ) 2
সমাধান:
y – z = k₁/x, z – x = k₂/y, x – y = k₃/z।
x(y-z) = k₁, y(z-x) = k₂, z(x-y) = k₃।
যোগ করে পাই, k₁+k₂+k₃ = x(y-z) + y(z-x) + z(x-y) = xy-xz+yz-xy+xz-yz = 0। সঠিক উত্তর: (গ) 0
৫. x ∝ yz এবং y ∝ zx হলে, কোনটি সত্য?
(ক) z একটি ধ্রুবক
(খ) x একটি ধ্রুবক
(গ) y একটি ধ্রুবক
(ঘ) কোনোটিই নয়
সমাধান:
x = k₁yz এবং y = k₂zx।
x = k₁ (k₂zx) z = k₁k₂x z²।
1 = k₁k₂z² => z² = 1/(k₁k₂) = ধ্রুবক।
সুতরাং z একটি অশূন্য ধ্রুবক। সঠিক উত্তর: (ক) z একটি ধ্রুবক
৬. x ∝ y হলে, নীচের কোনটি সঠিক নয়?
(ক) x² ∝ y²
(খ) x³ ∝ y³
(গ) x+y ∝ x-y
(ঘ) x ∝ 1/y
সমাধান:
x ∝ y মানে x ও y সরল ভেদে আছে। x ∝ 1/y মানে x ও y ব্যস্ত ভেদে আছে। একটি সম্পর্ক সত্য হলে অন্যটি হতে পারে না (যদি না x, y উভয়ই ধ্রুবক হয়)। সঠিক উত্তর: (ঘ) x ∝ 1/y
৭. a ∝ b এবং a = 2 যখন b = 20। a-এর মান 3 হলে b-এর মান কত?
(ক) 10
(খ) 20
(গ) 30
(ঘ) 40
সমাধান:
a = kb => 2 = k × 20 => k = 1/10।
সুতরাং, a = b/10।
a = 3 হলে, 3 = b/10 => b = 30। সঠিক উত্তর: (গ) 30
৮. x ∝ y, y ∝ 1/z এবং z ∝ w হলে, x ও w-এর মধ্যে সম্পর্কটি হল—
(ক) সরল ভেদ
(খ) ব্যস্ত ভেদ
(গ) যৌগিক ভেদ
(ঘ) কোনো সম্পর্ক নেই
সমাধান:
x = k₁y, y = k₂/z, z = k₃w।
x = k₁y = k₁(k₂/z) = k₁k₂/z = k₁k₂/(k₃w) = (k₁k₂/k₃) * (1/w)।
যেহেতু k₁k₂/k₃ একটি ধ্রুবক, তাই x ∝ 1/w। এটি ব্যস্ত ভেদ। সঠিক উত্তর: (খ) ব্যস্ত ভেদ
৯. 5 জন লোক 9 দিনে 10 বিঘা জমি চাষ করতে পারে। 30 বিঘা জমি চাষ করতে 25 জন লোকের কতদিন সময় লাগবে?
(ক) 3 দিন
(খ) 9 দিন
(গ) 18 দিন
(ঘ) 27 দিন
সমাধান:
ধরি লোকসংখ্যা M, দিন D, জমির পরিমাণ A।
M ∝ A এবং M ∝ 1/D।
যৌগিক ভেদের উপপাদ্য অনুযায়ী, M = k(A/D) => MD/A = k।
(5 × 9)/10 = (25 × D)/30 => 4.5 = 25D/30 => D = (4.5 × 30)/25 = 135/25 = 5.4 দিন। (প্রশ্নে ত্রুটি আছে, সংখ্যাগুলি পূর্ণসংখ্যার উত্তরের জন্য উপযুক্ত নয়)।
ধরি প্রশ্নটি হল: 15 জন লোক 5 দিনে 30 বিঘা চাষ করে। 10 জন লোক 50 বিঘা চাষ করতে কতদিন লাগবে?
(15×5)/30 = (10×D)/50 => 2.5 = D/5 => D = 12.5 দিন। সঠিক উত্তর: প্রদত্ত প্রশ্নে ত্রুটি আছে।
১০. y ∝ x² এবং y=4 যখন x=2। y=9 হলে x-এর ধনাত্মক মান কত?
(ক) 2
(খ) 3
(গ) 4
(ঘ) 9
সমাধান:
y = kx² => 4 = k(2)² => 4 = 4k => k=1।
সমীকরণটি হল y = x²।
y = 9 হলে, 9 = x² => x = ±3। ধনাত্মক মান হল 3। সঠিক উত্তর: (খ) 3
১১. x, y-এর সঙ্গে সরল ভেদে এবং z-এর সঙ্গে ব্যস্ত ভেদে আছে। y=5, z=9 হলে x=1/6 হয়। y=6, z=1/5 হলে x-এর মান কত?
(ক) 9
(খ) 1/9
(গ) 27
(ঘ) 1/27
সমাধান:x = k(y/z) => 1/6 = k(5/9) => k = (1/6)×(9/5) = 3/10। সমীকরণ: x = (3/10)×(y/z)। x = (3/10)×(6/(1/5)) = (3/10)×30 = 9। সঠিক উত্তর: (ক) 9
১২. x ∝ y হলে, নীচের কোনটি সত্য?
(ক) x/y = ধ্রুবক
(খ) xy = ধ্রুবক
(গ) x+y = ধ্রুবক
(ঘ) x-y = ধ্রুবক
সমাধান:x ∝ y এর সংজ্ঞা হল x = ky, যেখানে k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক। সুতরাং x/y = k = ধ্রুবক। সঠিক উত্তর: (ক) x/y = ধ্রুবক
১৩. যদি a ∝ b হয়, তবে—
(ক) aⁿ ∝ b
(খ) a ∝ bⁿ
(গ) aⁿ ∝ bⁿ
(ঘ) কোনোটিই নয়
সমাধান:a = kb => aⁿ = (kb)ⁿ = kⁿbⁿ। যেহেতু kⁿ একটি ধ্রুবক, তাই aⁿ ∝ bⁿ। সঠিক উত্তর: (গ) aⁿ ∝ bⁿ
১৪. a = (k₁b), b = (k₂c), c = (k₃a) হলে, k₁, k₂, k₃ এর মধ্যে সম্পর্কটি হল—
(ক) k₁+k₂+k₃ = 0
(খ) k₁+k₂+k₃ = 1
(গ) k₁k₂k₃ = 1
(ঘ) k₁k₂k₃ = 0
সমাধান:a = k₁b = k₁(k₂c) = k₁k₂(k₃a) = k₁k₂k₃a। উভয় পক্ষ থেকে a বাদ দিলে, 1 = k₁k₂k₃। সঠিক উত্তর: (গ) k₁k₂k₃ = 1
১৫. x, y-এর বর্গমূলের সঙ্গে সরল ভেদে আছে। y = 9 হলে x = 9 হয়। y = 16 হলে x-এর মান কত?
(ক) 9
(খ) 12
(গ) 16
(ঘ) 3
সমাধান:x ∝ √y => x = k√y। 9 = k√9 => 9 = 3k => k=3। সমীকরণ: x = 3√y। y = 16 হলে, x = 3√16 = 3×4 = 12। সঠিক উত্তর: (খ) 12
১৬. a ∝ 1/c এবং c ∝ 1/b হলে, a ও b-এর মধ্যে সম্পর্কটি কী?
(ক) ব্যস্ত ভেদ
(খ) সরল ভেদ
(গ) কোনো ভেদ সম্পর্ক নেই
(ঘ) যৌগিক ভেদ
সমাধান:a = k₁/c এবং c = k₂/b। a = k₁ / (k₂/b) = (k₁/k₂) × b। যেহেতু k₁/k₂ একটি ধ্রুবক, তাই a ∝ b। এটি সরল ভেদ। সঠিক উত্তর: (খ) সরল ভেদ
১৭. ভেদ ধ্রুবকের মান হতে পারে—
(ক) শুধুমাত্র ধনাত্মক
(খ) শুধুমাত্র ঋণাত্মক
(গ) শূন্য
(ঘ) যে কোনো অশূন্য বাস্তব সংখ্যা
সমাধান:ভেদের সংজ্ঞা অনুযায়ী, ভেদ ধ্রুবক একটি অশূন্য ধ্রুবক। এটি ধনাত্মক বা ঋণাত্মক হতে পারে। সঠিক উত্তর: (ঘ) যে কোনো অশূন্য বাস্তব সংখ্যা
১৮. x+y ∝ x-y হলে, নীচের কোনটি সঠিক?
(ক) x ∝ 1/y
(খ) x ∝ y
(গ) x² ∝ y
(ঘ) x ∝ y²
সমাধান:x+y = k(x-y) => (x+y)/(x-y) = k। যোগ-ভাগ প্রক্রিয়া করে পাই, (x+y+x-y)/(x+y-x+y) = (k+1)/(k-1) => 2x/2y = ধ্রুবক => x/y = ধ্রুবক। সুতরাং, x ∝ y। সঠিক উত্তর: (খ) x ∝ y
১৯. একটি পুকুর কাটতে 50 জন গ্রামবাসীর 18 দিন সময় লেগেছে। পুকুরটি 15 দিনে কাটতে হলে অতিরিক্ত কতজন লোক লাগবে?
(ক) 10 জন
(খ) 15 জন
(গ) 20 জন
(ঘ) 60 জন
সমাধান:লোকসংখ্যা (M) ও দিনসংখ্যা (D) ব্যস্ত ভেদে থাকে। MD = k। 50 × 18 = M’ × 15 => M’ = (50×18)/15 = 10×6 = 60 জন। অতিরিক্ত লোক = 60 – 50 = 10 জন। সঠিক উত্তর: (ক) 10 জন
২০. y ∝ x³ এবং y=1 যখন x=2। y=1/8 হলে x-এর মান কত?
(ক) 1
(খ) 2
(গ) 1/2
(ঘ) 4
সমাধান:y = kx³ => 1 = k(2)³ => 1 = 8k => k = 1/8। সমীকরণ: y = (1/8)x³। 1/8 = (1/8)x³ => x³ = 1 => x = 1। সঠিক উত্তর: (ক) 1
খ) অতি-সংক্ষিপ্ত উত্তরভিত্তিক প্রশ্নাবলী (VSA) – মান ১ (২০টি)
(i) শূন্যস্থান পূরণ করো (১০টি)
১. x ∝ yz এবং y ∝ xz হলে, z একটি ________।
উত্তর: অশূন্য ধ্রুবক
২. যদি দুটি চলরাশি এমনভাবে সম্পর্কিত হয় যে, একটির মান বাড়লে অন্যটির মান আনুপাতিকভাবে বাড়ে, তখন তাদের মধ্যে ________ ভেদ সম্পর্ক থাকে।
উত্তর: সরল
৩. x ∝ y হলে, x = ky, যেখানে k হল ________।
উত্তর: অশূন্য ভেদ ধ্রুবক
৪. x ∝ 1/y হলে, xy = ________।
উত্তর: অশূন্য ধ্রুবক
৫. x ∝ y এবং y=12 যখন x=3 হলে, ভেদ ধ্রুবকের মান ________।
সমাধান:x=ky => 3=k×12 => k=1/4। উত্তর: 1/4
৬. যদি x, y-এর সঙ্গে সরল ভেদে এবং z-এর সঙ্গে ব্যস্ত ভেদে থাকে, তবে x ∝ ________।
উত্তর: y/z
৭. a ∝ b, b ∝ 1/c, c ∝ d হলে, a ও d-এর মধ্যে ________ ভেদ সম্পর্ক আছে।
উত্তর: ব্যস্ত
৮. গোলকের আয়তন তার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের ________ -এর সঙ্গে সরল ভেদে থাকে।
উত্তর: ত্রিঘাতের
৯. x ∝ √y এবং x=9 যখন y=9 হলে, x=6 হলে y= ________।
৭. 15 জন কৃষক 5 দিনে 18 বিঘা জমি চাষ করতে পারেন। ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে 10 জন কৃষক 12 বিঘা জমি কত দিনে চাষ করতে পারবেন তা নির্ণয় করো।
সমাধান:ধরি কৃষক M, দিন D, জমি A। M ∝ A/D => MD/A=k। (15×5)/18 = (10×D)/12 => 75/18 = 10D/12 => D = (75×12)/(18×10) = 5 দিন। উত্তর: 5 দিনে চাষ করতে পারবেন।
৮. x ∝ yz, y ∝ zx হলে, দেখাও যে z একটি অশূন্য ধ্রুবক।
সমাধান:x=k₁yz, y=k₂zx। y এর মান প্রথম সমীকরণে বসিয়ে পাই, x=k₁ (k₂zx) z => x = k₁k₂xz²। যেহেতু x≠0, 1 = k₁k₂z² => z² = 1/(k₁k₂) = ধ্রুবক। সুতরাং, z একটি অশূন্য ধ্রুবক। (প্রমাণিত)
৯. y দুটি চলের সমষ্টির সমান, যার একটি x-এর সঙ্গে সরল ভেদে এবং অপরটি x-এর সঙ্গে ব্যস্ত ভেদে পরিবর্তিত হয়। x=1 হলে y=-1 এবং x=3 হলে y=5। x ও y-এর মধ্যে সম্পর্কটি নির্ণয় করো।
১৮. একটি চৌবাচ্চা জলপূর্ণ করতে একটি পাম্পের 20 মিনিট সময় লাগে। যদি পাম্পের ক্ষমতা 40% বাড়ানো হয়, তবে চৌবাচ্চাটি পূর্ণ করতে কত সময় লাগবে?
সমাধান:ক্ষমতা(P) ও সময়(T) ব্যস্ত ভেদে থাকে। PT=k। নতুন ক্ষমতা P’ = P + 0.4P = 1.4P। P×20 = (1.4P)×T’ => T’ = 20/1.4 = 200/14 = 100/7 ≈ 14.28 মিনিট। উত্তর: প্রায় 14.28 মিনিট সময় লাগবে।
১৯. x, y-এর সঙ্গে ব্যস্ত ভেদে আছে। y=4 হলে x=3। y-এর মান 50% হ্রাস পেলে, x-এর মান শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?
সমাধান:xy=k => 3×4=12 => k=12। y এর 50% হ্রাস = 4 – 2 = 2। নতুন y=2। নতুন x = 12/2=6। x এর বৃদ্ধি = 6-3=3। শতকরা বৃদ্ধি = (3/3)×100% = 100%। উত্তর: x-এর মান 100% বৃদ্ধি পাবে।
১. গোলকের আয়তন তার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের ত্রিঘাতের সঙ্গে সরল ভেদে পরিবর্তিত হয়। একটি 1½, 2 এবং 2½ মিটার দৈর্ঘ্যের ব্যাসবিশিষ্ট তিনটি নিরেট গোলক গলিয়ে একটি নতুন নিরেট গোলক তৈরি করা হল। নতুন গোলকটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো (ধরে নাও গলানোর আগে ও পরে আয়তন একই থাকে)।
সমাধান:
ধরি, গোলকের আয়তন V এবং ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r। V ∝ r³ => V = kr³।
গোলক তিনটির ব্যাস যথাক্রমে 3/2, 2, 5/2 মিটার।
ব্যাসার্ধগুলি হল r₁=3/4, r₂=1, r₃=5/4 মিটার।
গোলক তিনটির আয়তন V₁=k(3/4)³, V₂=k(1)³, V₃=k(5/4)³।
নতুন গোলকের আয়তন V’ = V₁+V₂+V₃ = k[(3/4)³ + 1³ + (5/4)³]
= k[27/64 + 1 + 125/64] = k[(27+64+125)/64] = k(216/64) = k(27/8)।
ধরি নতুন গোলকের ব্যাসার্ধ R। V’ = kR³।
kR³ = k(27/8) => R³ = (3/2)³ => R = 3/2 মিটার।
নতুন গোলকের ব্যাস = 2R = 2 × (3/2) = 3 মিটার। উত্তর: নতুন গোলকটির ব্যাসের দৈর্ঘ্য 3 মিটার।
২. যদি x ∝ y এবং y ∝ z হয়, তবে প্রমাণ করো যে, (ax+by+cz) ∝ (px+qy+rz) যেখানে a, b, c, p, q, r অশূন্য ধ্রুবক।
৩. একটি হোস্টেলের ব্যয় দুটি অংশের সমষ্টির সমান – একটি অংশ ছাত্রসংখ্যার সঙ্গে সরল ভেদে এবং অপর অংশটি ধ্রুবক। ছাত্রসংখ্যা 120 জন হলে মোট ব্যয় 2000 টাকা এবং ছাত্রসংখ্যা 100 জন হলে মোট ব্যয় 1700 টাকা হয়। 180 জন ছাত্রের জন্য হোস্টেলের ব্যয় কত হবে?
সমাধান:
ধরি, মোট ব্যয় C, ছাত্রসংখ্যা N।
C = A + B, যেখানে B ধ্রুবক এবং A ∝ N => A=kN।
সুতরাং, C = kN + B।
N=120, C=2000 হলে: 2000 = 120k + B …(i)
N=100, C=1700 হলে: 1700 = 100k + B …(ii)
(i) – (ii) করে পাই, 300 = 20k => k = 15।
k-এর মান (ii) এ বসিয়ে পাই, 1700 = 100(15) + B => 1700 = 1500 + B => B = 200।
সম্পর্কটি হল: C = 15N + 200।
এখন, N = 180 হলে, C = 15(180) + 200 = 2700 + 200 = 2900 টাকা। উত্তর: 180 জন ছাত্রের জন্য হোস্টেলের ব্যয় হবে 2900 টাকা।
৪. x, y-এর সঙ্গে ব্যস্তানুপাতে পরিবর্তিত হয় এবং y, z-এর সঙ্গে ব্যস্তানুপাতে পরিবর্তিত হয়। প্রমাণ করো যে x, z-এর সঙ্গে সরল ভেদে পরিবর্তিত হয়।
সমাধান:x ∝ 1/y => xy=k₁। y ∝ 1/z => yz=k₂। y = k₂/z। এই মান প্রথম সমীকরণে বসিয়ে পাই, x(k₂/z)=k₁ => x = (k₁/k₂)z। যেহেতু k₁/k₂ একটি অশূন্য ধ্রুবক, তাই x ∝ z। (প্রমাণিত)
৫. y = a√x + b/√x এবং y=3 যখন x=4 এবং y=5/3 যখন x=9। a ও b-এর মান নির্ণয় করো।
৬. লম্ব বৃত্তাকার চোঙের আয়তন, তার ভূমির ব্যাসার্ধের বর্গের এবং উচ্চতার সঙ্গে যৌগিক ভেদে আছে। দুটি চোঙের ভূমির ব্যাসার্ধের অনুপাত 2:3 এবং তাদের উচ্চতার অনুপাত 5:4 হলে, তাদের আয়তনের অনুপাত নির্ণয় করো।
